2023届河南省许昌市建安区第三高级中学高三上学期诊断性测试（二）数学（文）试题（解析版）

2023届河南省许昌市建安区第三高级中学高三上学期诊断性测试（二）数学（文）试题

一、单选题

1．若集合 ，则（    ）

A． B．

C．或 D．

【答案】B

【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性求得集合，根据集合的并集运算即可得答案.

【详解】解得，解得，

故得 ，

故，

故选：B．

2．已知非零向量的夹角正切值为，且，则（    ）

A．2 B． C． D．1

【答案】D

【分析】先求出非零向量的夹角余弦值，再利用向量数量积的运算律和定义处理

，即可得到答案.

【详解】解析 设，的夹角为，由得.

因为，所以，

得，解得或（舍去）.

故选：D.

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合题干条件以及余弦的二倍角公式得到，进而结合两角和的正弦公式即可求出结果.

【详解】因为，

所以，

故选：C.

4．在如图所示的程序框图中，输入，则输出的数等（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据流程图模拟计算后可求输出的值.

【详解】第一次判断后，，

第二次判断后，，

第三次判断后，，

第四次判断后，不成立，故终止循环，

故选：B.

5．“m=0是“直线与直线之间的距离为2”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据平行线间的距离公式可得或，进而根据充分与不必要条件的定义判断即可.

【详解】两条平行线间的距离，即，解得或，

即“”是“两直线间距离为2”的充分不必要条件.

故选：A.

6．年支付宝推出的“集福卡，发红包”活动中，用户只要集齐张福卡，就可拼手气分支付宝亿元超级大红包，若活动的开始阶段，支付宝决定先从富强福、和谐福、友善福、爱国福、敬业福个福中随机选出个福，投放到支付宝用户中，则富强福和友善福至少有个被选中的概率为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先求出富强福和友善福两个都没有被选中的概率，然后再由可得答案.

【详解】从富强福、和谐福、友善福、爱国福、敬业福个福中随机选出个福有选法，

富强福和友善福两个都没有被选中有种选法，

所以富强福和友善福两个都没有被选中的概率为，

则富强福和友善福至少有个被选中的概率为，

故选：D．

7．若x，y满足不等式组，则下列目标函数中在点处取得最小值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据不等式组画出可行域，再分析各选项即可.

【详解】作出满足题设约束条件的可行域，即如图内部（含边界）

易得

作直线，把直线向上平移，z减小，当过点时，取得最小值，故A正确；

作直线，把直线向上平移，z减小，当过点时，取得最大值，故B错误；

作直线，把直线向上平移，z增加，当过点时，取得最大值，故C错误；

作直线，把直线向上平移，z增加，当过点时，取得最大值，故D错误．

故选：A．

8．函数在的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】判断函数的奇偶性，可判断A；取特殊值，根据特殊值的函数值可判断,可得答案.

【详解】由题意函数，，

则，故为奇函数，

其图像关于原点对称，故A错误；

又因为，,可判断B错误，

，故错误，

只有D中图像符合题意，故D正确，

故选：D

9．已知中，，则的充要条件是（    ）

A．是等腰三角形 B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据正余弦定理即可结合选项逐一求解.

【详解】由于，故当是等腰三角形时，或或；

当时，是等腰三角形，所以是等腰三角形是的必要不充分条件，所以选项A不正确；

当时，，即，所以或，则或；当时，，根据正弦定理可得，所以是的必要不充分条件，所以选项B不正确；

当时，，即，解得，所以不是的充分条件，所以选项C不正确；

当时，；当时，即，根据余弦定理，解得，则，所以是的充要条件，

故选：D．

10．如图，点在以为焦点的双曲线上，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为

A． B．2 C． D．

【答案】C

【分析】连接,可得三角形为等边三角形，过点P作PH⊥x轴于点H, 则∠=60，可得|=2c, , ||=, ||=，连接,利用双曲线的性质, 2a=||-||=-2c=,可得离心率e.

【详解】解：由题意得：

四边形的边长为2c, 连接,由对称性可知, ||=||=2c,则三角形为等边三角形.

