2022-2023学年福建省莆田第六中学高二上学期第二次月考数学试题（A卷）（解析版）

2022-2023学年福建省莆田第六中学高二上学期第二次月考数学试题（A卷）

一、单选题

1．6名同学站成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻的站法有（    ）种

A．240 B．288 C．48 D．580

【答案】A

【分析】利用排列组合中的捆绑法即可得解.

【详解】第一步：将甲、乙两人捆绑在一起，看作一个元素，与剩下的4名同学进行排列，则有种方法，

第二步：甲、乙两人内部可以进行排列，有种方法，

所以一共有种方法.

故选：A.

2．一台晚会有6个节目，其中有2个小品，如果2个小品不连续演出，共有不同的演出顺序（    ）种.

A．240 B．288 C．480 D．580

【答案】C

【分析】先安排除小品外的4个节目，再采用插空法求解.

【详解】先安排除小品外的4个节目，共有种安排方法，再将2个小品插空，共有种安排方法，

故不同的演出顺序有种.

故选：C

3．已知数列满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用累乘法即可求得.

【详解】因为，

所以，

上述各式相乘得，

因为，所以，

经检验，满足，

所以.

故选：D.

4．已知等差数列的前项和为且，则的前项和为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用等差数列的通项公式及其前项和公式即可得出．

【详解】设等差数列的公差为，，，

，解得，

，，

设，

当时，，数列是等差数列，首项为，公差为．

则其前项和．

故选：B

5．已知点是抛物线上的动点，点A的坐标为，则点到点A的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ）

A．13 B．12 C．11 D．

【答案】B

【分析】作出辅助线，利用抛物线定义得到点到点A的距离与到轴的距离之和，由两点之间，线段最短，得到距离之和的最小值为，求出答案.

【详解】如图，⊥轴，连接，

由抛物线定义得：抛物线的准线方程为，焦点坐标为，

故，

则点到点A的距离与到轴的距离之和，

连接，与抛物线交于点，此时，

故点到点A的距离与到轴的距离之和的最小值为，

其中，故最小值为.

故选：B

6．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.

【详解】[方法一]：设而不求

设，则

则由得：，

由，得，

所以，即，

所以椭圆的离心率，故选A.

[方法二]：第三定义

设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：

故，

由椭圆第三定义得：，

故

所以椭圆的离心率，故选A.

7．过直线上一动点，向圆引两条切线，为切点，线段的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】得到四点共圆，且为直径，求出以为直径的圆的方程，与联立求出相交弦所在直线的方程，得到其过的定点，再数形结合求出

要想线段取得最小值，只需，即为的中点时，利用勾股定理求出答案.

【详解】圆的圆心为原点，半径为，

因为，故四点共圆，且为直径，

设，则，

线段的中点坐标为，

故以为直径的圆的方程为，

整理得：，

与相减得：

直线的方程为，

整理为，

令，解得：，

即直线恒过点，

要想线段取得最小值，只需，即为的中点，

其中，

则，

故选：B

8．已知数列是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公比的等比数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由等差和等比数列通项公式可推导得到的通项公式，利用分组求和法，结合等比数列求和公式可求得结果.

【详解】是以为首项，为公比的等比数列，，

是以为首项，为公差的等差数列，，，

.

故选：A.

二、多选题

9．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（    ）

A．数列是等比数列

B．若，，则

C．若数列的前n项和，则

D．若，则数列是递增数列

【答案】AD

【分析】利用等比数列的定义可判断A；利用等比数列的通项公式可判断B；利用等比数列的前n项和公式可判断C；由，求出可判断D.

【详解】由数列是等比数列，设公比为，

则是常数，故A正确；

由，，则，即，

所以，故B错误；

若数列的前n项和，

则，，

，

成等比数列，，

即，解得，故C错误；

若，则，数列是递增数列；

若，则，数列是递增数列，故D正确.

故选：AD

10．已知曲线（    ）

A．若，，则是两条直线

B．若，则是圆，其半径为

C．若，则是椭圆，其焦点在轴上

D．若，则是双曲线，其渐近线方程为

【答案】AD

【解析】由曲线方程及圆锥曲线的性质逐项判断即可得解.

【详解】对于A，若，，则即，为两条直线，故A正确；

对于B，若，则，所以是圆，半径为，故B错误；

对于C，若，则，

所以即为椭圆，且焦点在轴上，故C错误；

对于D，若，则为双曲线，

且其渐近线为，故D正确.

故选：AD.

11．已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．椭圆的焦点坐标为(2,0)､(-2,0) B．椭圆C的长轴长为

C．直线的方程为 D．

【答案】BCD

【分析】根据椭圆方程可直接判断A、B的正误，设直线为，，，且，联立椭圆方程应用韦达定理即可求k值，写出直线方程，进而应用弦长公式可求，即可判断C、D的正误.

【详解】A：由椭圆方程知：其焦点坐标为，错误；

B：，即椭圆C的长轴长为，正确；

C：由题意，可设直线为，，，则，联立椭圆方程并整理得：，M为椭圆内一点则，

∴，可得，即直线为，正确；

D：由C知：，，则，正确.

故选：BCD.

12．已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ）

A．直线的斜率为 B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.

