2023届黑龙江省鸡西市虎林市高级中学高三上学期第一次摸底考试数学试题（解析版）

2023届黑龙江省鸡西市虎林市高级中学高三上学期第一次摸底考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：集合，而，所以，故选C.

【解析】 集合的运算

【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC（    ）

A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形

【答案】C

【分析】由余弦定理确定角的范围，从而判断出三角形形状．

【详解】由得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形.

故选：C．

3．设a，b，c为非零实数，且则下列判断中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用特值可判断ABD，根据不等式的性质可判断C.

【详解】因为，取，则，故A错误；

取，则，，故BD错误；

因为，所以，故C正确.

故选：C.

4．“”是“函数的定义域为R”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先求出“函数的定义域为R”时对应a的范围，记为集合B, 记集合,利用集合法进行判断.

【详解】因为函数的定义域为R，所以对任意恒成立.

i.时，对任意恒成立；

ii. 时，只需，解得：；

所以.

记集合,.

因为A B,所以“”是“函数的定义域为R”的充分不必要条件.

故选：B.

5．已知，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】用诱导公式化简后由商数关系弦化切，代入已知计算．

【详解】.

故选：D．

6．已知的内角所对的边分别为，若，则（    ）

A． B． C．6 D．

【答案】A

【分析】利用正弦定理整理代入运算即可．

【详解】由正弦定理，整理得

故选：A．

7．在中，点D在边AB上，．记，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．

【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，

所以．

故选：B．

8．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据的图象求得，求得，再根据，求得，求得的值，即可求解.

【详解】根据函数的图象，可得，可得，

所以，

又由，可得，即，

解得，

因为，所以.

故选：A.

9．已知函数的最小正周期是，将的图象向左平移 个单位长度后所得的函数图象过点，则关于函数的说法不正确的是（   ）

A． 是函数一条对称轴

B． 是函数一个对称中心

C．在区间上单调递增

D．在区间上单调递减

【答案】D

【分析】根据题意求得，再代入可得，再根据余弦函数的性质逐个选项辨析即可.

【详解】，向左平移个单位长度后所得到的函数是，

其中图象过，所以，因为，，

所以．

因为，所以是函数一条对称轴，故A正确；

因为，所以是函数一个对称中心，故B正确；

当时，，所以在区间上单调递增，故C正确；

当时，，所以在区间上不单调递减，故D错误；

故选：D

10．已知定义在R上的函数满足，当时，，函数，若函数在区间上恰有8个零点，则a的取值范围为（　　）

A．（2，4） B．（2，5） C．（1，5） D．（1，4）

【答案】A

【分析】将题意转化为函数与函数在区间上有8个交点，再根据函数的性质画图，再列式，根据对数函数的不等式解法求解即可

【详解】函数在区间上恰有8个零点，则函数与函数在区间上有8个交点

由知，是R上周期为2的函数，作函数与函数在区间上的图像如下，

由图像知，当时，图像有5个交点，故在上有3个交点即可，则；

故，解得；

故选：A．

二、多选题

11．已知点是角终边上一点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据给定条件，利用三角函数定义求出的正余弦及正切值即可计算判断作答.

【详解】因点是角终边上一点，则，

于是得，A正确；

，当时，，当时，，B不正确；

又，则，C正确，D不正确.

故选：AC

12．下列有关命题的说法错误的是（    ）

A．若集合中只有两个子集，则

B．的增区间为

C．若终边上有一点，则

D．函数是周期函数，最小正周期是

【答案】ABC

【分析】选项A：先利用子集个数确定元素个数，然后确定对应方程根的个数，最后分类讨论计算即可；选项B：先求定义域，然后利用同增异减，在定义域内判断单调性即可；选项C：先利用三角函数的定义计算出对应角的正弦，余弦值，然后利用诱导公式计算化简即可；选项D：显然是最小正周期为的周期函数，所以根据图像变化可知该选项正确.

【详解】选项A：由题可知集合只有一个元素，显然当时，，符合题意，故选项A错误；

选项B：由题可知，解得，显然不在定义域内，故选项B错误；

选项C：由三角函数的定义可知，由诱导公式可知，故选项C错误.

