2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高二普通班上学期期末数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高二普通班上学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．抛物线的焦点到准线的距离是(　　).

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据抛物线的方程可知，故可写出焦点到准线的距离为.

【详解】由可知，，

所以焦点到准线的距离为.故选B.

【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，及其简单几何性质，属于容易题.

2．数列，，，，…的第10项是(　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据数列的前几项，归纳处数列的通项公式，即可求解数列的第10项，得到答案．

【详解】由题意，根据数列，可求得数列的通项公式，

所以数列的第10项为，故选C．

【点睛】本题主要考查了归纳数列的通项公式，其中根据数列的前几项，找出数列的数字排布规律，得出数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

3．等差数列中，已知，，则公差d（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】由等差数列的通项公式求解即可

【详解】因为等差数列中，，，

所以，

解得

故选：A.

4．已知椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则（    ）

A．2 B． C． D．4

【答案】C

【分析】先将椭圆方程化为标准形式，再根据椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的两倍求解.

【详解】将椭圆化为标准形式为 ，

因为椭圆的焦点在轴上，

长轴长是短轴长的两倍，

所以，

解得，

故选：C．

5．已知、，则以线段为直径的圆的方程是　　

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为线段为所求圆的直径，所以利用中点坐标公式求出线段的中点即为所求圆的圆心坐标，利用两点间的距离公式求出圆心与点之间的距离即为所求圆的半径，根据求出的圆心坐标与半径写出圆的标准方程即可．

【详解】解：由、，设圆心为，

则圆心的坐标为，即；

所以，则圆的半径，

所以以线段为直径的圆的方程是．

故选：．

【点睛】本题考查学生灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，会根据圆心与半径写出圆的标准方程．本题的突破点是根据直径求出圆心坐标，属于中档题．

6．设等差数列的前项和为，若，，则（    ）

A．63 B．36 C．45 D．27

【答案】C

【分析】根据等差数列的前项和的性质，列式求解.

【详解】由等差数列的项和的性质可知，成等差数列，

即，，成等差数列，所以，所以.

即.

故选：C

7．已知，则向量与的夹角是（    ）

A．90° B．60° C．30° D．0°

【答案】A

【分析】根据空间向量模长的概念求出，，求出与的数量积为0，进而可得结果.

【详解】，

，，

即与的夹角为，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了空间向量的模长以及向量垂直与数量积之间的关系，属于基础题.

8．过点引圆的切线，其方程是（    ）

A． B．

C． D．和

【答案】D

【分析】根据题意，分析圆的圆心和半径，分切线的斜率是否存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案．

【详解】解：根据题意，圆，

即，其圆心为，半径r＝1；

过点引圆的切线，

若切线的斜率不存在，切线的方程为x＝2，符合题意；

若切线的斜率存在，设其斜率为k，

则有，

即kx－y＋3－2k＝0，

则有，

解得，

此时切线的方程为，

即12x－5y－9＝0．

综上：切线的方程为x＝2和12x－5y－9＝0．

故选：D．

9．已知数列的前项和为，若，，则

A．90 B．119 C．120 D．121

【答案】C

【分析】 ，

故 ，

故 ；

故选C．

10．已知，求的值（    ）

A．2012 B．2013

C．1006 D．1007

【答案】C

【分析】根据已知得到，进而求解结论.

【详解】因为，

所以

，

所以，

故选：C.

11．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果.

【详解】设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得 ， ，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D．

【点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.

12．过双曲线的左焦点作直线与双曲线交于两点，使得，若这样的直线有且仅有两条，则的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分直线与左右两支相交于两点、直线与双曲线的左支交于两点两种情况讨论，每种情况下分析实轴长和通经与4的大小即可.

【详解】双曲线的实轴长为，要使这样的直线有两条，

第一种情况是：当直线与左右两支相交于两点时，只需且，解得，

第二种情况是，直线与双曲线的左支交于两点，此时应满足且，解得，

综上，的取值范围是

故选：.

二、填空题

13．若点在圆上，则实数m＝______.

【答案】4

【分析】将点P坐标代入圆方程，解方程可得答案.

【详解】∵点在圆上，

∴点P坐标代入，得，

即m＝4.

故答案为：4.

14．等差数列前n项和，等差数列前n项和，，则_____.

【答案】

【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解.

【详解】等差数列中，，

则.

故答案为：.

15．已知点是抛物线上的一个动点，则到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为__________．

【答案】.

【详解】分析：先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得，再求出的值即可.

详解：依题设P在抛物线准线的投影为，抛物线的焦点为F，则，

依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为，

则点P到点的距离与P到该抛物线准线的距离之和，

.

故答案为：.

点睛：本题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想.

16．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆，测得近地点A距离地面m（km），远地点B距离地面n（km），地球半径为R（km），关于这个椭圆有以下四种说法：

①焦距长为n－m；②短轴长为；③离心率；④若以AB方向为x轴正方向，F为坐标原点，则与F对应的准线方程为，其中正确的序号为______.