【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，

代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；

对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，

设，则，则，代入抛物线得，解得，则，

则，B错误；

对于C，由抛物线定义知：，C正确；

对于D，，则为钝角，

又，则为钝角，

又，则，D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．过三点，，的圆的方程是______．

【答案】

【分析】根据圆心经过弦的中垂线可先求得圆心的坐标，再根据圆心到圆上的点的距离为半径求解即可

【详解】由题，设，，，则的中垂线方程为，又和的中点为，且直线的斜率为，故直线的中垂线斜率为1，故直线的中垂线方程为，即，故圆心的坐标为与的交点，半径，故圆的方程为

故答案为：

14．设双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线交于，两点，其中点在左支上，在右支上.若，则___________.

【答案】

【分析】根据双曲线定义得到，设，求出.

【详解】由题意得：，

由双曲线定义可知：，

因为，故，

设，则，，

故.

故答案为：

15．冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有____种．

【答案】150

【详解】试题分析：名水暖工去个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，分配方案为和，则共有方法数为种．

【解析】排列组合．

16．设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________

【答案】

【分析】由已知利用等差数列的通项公式将用表示，求出的最小值，进而可求出的最小值，利用等比数列的通项即可求出的范围．

【详解】解：；   ，， 成公差为1的等差数列，

，的最小值为3，的最小值也为3，

且，，， 成公比为的等比数列，必有，

，

的最小值是．

【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，涉及不等式的性质，属基础题．

四、解答题

17．已知直线：与轴，轴围成的三角形面积为，圆的圆心在直线上，与轴相切，且在轴上截得的弦长为.

（1）求直线的方程（结果用一般式表示）;

（2）求圆的标准方程.

【答案】（1）（2） 或

【分析】（1）根据直线的方程，分别求得直线在坐标轴上的截距，利用围成的三角形的面积，列出方程，即可求解得值，得到直线的方程；

（2）设所求圆的标准方程为，根据题意列出方程组，求得的值，即可得到圆的方程.

【详解】（1）在直线方程中，令，得

令，得

故   又   故

∴所求直线方程为：

（2）设所求圆的标准方程为：

由题可知

联立求解得：

故所求圆的标准方程为： 或

【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，以及利用待定系数法求解圆的方程，其中解答中合理根据题设条件，利用待定系数法，列出相应的方程（组）求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

18．等比数列的各项均为正数，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；

（2）由an＝化简bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到bn的通项公式，求出的通项公式，利用裂项相消法求和.

【详解】（1）设数列{an}的公比为q,

由＝9a2a6得＝9,

所以q2＝.由条件可知q＞0,故q＝.

由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.

故数列{an}的通项公式为an＝.

（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.

故.

所以数列的前n项和为

19．已知数列的前项和为，，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列满足，求数列的前项和为.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，得到，两式相减，然后利用等比数列的定义求解；

（2）由（1）得到，再利用错位相减法求解.

【详解】（1）解：由，

得，

两式相减得，即，

因为，，

所以，

所以，

所以数列是以为首项，以为公差的等比数列，

所以；

（2）由（1）知：，

所以，

则，

两式相减得，

，

，

，

所以.

20．已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.

(1)求E的方程；

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.

【答案】（1） （2）

【详解】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求.

试题解析：（1）设，因为直线的斜率为，

所以，.

又

解得，

所以椭圆的方程为.

（2）解：设

由题意可设直线的方程为：，

联立消去得，

当，所以，即或时

.

所以

点到直线的距离

所以，

设，则，

，

当且仅当，即，

解得时取等号，

满足

所以的面积最大时直线的方程为：或.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.

21．若位于轴右侧的动点到的距离比它到轴距离大.

(1)求动点的轨迹方程D.

(2)过轨迹D上一点作倾斜角互补的两条直线，交轨迹于两点，求证：直线的斜率是定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）设出，，利用题目条件列出方程，化简后得到轨迹方程；

（2）设出，得到，相减后得到，再根据直线的倾斜角互补，两直线斜率之和为0，求出，从而得到直线的斜率是定值

【详解】（1）设，，则，

故，化简得：，

故动点的轨迹方程D为；

（2）设，

则，

两式相减得：，即，

因为直线的倾斜角互补，且，

所以，

故，

所以，

故直线的斜率是定值.

22．椭圆的左右焦点分别为，右顶点为为椭圆上任意一点，且的最大值的取值范围是，其中

(1)求椭圆的离心率的取值范围

(2)设双曲线以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点，是双曲线在第一象限上任意一点，当取得最小值时，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）设出，表达出，结合，求出，从而列出不等式组，求出离心率的取值范围；

（2）结合（1），设双曲线方程为，考虑⊥轴时，得到，接下来证明对任意点均使得，利用斜率，正切二倍角公式等，证明出时，恒成立.

【详解】（1）设，

，

，

由可得：代入可得：

，

，

∴，

∴，即，

故，

；

（2）当时，可得：，

双曲线方程为，设，

当⊥轴时，，

，

，

∵，

，

所以，下面证明对任意点均使得成立，

考虑，

，

由双曲线方程，可得：，

，

，

，结论得证，

时，恒成立.

【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.