过点P作PH⊥x轴于点H, 则∠=60，

||=2c,在直角三角形中, ||=, ||=,

则P(2c,), 连接, 则||=.

由双曲线的定义知,2a=||-||=-2c=,

所以双曲线的离心率为e===，

故选C.

【点睛】本题主要考查双曲线的相关性质及菱形的性质，灵活运用双曲线的性质是解题的关键.

11．若函数在上存在极大值点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出函数的导数，令，讨论a的取值范围，结合在上存在极大值点，结合二次函数性质列出相应不等式，即可求得答案.

【详解】由题意可得，

令，则 ，

当时，，当时，，递增，

当时，，递减，函数在时取极大值，符合题意；

当时，图象对称轴为，

此时要使函数在上存在极大值点，需满足，

即，则，

此时，在上递减，存在 ，使得，

则当时，，递增，当时，，递减，函数在时取极大值，符合题意；

当时，图象开口向下，对称轴为，

此时要使函数在上存在极大值点，需满足，

即，则，同上同理可说明此时符合题意，

综合上述，可知的取值范围为，

故选：D

二、多选题

12．已知复数z满足，则下列说法中正确的是（    ）

A．复数z的模为 B．复数z在复平面内所对应的点在第四象限

C．复数z的共轭复数为 D．

【答案】AD

【分析】根据复数的四则运算和几何意义求解即可.

【详解】因为，所以，

，

有，故A正确；

复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限，故B错误；

复数的共轭复数为，故C错误；

因为，故D正确，

故选:AD.

三、填空题

13．曲线在处的切线与直线平行，则___________.

【答案】

【分析】求得，得到，根据题意得到，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得，

可得，，

因为曲线在处的切线与直线平行，

可得，所以.

故答案为：

14．把函数的图像向右平移个单位长度，得到的图像所对应的函数为偶函数，则的最小正值为__________．

【答案】

【分析】先化简的解析式，再由平移得出的解析式，由为偶函数，所以，，从而可得出答案.

【详解】由函数

把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数

即的图象．

因为为偶函数，所以，，解得，，

当时，取得最小正值，最小正值为．

故答案为：

15．设数列首项，前n项和为，且满足，则满足的所有n的和为__________.

【答案】9

【分析】根据求出数列的通项，再根据等比数列的前项和公式求出，从而可得出答案.

【详解】解：由，得，

两式相减得，

则，

当时，，所以，

所以数列是以为首项为公比的等比数列，

则，，

故，

由，得，

所以，所以或5，

即所有n的和为.

故答案为：9.

16．三棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上.若是等边三角形，平面平面，，则三棱锥体积的最大值为________.

【答案】3

【解析】作图，设，则，，

，求出，根据图像得，底面三角形的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时，三棱锥的体积最大，进而求解可得答案

【详解】

根据可知，为三角形所在截面圆的直径，又平面平面，为等边三角形，所以在上，如图所示，设，则，，

，，

，，，

，当底面三角形的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时，三棱锥的体积最大，此时，

故答案为：3

【点睛】关键点睛：解题关键是根据三角形的形状判断球心的位置，得出到平面的最大距离，难度属于中档题

四、解答题

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，.

(1)若，求的值；

(2)求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理边化角即可；

（2）利用余弦定理结合已知得，利用二次函数求得最小值．

【详解】（1）解：，且，

，

，

由正弦定理可知，

，

，

即，

，

整理得，

；

（2）解：，

由余弦定理可知，

，且，

，

当时，

的最小值为．

18．随着人民生活水平的日益提高，汽车普遍进入千家万户，尤其在近几年，新能源汽车涌入市场，越来越受到人们喜爱．某新能源汽车销售企业在2017年至2021年的销售量（单位：万辆）数据如下表：

(1)请用相关系数判断关于的线性相关程度（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算时精确到小数点后两位）；

(2)求出关于的线性回归方程，并预计2022年该新能源汽车企业的销售量为多少万辆？

参考数据：，，

附：相关系数，回归直线方程的斜率，截距

【答案】(1)与有很强的线性相关性；

(2)，109.2万辆.

