广东省广州市第二中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题(原卷版+解析)

这是一份广东省广州市第二中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1. 直线方程的一个方向向量可以是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
4. 如图，中，为边上的中线，为的中点，若，则实数对（ ）
A. B. C. D.
5. 设直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，则“是“”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 在中，，，现以为旋转轴旋转360°得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图是一个近似扇形的湖面，其中，弧的长为.为了方便观光，欲在两点之间修建一条笔直的走廊.若当时，，扇形的面积记为，则的值约为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知实数、，若，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
10. 设向量，，其中，则下列判断正确的是（ ）
A. 向量与轴正方向的夹角为定值（与、之值无关）
B. 的最大值为
C. 与夹角的最大值为
D. 的最大值为1
11. 已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆关于轴对称圆的方程为
B. 若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为
C. 若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则
D. 若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为
12. 在平面直角坐标系中，圆：，曲线上存在四个点（，2，3，4），过点作圆两条切线，，为切点，满足，则的值可能为（ ）
A. 1B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 直线与圆相交所得的弦长为______．
14. 已知，为单位向量．若，则在上的投影向量的模为______．
15. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的半径为______．
16. 在矩形中，是的中点，，将沿折起得到，设的中点为，若将绕旋转，则在此过程中动点形成的轨迹长度为___________.
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网＋”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照，，…，分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）
解决下列问题：
（1）求，，，的值；
（2）试估计受调查者满意度评分值的80%分位数；
（3）若在满意度评分值为人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率．
18. 在如图所示的六面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是梯形，，平面平面，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19. 已知中,角的对边分别为,,向量,,且.
(Ⅰ)求大小；
(Ⅱ)当取得最大值时,求角的大小和的面积.
20. 如图，已知五面体，其中内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，且平面．
（1）证明：；
（2）若，，且二面角所成角的正切值是，试求该几何体的体积．
21. 圆：．
（1）若圆与轴相切，求圆的方程；
（2）已知，圆与轴相交于两点、（点在点的左侧）．过点任作一条直线与圆：相交于两点，．问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．
22. 已知函数（且，）是偶函数．
（1）求的值；
（2）对任意且，函数的图象与函数的图象都没有交点，求的值；
（3）设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．
组别
分组
频数
频率
第1组
8
0.16
第2组
■
第3组
20
0.40
第4组
■
0.08
第5组
2
合计
■
■
高二级期中考《数学》试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线方程的一个方向向量可以是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
【解析】
分析：先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量.
【详解】解：依题意，为直线的一个法向量，∴方向向量为，
故选：D.
2. 已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
【解析】
分析：利用同角三角函数的基本关系求出，再由诱导公式计算可得；
【详解】解：因为，，所以，
所以；
故选：A
3. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
【解析】
【详解】由题意得圆心为，半径为．
圆心到直线的距离为，
由直线与圆有公共点可得
，即，解得．
∴实数a取值范围是．
选C．
4. 如图，中，为边上的中线，为的中点，若，则实数对（ ）
A. B. C. D.
答案：A
【解析】
分析：根据平面向量的线性运算求解即可
【详解】因为为的中点，且为边上的中线，故，故
故选：A
5. 设直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，则“是“”的（ ）
A 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：D
【解析】
分析：
对直线的倾斜角分锐角和钝角进行讨论，再结合正切函数的性质，即可得答案；
【详解】解：∵直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，
当倾斜角均为锐角时，和均为钝角时，若“”，则“”，
若“”，则“”，
当倾斜角一个为锐角一个为钝角时，若“”，则“与”的大小不能确定，
若“”，则“与”的大小也不能确定，
故则“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
【点睛】直线斜率，将斜率视为倾斜角的函数，再利用正切函数的性质进行求解.
6. 在中，，，现以为旋转轴旋转360°得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的体积为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
【解析】
分析：作出旋转体的轴截面，利用几何关系求出内切球的半径，即可求出内切球的体积.
