2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

绝密★启用前

2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高二（下）期末数学试卷（理科）

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 某职校选出甲、乙、丙等名学生参加职业技能比赛，并决出第名的名次无并列甲、乙、丙名学生一同去询问成绩，评委对甲说：很遗憾，你和乙都没有得到冠军，对乙说：你当然不是最后两名，对丙说：你比甲和乙都好，但也不是冠军，从这个人的回答中分析，人的名次情况共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

2. 已知，设展开式中含的奇次幂的项之和为，当时，等于(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若随机变量满足，，则下列说法正确的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

4. 设函数的导数为，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数是定义在上的奇函数，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

6. 学校食堂分设有一、二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 某三甲医院组织安排名男主任医师和名女主任医师到家不同的区级医院支援，要求每家区级医院至少安排人且必须有名女主任医师，则不同的安排方法有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

8. 已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 定义在上的函数的导函数为，且的图象如图所示，则下列结论正确的是(    )

A. 函数在区间上单调递减
B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在处取得极小值

10. 随机变量的分布列如表：

其中，，成等差数列，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知为自然对数的底数，若对任意，总存在唯一的，使得，成立，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查名高中生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得，参照下表：得到的正确结论是(    )

A. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
B. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若，，则______．
14. 同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数大于”为事件，“两颗骰子的点数之和等于”为事件，则______．
15. 是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会消费电子展于年月日日在美国拉斯维加斯举办，在这次消费电子展上，我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳了全场若该公司从名员工中选出名员工负责接待工作这名员工的工作视为相同的工作，再选出名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能，若其中甲和乙至多有人负责接待工作，则不同的安排方案共有          种
16. 函数有公切线，则实数的值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知．
    求展开式中二项式系数最大的项；
    设的展开式中前三项的二项式系数之和为，的展开式中各项系数之和为，若，求实数的值．
18. 为了解学生是否会参加定向越野活动进行调查随机抽取了位中小学生进行调查、得到如下数据：准备参加定向越野的小学生有人，不准备参加定向越野的小学生有人，准备参加定向越野的中学生有人．
    完成下列列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为这位参与调查的中小学生是否准备参加定向越野与中小学生年龄有关．

现将小学生分组进行比赛两人一组，每周进行一轮比赛，每小组两人每人跑两张地图跑一张地图视为一次，达到教练设定的成绩标准的次数之和不少于次称为“优秀小组”小超与小红同一小组，小超、小红达到教练设定的成绩标准的概率分别为，，且，理论上至少要进行多少轮比赛，才能使得小超、小红小组在比赛中获得“优秀小组”次数的期望值达到次？并求此时，的值．
附：，．

19. 各项均为正数的等比数列中，．
    求数列的通项公式；
    记为数列的前项和，，求的值．
20. 已知函数在与处都取得极值．
    求，的值；
    若方程有三个实数根，求实数的取值范围．
21. 已知数列满足，数列满足．
    证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
    求数列的前项和．
22. 已知函数．
    求证：在上单调递减；
    若对于任意，都有恒成立，求正实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意，知甲、乙、丙都不是第名且乙不是最后两名，丙比甲和乙都好，则丙只能是第名或第名，
当丙是第名时，乙只能是第名或第名，甲只能是至名中除乙外的个名次中的一个，所以有种情况；
当丙是第名时，乙只能是第名，甲只能是第名或第名，所以有种情况．
故共有种不同的情况．
故选D．
由题意，知甲、乙、丙都不是第名且乙不是最后两名，丙比甲和乙都好，则丙只能是第名或第名，然后利用分步分类计数原理求解即可．
本题主要考查简单的计数问题，根据条件进行分类讨论是解决本题的关键，是中档题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由二项式定理可得展开式中含的奇次幂的二项式系数分别为，，，
当时，含的奇次幂的项之和


，
故选：．
根据二项式定理展开式，可确定系数，再代入求得项的值，即可求得．
本题主要考查二项式定理的展开式形式求系数和，同时考查了计算能力，属于中档题．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了数学期望与方差的计算公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用数学期望与方差的计算公式及其性质即可得出．
【解答】
解：随机变量满足，
，
解得．
，
，解得．
故选D．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查导数的定义，属于基础题．
根据题意，，进而结合导数的计算公式计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，

．
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：奇函数定义域关于原点对称；
；
；
是定义在上的奇函数；
；
；
即；
；
；
．
故选：．
根据奇函数的定义域关于原点对称，从而得出，这样便可得出为定义在上的奇函数，从而得出，且有，这样便可得出，从而得到，这样即可求出的值．
考查奇函数的定义，奇函数定义域的对称性，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为，以及已知函数求值的方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为．
故选：．
利用全概率公式求解即可．
本题考查概率的求法，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：先安排名男主任医师，有种，
再将名女主任医师安排到家不同的区级医院，有种，
故共有种．
故选：．
先安排名男主任医师，有种，再将名女主任医师安排到家不同的区级医院，有种，再结合分步乘法计数原理，即可求解．
本题考查了排列，组合及简单计数问题，考查了计算能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
整理得，
因为等比数列的各项均为正数，
所以公比，则，
所以，即，
所以．
故选：．
由已知条件列方程求出公比，从而可求出．
本题主要考查了等比数列及其性质的应用，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意，函数的定义域是，
由图象可知时，，函数是减函数，
时，，函数是增函数，
时，，函数是减函数，
所以函数在处取得极小值．
故选：．
借助函数的图象，判断导函数的符号，推出函数的单调性，判断极值即可．
本题考查函数的单调性以及函数的极值的判断，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，成等差数列，，
由变量的分布列，知：，
解得，，，
．
故选：．
由离散型随机变量分布列的性质、等差的性质列出方程组，求出，，，再由方差公式能求出结果．
本题考查离散型随机变量的方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量分布列的性质、等差的性质的合理运用．
 