【分析】（1）根据公式求出线性相关系数，从而可得出结论；

（2）利用最小二乘法求出线性回归方程，再代入的值，即可得出预计值.

【详解】（1）解：由表中数据可得，，∴，

又，，

∴，

所以与有很强的线性相关性；

（2）解：由表中数据可得，

则，

∴，

又2022年对应的代号为6，故，

由此预计2022年该新能源汽车企业的销售量为109.2万辆．

19．如图，是边长为的等边三角形，分别在边上，且，为边的中点，交于点，沿将折到的位置，使.

(1)证明：平面；

(2)若平面内的直线平面，且与边交于点，是线段的中点，求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）首先确定，在中，利用勾股定理可证得；再根据等腰三角形三线合一可得；由线面垂直的判定定理可得结论；

（2）连接，作交于点，由线面平行的判定可知平面，进而确定，由，利用三棱锥体积公式可得结果.

【详解】（1）为等边三角形，为中点，，；

，即，，，，

则在中，，，，

，即；

，为中点，又，；

，平面，平面.

（2）连接，过在平面上作交于点，

平面，平面，平面，

此时四边形为平行四边形，，

，

即三棱锥的体积为.

20．已知函数，其中.

(1)讨论的单调性；

(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）首先求出函数的定义域与导函数，分与两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；

（2）依题意只需，即需要恒成立，设，，由（1）中的结论求出的最小值，则问题转化为，恒成立，参变分离可得，恒成立，再构造函数，，利用导数求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围；

【详解】（1）解：因为定义域为，

且，

当，恒成立，所以该函数在上单调递增；

当，令，解得，令，解得，

所以该函数的单调增区间为，单调减区间为.

综上，当，的单调递增区间为；当，的单调增区间为，单调减区间为.

（2）解：若要，只需，

即需要恒成立.

设，，

由（1）知在上单调递减，在上单调递增，所以，

于是需要，恒成立，即，恒成立.

设，，则恒成立，

所以，

则，即.

21．已知双曲线：的焦距为4，且过点

(1)求双曲线的方程；

(2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，试求与的面积之比.

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）由题意得，再将代入双曲线方程，结合可求出，从而可求出双曲线方程，

（2）设直线方程为，，将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示点的坐标，再利用表示出点的坐标，再表示出直线的方程，可求得直线过定点，从而可求得答案.

【详解】（1）由题意得，得，

所以，

因为点在双曲线上，

所以，

解得，

所以双曲线方程为，

（2），设直线方程为，，

由，得

则，

所以，

所以的中点，

因为，

所以用代换，得，

当，即时，直线的方程为，过点，

当时，，

直线的方程为，

令，得，

所以直线也过定点，

所以

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），的参数方程为（t为参数）.

(1)求的普通方程并指出它的轨迹；

(2)以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线：与曲线的交点为O，P，与的交点为Q，求线段的长.

【答案】(1)答案见详解；

(2).

【分析】（1）消去，即可求得的普通方程为，轨迹为圆，又，方程为，可知轨迹为上半圆及其与轴的两个交点；

（2）根据（1）可求得的极坐标方程为，，代入，可求得.将的参数方程化为普通方程后，可求得极坐标方程，代入，可求得，进而求出线段的长.

【详解】（1）由已知可得，，则，

又，所以，则.

所以的普通方程为，轨迹为以为圆心，2为半径的圆的上半圆以及其与轴的两个交点，.

（2）由曲线化为极坐标方程：，.

把代入可得，所以.

的参数方程为（t为参数），消去参数可得，

可得极坐标方程为，把代入方程可得，所以，所以.

又三点共线，且有.

23．已知关于的不等式有解．

(1)求实数的最大值；

(2)在（1）的条件下，已知为正数，且，求的最小值．

【答案】(1)

(2)36

【分析】（1）利用绝对值不等式得，所以有解只需即可；

（2）利用均值不等式求解即可.

【详解】（1）因为，当且仅当等号成立

所以的最大值为3．

因为不等式有解，所以，解得，

所以实数的最大值．

（2）由（1）知，，

因为（当且仅当时，等号成立），

，

当且仅当，即，时，等号成立，

所以的最小值为36．