【详解】如图所示，旋转体的轴截面是边长为3的菱形，设为内切球的球心，
因为，所以，
所以，，
设内切球的半径为，所以，
所以，
故内切球的体积，
故选：A
7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
【解析】
分析：根据对数型复合函数的区间单调性，结合对数函数、二次函数的性质确定单调区间，进而求a的取值范围.
【详解】令，开口向上且对称轴为，
当，即时，在上递减，上递增(注意时单调区间处可取闭)；
当，即或时，若有，
∴在上递减，上递增；
又在定义域上递减，要使在上单调递增，
∴时，可得；
或时，有，可得.
综上，.
故选：B
8. 如图是一个近似扇形的湖面，其中，弧的长为.为了方便观光，欲在两点之间修建一条笔直的走廊.若当时，，扇形的面积记为，则的值约为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
【解析】
分析：由题可得，再根据扇形面积公式可得，结合条件即得.
【详解】设扇形的圆心角为，则，
在中，，
又，
∴，又，
∴.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知实数、，若，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
答案：ABD
【解析】
分析：取可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用指数函数的单调性可判断C选项；取，利用对数函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，A错；
对于B选项，取，，满足，但，B错；
对于C选项，因为指数函数为上的减函数，且，则，C对；
对于D选项，当时，，D错.
故选：ABD.
10. 设向量，，其中，则下列判断正确的是（ ）
A. 向量与轴正方向的夹角为定值（与、之值无关）
B. 的最大值为
C. 与夹角的最大值为
D. 的最大值为1
答案：ACD
【解析】
分析：根据空间向量的数量积运算，结合不等式的使用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：不妨取，设向量与轴正方向的夹角为，
则，又，故，A正确；
对B：，又因为，
则，即，
当且仅当时取得等号，故的最大值为，故B错误；
对C：设与夹角的为，则，
由可知，，故，又，则，
故的最大值为，即与夹角的最大值为，正确；
对：，即，
当且仅当时取得等号，故正确；
故选：.
11. 已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆关于轴的对称圆的方程为
B. 若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为
C. 若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则
D. 若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为
答案：ABD
【解析】
分析：对于A，由对称的性质直接求解即可，对于B，由题意可知入射光线所在的直线过点和，从而可求出直线方程，对于C，由题意可知反射光线所在的直线过点，则，然后由圆的性质可求出，进而可求得的值，对于D，设，，表示弦长和弦心距，可表示出面积，从而可求出其最大值
【详解】对于A，由圆方程可得，故圆心，半径，
圆关于轴对称的圆的圆心为，半径为，
所求圆的方程为：，即，A正确；
对于B，反射光线平分圆的周长，反射光线经过圆心，
入射光线所在直线经过点，，
入射光线所在直线方程为：，即，B正确；
对于C，反射光线经过点关于轴的对称点，
，
，则，C错误；
对于D，设，
则圆心到直线的距离，
，
，
则当时，，D正确.
故选：ABD.
12. 在平面直角坐标系中，圆：，曲线上存在四个点（，2，3，4），过点作圆两条切线，，为切点，满足，则的值可能为（ ）
A. 1B. C. D.
答案：CD
【解析】
分析：先设出，利用求出在以原点为圆心，半径为2的圆上，数形结合转化为且只需原点到直线的距离小于半径2即可，用点到距离公式列出不等式，求出k的取值范围
【详解】设，连接，设，
则，，
所以，
又，
所以
令，则有，解得：或，
因为在单位圆外，所以舍去，
即在以原点为圆心，半径为2的圆上，
因为曲线上存在四个点（i＝1，2，3，4），
即与圆有4个交点，
结合图象可知，且只需原点到直线即的距离小于半径2即可，
所以，解得：或（舍去），
故选：CD
【点睛】关键点点睛：数形结合的思想对于求解函数零点或交点个数问题经常使用，要能抓住一些不变量，比如本题中的直线方程过定点
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 直线与圆相交所得的弦长为______．
答案：
【解析】
分析：联立方程写出韦达定理，代入弦长公式即可求出弦长.
【详解】联立方程得
故，，根据弦长公式可得
故答案为:
14. 已知，为单位向量．若，则在上的投影向量的模为______．
答案：
【解析】
分析：根据模与向量的关系求出的值，再根据在上的投影向量的模的公式求出答案即可.