11.【答案】 

【解析】解：设，，，，
，时，，递减，时，，递增，
，，，
，
在上是减函数，，
由，，
，即．
故选：．
求出中与一一对应的的取值集合，再求得的值域，由集合之间的关系可得结论．
本题考查函数恒成立问题，通过分析函数值域之间的关系得出不等关系，属于中档题，解题时要注意题中任意，存在，唯一等词语的含义．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．
根据题意参照临界值表即可得出正确的结论．
【解答】
解：独立性检验的方法计算得，参照临界值表，得，
所以有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．
故选B．  

13.【答案】 

【解析】解：，，，
，
故答案为：．
先根据数学期望的算法求出，再根据即可得解．
本题考查两点分布的数学期望，考查学生的运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，
记“红骰子向上的点数大于”为事件，
“两颗骰子的点数之和等于”为事件，
，
，
．
故答案为：．
记“红骰子向上的点数大于”为事件，“两颗骰子的点数之和等于”为事件，分别求出，，再由，能求出结果．
本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查排列、组合的应用，注意使用间接法排除法分析，避免分类讨论．
根据题意，用间接法分析：先利用分步计数原理计算不考虑甲乙的限制条件时，全部的安排方法数目，再计算其中甲乙都安排负责接待工作时的安排方法数目，分析可得答案．

【解答】

解：根据题意，不考虑甲乙的限制条件，从名员工中选出名员工负责接待工作，有种选法，
在剩下的人中任选人，安排在上午、下午讲解该款手机性能，有种选法，
则不考虑甲乙的限制条件时，有种安排方法；
若甲乙都安排负责接待工作，有种安排方法，
则有种安排方法；
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数与有公切线，
设切点分别为，，
；
所以，
所以公切线为，
则有，
设
单调递增，
又，，
故答案：．
根据题意，设两个函数的切点分别为、，求出函数的导数，由的导数分析可得的值，即可得公切线为，据此可得关于的方程组，解可得的值，即可得答案．
本题考查利用导数计算分析函数的切线方程，关键是掌握导数的几何意义．
 

17.【答案】解：因为，则展开式中第项与第项的二项式系数最大，
则，；
的展开式中前三项的二项式系数之和为，
令，则二项式的展开式的各项系数和为，
所以，解得或，
所以实数的值为或． 

【解析】根据以及二项式系数的性质即可求解；求出的展开式中前三项的二项式系数和，再令，求出的展开式中各项系数之和，然后建立方程即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：由题意可得，列联表如下：

由表中的数据可得，，
所以有的把握认为这位参与调查的中小学生是否准备参加定向越野与中小学生年龄有关；
他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率为，
则，
因为，所以，
因为，，
所以，
又，所以，
所以是关于的二次函数，
则当时，有最大值，
当或时，有最小值，
所以，
令，则，
所以，当时，的最大值为，
他们小组在轮游戏中获“优秀小组”次数满足，
因为，故，
所以理论上至少要进行轮游戏，此时，，故． 

【解析】利用题中的数据完成列联表，计算的值，对照临界值表即可得到答案；
先求出他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率，利用，结合二次函数的性质即可得到的最大值和最小值，再利用换元法求出的最大值，从而得到的最小值以及此时，的值．
本题主要考查了独立性检验的实际应用问题，考查了利用二次函数求解最值问题以及二项分布的期望，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：设正项等比数列的公比为，，，
由题意得：，
解得：，，
，．
记，
由知：，
，
是以为首项，公差为的等差数列，
，
由题意得：，
解得：，舍
的值为． 

【解析】设正项等比数列的公比为，，，利用通项公式即可得出结论．
记，由知：，可得，利用求和公式即可得出结论．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由求导得：，
依题意，，解得，
此时，
当或时，，当时，，即，是函数的极值点，
所以．
由知，，
令，，
由知，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，取极大值，当时，取极小值，
因方程有三个实数根，则函数有三个零点，
于是得，解得，
所以实数的取值范围是． 

【解析】求出函数的导数，由给定的极值点列出方程，求解验证作答．
求出函数的极大值和极小值，再根据三次函数的图象特征列不等式即可求解作答．
本题主要考查利用导数的极值求参数，由函数的零点个数求参数的取值范围等知识，属于中等题．
 

21.【答案】证明：由，得，
由得，，
故，
又，
即数列是首项为，公差为的等差数列，
，
；
解：由可得：，
则，
得：，
即，
即数列的前项和为 

【解析】由已知可得：，即数列是首项为，公差为的等差数列，然后求数列的通项公式即可；
由可得：，，则，，然后作差即可得解．
本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了错位相减法求数列前项和问题，属基础题．
 

22.【答案】解：证明：因为，则，
又，所以，
所以，故在上单调递减．
不等式等价于对于任意恒成立，
即对于任意恒成立，
当时，则有对于任意恒成立，
即，
令，则，
令，
所以，
若，则在上恒成立，故在上为减函数，
故，故在上为减函数，
所以．
若，则，
因为为不间断函数，故存在，使得时，，
故当时，，这与题设矛盾．
所以，又，故正实数的取值范围为． 

【解析】求导函数得时，，由此得证；
将问题等价于对于任意恒成立，令，求导函数，令，分，两种情况，运用导函数讨论函数的单调性和最值，从而得函数的单调性和最值，由此可求得正实数的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．