【答案】①③④

【分析】由题意，n＋R＝a＋c，m＋R＝a－c，

①焦距长为n－m，直接求n－m的表达式即可；

②短轴长为，求出a，c，计算出b，进行验证；

③离心率，求出a，c，计算出e进行验证；

④若以AB方向为x轴正方向，F为坐标原点，则与F对应的准线方程为，在规定的坐标系下求出其准线方程对照即可.

【详解】由题意n＋R＝a＋c，m＋R＝a－c，

对于①，可解得n－m＝2c，故①正确；

对于②，由n＋R＝a＋c，m＋R＝a－c，得，，∴，故此命题不对；

对于③，由②知，故此命题正确；

对于④，由于左焦点在原点，故左准线方程为，此命题正确.

综上知①③④正确

故答案为：①③④

三、解答题

17．已知直线，圆，请判断直线与圆的位置关系，若相交，则求直线被圆所截的线段长．

【答案】．

【详解】试题分析：先把圆方程整理成标准方程，求得圆的圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离结果小于半径，进而推断直线与圆相交，利用圆的几何性质，根据勾股定理求得直线被圆所截的线段长.

试题解析：圆心为，，圆心到直线的距离，

所以直线与圆相交，设交点为，所以，

所以，所以直线被圆所截的线段长为．

【解析】1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式及勾股定理.

18．已知是各项均为正数的等比数列，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)是以3为首项，2为公差的等差数列，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等比数列的公比为，由题意可得，从而求出与d的值即可得到的通项公式；

（2）由题意可知，则，从而利用错位相减求和法即可求出.

【详解】（1）设等比数列的公比为，

由题意可得，又，，所以，，

所以；

（2）由题意可知，则，

所以，

则，

两式相减得

，

所以.

19．如图所示，直线与抛物线交于两点，与轴交于点，且，

（1）求证：点的坐标为；

（2）求证：；

（3）求面积的最小值.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)1.

【详解】试题分析：

(1)联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理即可证得点坐标是；

(2)结合(1)的结论可证得，利用平面向量垂直的充要条件即可证得；

(3)由题意可得△AOB的面积表达式：，则当时，取最小值1.

试题解析：

（1）设，直线方程为代入得，是此方程的两根

①即点坐标是

（2）证明： ，则；

（3）由方程①得，又

当时，取最小值1.

20．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点.

(1)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；

(2)点M在线段PC上，，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝PD＝AD＝2，求二面角M－BQ－C的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)60°

【分析】（1）由题设条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明平面PQB⊥平面PAD.

（2）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M－BQ－C的大小.

【详解】（1）因为底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点，

所以BQ⊥AD，

又PA＝PD，

所以PQ⊥AD，

因为PQ⊥AD，BQ⊥AD，，平面，平面，

所以AD⊥平面PQB，

又因为平面PAD，

所以平面PQB⊥平面PAD.

（2）∵PA＝PD＝AD，Q为AD的中点，

∴PQ⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，

∴PQ⊥平面ABCD，

以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意知：，，，，

∴，

设是平面MBQ的一个法向量，则，，

∴，令，

∴，

又∵是平面BQC的一个法向量，∴，

∴二面角M－BQ－C的大小是60°.

21．已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上．若右焦点到直线的距离为3.

(1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆与直线相交于不同的两点、，当时，求的取值范围．

【答案】(1)；（2）.

【详解】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．

（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点由题设

，解得， 故所求椭圆的方程可得．

（2）设 ，，.P为弦MN的中点，

由得

因直线与椭圆相交，故

即结合韦达定理得到．

解：（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点由题设

，解得， 故所求椭圆的方程为

（2）设 ，，.P为弦MN的中点，

由得

因直线与椭圆相交，故

即（！）

故

所以 又

所以 则即（2）

把（2）代入 （1）得

由（2）得 解得

综上求得m的取值范围是

22．已知数列中，，，其前项和满足（）．

（1）求数列的通项公式；

（2）设=（），试确定非零整数的值，使得对任意，都有成立．

【答案】（1）；（2）见解析.

【详解】试题分析：（1）由已知推导出数列{an}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列．从而能求出an=n+1；（2）由an=n+1，bn+1＞bn恒成立，得3•4n﹣3λ•（﹣1）n﹣1•2n+1＞0恒成立，从而（﹣1）n﹣1λbn．

详解：（1）由已知，（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）=1（n≥2，n∈N*），

所以，又，

∴数列{an}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列．

∴an=n+1．

（2）∵an=n+1，

∴，

要使bn+1＞bn恒成立，

∴bn+1﹣bn=4n+1﹣4n+（﹣1）n•λ•2n+2﹣（﹣1）n﹣1•λ•2n+1＞0恒成立，

∴3•4n﹣3λ•（﹣1）n﹣1•2n+1＞0恒成立，

∴（﹣1）n﹣1λ＜2n﹣1恒成立．

（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜2n﹣1恒成立，

当且仅当n=1时，2n﹣1有最小值为1，

∴λ＜1．

（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞﹣2n﹣1恒成立，

当且仅当n=2时，﹣2n﹣1有最大值﹣2，

∴λ＞﹣2，

即﹣2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=﹣1．

综上所述，存在λ=﹣1，使得对任意n∈N*，都有bn+1＞bn．

点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列单调性的应用；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.