【详解】由题可知：
即，则在上的投影向量的模为
故答案为:
15. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的半径为______．
答案：5
【解析】
分析：根据题意可求出正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，再根据截面圆半径，球的半径以及球心距的关系，即可求出球的半径
【详解】设球的半径为，
则正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面圆的距离为cm，所以，解得，
故答案为：5
16. 在矩形中，是的中点，，将沿折起得到，设的中点为，若将绕旋转，则在此过程中动点形成的轨迹长度为___________.
答案：##
【解析】
分析：先通过始终是等腰直角三角形确定动点的轨迹是一段圆弧，再结合垂直关系证明圆弧对应的圆心角为，即可求出动点的轨迹长度.
【详解】
如图，设的中点为，绕旋转，此时平面平面，取中点，中点，中点，
连接.
，，和是等腰直角三角形，
且在旋转过程中保持形状大小不变，故动点的轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，又面，
面，面，同理面，又，面面，又平面平面，
故面面，又面面，，故面，又面，，
故动点形成的轨迹长度为.
故答案为：.
【点睛】本题关键点在于发现在旋转过程中始终是等腰直角三角形，进而确定动点的轨迹是一段圆弧，再结合题目中的线面关系证明
圆弧对应的圆心角为，即可求出动点的轨迹长度.
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网＋”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照，，…，分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）
解决下列问题：
（1）求，，，的值；
（2）试估计受调查者满意度评分值的80%分位数；
（3）若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率．
答案：（1）16，0.04，0.032，0.004；
（2）78； （3）
【解析】
分析：（1）由题意，可求出的频率，由所有组频率之和为1得出的频率，从而算出，最后根据频率和组距的关系，求出和；
（2）利用百分位数的运算方法，求出满意度评分值的80%分位数；
（3）先求出满意度评分值在，内人数，然后分别求出在满意度评分值为的人中随机抽取人与所抽取的人中至少一人来自第5组的不同抽取数，从而得出概率.
【小问1详解】
由频率分布直方图和频数分布表得：
的频率为：，
的频率为：，
∴，
∴,，
即的值分别为16，0.04，0.032，0.004；
【小问2详解】
由题可知知样本数据中满意度评分值在分以下所占比例为，
在分以下所占比例为，
因此，第百分位数一定位于内，由，
可以估计受调查者满意度评分值的80%分位数为分；
【小问3详解】
由题意满意度评分值在有人，
满意度评分值在有2人，
在满意度评分值为的人中随机抽取人有种不同的抽法，
所抽取的人中至少一人来自第组有：种，
所以所抽取的人中至少一人来自第组的概率为：
18. 在如图所示的六面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是梯形，，平面平面，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
答案：（1）证明见解析
（2）
【解析】
分析：（1）连接AC，BD相交于点O，取DE的中点为，连接，只证即可；
（2）过点作的平行线交于点,利用几何关系可得到在平面内，过点作的垂线交于点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可
【小问1详解】
连接交于点，取的中点为，连接，
因为四边形是正方形，所以是的中点，则，，
又因为，，
故，，所以四边形是平行四边形，
，又平面，平面，平面；
【小问2详解】
在平面内，过点作的平行线交于点,
又，所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为,所以
所以是直角三角形，
在平面内，过点作的垂线交于点，
又因为平面平面，平面平面，
所以面
以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
所以
设是面的法向量，
则即，当时，，
所以，
设直线与平面所成角为，
所以直线与平面所成角的正弦值为
19. 已知中,角的对边分别为,,向量,,且.
(Ⅰ)求的大小；
(Ⅱ)当取得最大值时,求角的大小和的面积.
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）通过向量的垂直，两角和与差的三角函数化简表达之，利用三角形的内角和，转化为的三角函数值，然后求的大小；（Ⅱ）通过的大小，推出的关系，化简为的三角函数的形式，通过的范围求出不等式取得最大值时，求角的大小，利用正弦定理求出的值，即可利用三角形的面积公式求解三角形的面积.