选项D：由函数的图像可知，该函数是最小正周期为的周期函数.

故选：ABC

三、填空题

13．已知，且，则____.

【答案】##1.4

【分析】利用完全平方公式，建立、与和的等量关系，并利用所求值确定，的符号，从而可求.

【详解】解：，

两边平方，可得，可得，

，

可得，，可得，

．

故答案为：.

14．已知是奇函数，且当时，.若，则__________.

【答案】-3

【分析】当时，代入条件即可得解.

【详解】因为是奇函数，且当时，．

又因为，，

所以，两边取以为底的对数得，所以，即．

【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．

15．已知向量，，．若，则________.

【答案】##0.5

【分析】根据运算得出的坐标，再根据两向量平行的公式，即可求出参数.

【详解】由题意得：，，，

4λ＝2，解得λ＝.

故答案为：λ＝

16．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则________．

【答案】##0.5

【分析】依据洛必达法则去计算即可解决.

【详解】

故答案为：

四、解答题

17．设函数的定义域为A，集合

(1)求集合A；

(2)若p：，q：，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据对数函数的定义域及根式有意义列出不等式组，求出集合；

（2）根据p是q的必要不充分条件，得到是的真子集，分与两种情况，进行求解.

【详解】（1）由题意得：，解得：，

所以；

（2）因为p是q的必要不充分条件，所以是的真子集，

当时，，解得：，

当时，，

解得：，

综上：实数m的取值范围是

18．已知，均为锐角，，．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1），再用两角差的余弦公式计算；

（2），再利用两角和的正弦公式计算.

【详解】（1）因为，均为锐角，所以．

又，，

所以，．所以

（2）根据第（1）问可知

19．在中，角所对的边分别为．已知 ．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；

（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可.

【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得

，

又因为，所以；

（Ⅱ）在中，由， 及正弦定理，可得；

（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得 ，

进而，

所以.

【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.

20．已知函数.

（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；

（2）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值；

（3）在中，、、分别是角、、的对边，若，，的面积为，求边的长.

【答案】（1）， ，；（2）最大值为2，最小值为；（3）5.

【分析】(1)化简函数为 ，由周期公式可得周期，再由可得减区间；

（2）先得到，再求得，结合正弦函数的性质可得最值；

（3）先由三角方程得，再由面积公式得，结合余弦定理可得解.

【详解】（1），

最小正周期，

令得单调减区间为，.

（2）由已知得，，，

∴，∴.

（3）∵，∴，

∵，∴，

又，∴，

根据余弦定理，

又，∴.

【点睛】本题主要三角函数图像性质进而解三角形的综合题，涉及三角恒等变换的化简、正弦型函数的周期单调区间及最值、余弦定理和面积公式，属于中档题.

21．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内经销该农产品的数量，T表示利润.

（Ⅰ）将T表示为x的函数

（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;

（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x,则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110的频率，求T的数学期望.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）0.7（Ⅲ）59400

【详解】(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000.

当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.

所以T＝

(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.

由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.

(3)依题意可得T的分布列为

所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝

59400.

22．已知函数

（1）若直线为的切线，求的值．

（2）若，恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）0；（2）

【分析】（1）设切点为，则可得且，构建新函数，讨论其单调性后可得及．

（2）原不等式等价于，构建新函数，其导数为，就和分类讨论的零点、符号及其的单调性后可得实数的取值范围.

【详解】（1）设切点为，，

∴，令，

则，

当时，，在上为增函数；    

当时，，在上为减函数；

所以，所以，

又，所以．

（2），恒成立，．

令，．

，,

当时，，所以在上为增函数，

，

①若，则当时，故在上为增函数，

故时，有即恒成立，满足题意.

②若，因为为上的增函数且，，

令，其中，，

所以在为增函数，所以，

故存在，使得且时，，

在为减函数，故当时，，矛盾，舍去.

综上可得：．

【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率. 含参数的函数不等式的恒成立问题，可构建新函数，再以导数为工具讨论新函数的单调性从而得到新函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立.也可以考虑参变分离的方法，把问题归结为不含参数的函数的值域问题.