试题解析：（Ⅰ）因为,所以
即,因为,所以
所以
（Ⅱ）由,
故
由,故最大值时,
由正弦定理,,得
故
考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用.
20. 如图，已知五面体，其中内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，且平面．
（1）证明：；
（2）若，，且二面角所成角的正切值是，试求该几何体的体积．
答案：（1）证明见解析；（2）8．
【解析】
【详解】试题分析： （1）将问题转化为证明平面，再转化为证明（由直径可证）与（由平面可证）；（2）考虑建立空间直角坐标系，通过求两个法向量的夹角来确定二面角所成角的正切值，并确定的长，进而可求得几何体的体积．
试题解析：（1）证明：是圆的直径，，
又平面，平面ABC
又平面，且，平面
又平面，
（2）设，以所在直线分别为轴，轴，轴，如图所示
则，，，
由（Ⅰ）可得，平面，平面的一个法向量是
设为平面的一个法向量
由条件得，，
即 不妨令，则，，．
又二面角所成角的正切值是， ，
得
该几何体的体积是
考点：1、空间直线与直线、直线与平面的垂直的判定与性质；2、二面角；3、空间几何体的体积．
【方法点睛】用空间向量处理某些立体几何问题时，除要有应用空间向量的意识外，关键是根据空间图形的特点建立恰当的空间直角坐标系．若坐标系选取不当，计算量就会增大．总之树立用数解形的观念，即用数形结合的思想解决问题，而建立空间直角坐标系通常考虑以特殊点为坐标原点（如中点、正方体的顶点），特殊直线（如有两两垂直的直线）为坐标轴来建立．
21. 圆：．
（1）若圆与轴相切，求圆的方程；
（2）已知，圆与轴相交于两点、（点在点的左侧）．过点任作一条直线与圆：相交于两点，．问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．
答案：（1）
（2）
【解析】
分析：（1）圆与轴相切即是方程根只有一个，因此即可求出，得出方程.
（2）若存在实数，使得，则.由此条件先求出、的坐标，假设出交点，的坐标，表示出，最后利用韦达定理解出.
【小问1详解】
联立方程，得
由题意得，所以，
故所求圆C的方程为：
【小问2详解】
令，得，即
所以，，
若存在实数，使得，则
当直线存在斜率k，设直线的方程为，代入，
得，
设，则
，
而
，
因为，所以，即
当直线不存在斜率，即与x轴垂直时，也成立.
故存在，使得
【点睛】思路点睛：
解析几何中，若出现关于角度问题，可优先考虑两个思路
①若存在直角，则可考虑三角函数正弦值或余弦值；
②若存在三边皆可表示的三角形，可考虑正弦或者余弦定理；
③若存在的角度互补，可考虑直线斜率相加为0的等式关系.
22. 已知函数（且，）是偶函数．
（1）求的值；
（2）对任意且，函数的图象与函数的图象都没有交点，求的值；
（3）设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．
答案：（1）
（2）
（3）
【解析】
分析：（1）利用偶函数的定义列等式可求得实数的值；
（2）考虑当时，的取值范围，利用参变量分离法可得出，分、两种情况讨论，求出的取值范围，再结合题意可得出答案；
（3）令，分析可知有唯一解．令，对实数的取值范围进行分类讨论，利用一次函数或二次函数的零点分布可得出关于实数的等式或不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为函数为上的偶函数，则，
则，
所以，对任意的恒成立，
所以，，解得.
【小问2详解】
解：先考虑当时，的取值范围，
由可得，
则，
因为且，，则，
当时，；
当时，.
综上所述，当时，对任意且，函数的图象与函数的图象都没有交点.
【小问3详解】
解：因为，
由可得有唯一解，
则有唯一解．
令，则，即有唯一解．
设，其中，
①当时，，，则，不符合题意；
②当时，二次函数图象的对称轴为直线，且，
因为，，
所以方程在上恰好一个大于的解，符合题意；
③当时，则，二次函数的对称轴为直线，
又因为，所以，，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
组别
分组
频数
频率
第1组
8
0.16
第2组
■
第3组
20
0.40
第4组
■
0.08
第5组
2
合计
■
■