2024届河南省高三上学期阶段性测试（二）数学试题含解析

这是一份2024届河南省高三上学期阶段性测试（二）数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解不等式得到，，然后求交集即可.
【详解】令，解得，所以，，.
故选：A.
2．已知：指数函数是增函数，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由指数函数是增函数得，根据与推出关系判断.
【详解】由指数函数是增函数得，故，
由可以推出，但由不可以推出，
故是的充分不必要条件.
故选：A.
3．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义求出，即可求出，再由两角和的正切公式计算可得.
【详解】因为角的终边经过点，且，
所以且，
解得，
所以，则.
故选：C
4．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用图中数据计算函数值的正负，即可结合选项排除求解.
【详解】由于，故可排除B，
由，此时可排除A，
由，此时可排除D,
故选：C
5．已知函数则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，由条件可得当时，是周期为的函数，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】当时，，令，则，
即，则，
即是周期为的函数，
又因为，
且，
所以.
故选：A
6．函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由三角恒等变换公式化简，然后换元，结合二次函数的值域，即可得到结果.
【详解】因为
，且，
则，
令，则，
所以，，对称轴为，
当时，，
当时，，
即函数的值域为.
故选：B
7．如图，为了测量两个信号塔塔尖之间的距离，选取了同一水平面内的两个测量基点与（在同一铅垂平面内）．已知在点处测得点的仰角为，点的仰角为，在点处测得点的仰角为，点的仰角为，且米，则（ ）
A．米B．400米C．米D．米
【答案】D
【分析】将实际问题抽象出几何图形，在多个三角形中解三角形，从而得出实际问题的解.
【详解】如图，过作，垂足为，过作，垂足为.
由题意可知，，
,
在中，,即，
;
在中，,且,
由正弦定理得，,即，即，
在中，,且，
由余弦定理得，解得，
故选：D.
8．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据不等关系得到，通过跟特殊值比较得到.
【详解】由题意得，，，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
综上所述，可得.
故选：B.
二、多选题
9．已知是函数的图象与直线的两个交点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的定义域为
C．在区间单调递增
D．的图象的对称中心为点
【答案】AD
【分析】A选项，根据的周期性判断即可；BD选项利用整体代入的方法求定义域和对称中心即可；C选项，利用代入检验法判断单调性.
【详解】因为是函数的图象与直线的交点，所以的最小值为函数的最小正周期，，所以，故A正确；
令，解得，所以的定义域为，故B错；
因为，所以，因为函数在上不单调，所以函数在上不单调，故C错；
令，解得，所以的对称中心为点，，故D正确.
故选：AD.
10．已知函数在处取得极大值，则下列结论正确的是（ ）参考数据：．
A．
B．
C．在处取得极小值
D．在区间的最小值为
【答案】BCD
【分析】根据极值的性质可得，再求导分析函数的单调性与最值逐个选项判断即可.
【详解】对A,B，，故，
由题意，，
解得，，故A错误，B正确；
对C，故，.
令可得或，令可得，
故在与上单调递增，在上单调递减，故在处取得极小值，故C正确；
对D，由C，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
又，，故D正确.
故选：BCD
11．已知为偶函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若的最小正周期为，则
C．若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为
D．若，则的最小值为2
【答案】AB
【分析】先根据是偶函数求判断A选项；根据最小正周期公式计算可以判断B选项；据有且仅有3个最值点求范围判断C选项；据函数值求参数范围结合给定范围求最值可以判断D选项.
【详解】为偶函数,则 ，,,A选项正确;
若的最小正周期为,由,则,B选项正确;
,若在区间上有且仅有3个最值点，则 ,,C选项错误;
,若，或则或,又因为,则的最小值为，D选项错误.
故选:AB.
12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若恰有2个零点，则或
B．若恰有3个零点，则
C．当时，恰有5个零点
D．当时，仅有1个零点
【答案】CD
【分析】参变分离后利用导数和二次函数的性质研究的图象特征，从而可判断不同零点个数时参数的取值范围或根据参数的范围可判断零点的个数.
【详解】当，，故有零点；
当，的零点个数等价于方程的根的个数，
也等价于直线与函数的图象的交点个数.
而，
当时，，，
当时，；当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
当时，，当时，，
故的图象如图所示：
对于A，若恰有2个零点，则与的图象有且只有一个交点，
由图可得，故A错误；
对于B，若恰有3个零点，则与的图象有且只有两个交点，
由图可得或，故B错误；
对于C，当时，与的图象有且只有四个交点，
故有五个不同的零点，故C正确；
对于D，当时，与的图象有且没有交点，
故有且只有一个零点，
故选：CD.
【点睛】思路点睛：对于含参数的分段函数的零点问题，可通过参变分离将零点个数问题转化为水平直线与不含参数的新函数的图象的交点个数问题来处理.
三、填空题
13．已知函数是定义域为的奇函数，则实数的值为 ．
【答案】9
【分析】由函数是定义域为的奇函数，利用函数奇偶性的定义，建立方程进行求解即可．
【详解】函数是定义域为的奇函数，
必有，
则，
当时，，上式成立；
当时，上式可化简为
即，
即,
即，则
解得.
故答案为：9.
14．已知命题“”为假命题，则实数的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据为真命题，得，只需，利用导数求的最小值即可.
【详解】命题“”为假命题，
所以，
所以，只需，
令，则，
显然为上为增函数，且，
当时，，当时，，
所以当时，为减函数，当时，为增函数，
所以，
所以实数的最大值为.
故答案为：
15．已知，且，则 ．
【答案】
【分析】根据同角三角函数基本关系和和差公式计算即可.
【详解】因为，所以，，
则
.
故答案为：.
16．已知函数，若不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】转化有且仅有1个整数解为有1个整数解，数形结合列出不等关系即可求得答案．
【详解】由题有且仅有2个整数解即恰有1个整数解，
也即有1个整数解，
令，，
（1）当时，，则，此时有无数个整数解，不成立；
（2）当时，如图所示，有无数个整数解，也不成立；
（3）当时，要符合题意，如图，
由于，均经过点，要使有1个整数解，
则，即，解得，
故答案为：
四、解答题
17．已知函数，当时，取得最大值2，的图象上与该最大值点相邻的一个对称中心为点．
(1)求的解析式；
(2)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用五点法求函数解析式；
（2）由题意可得，以为整体，结合余弦函数运算求解.
【详解】（1）设的最小正周期为，
由题意可知：，，则，可得，
则，
且图象过点，可得，
则，解得，
又因为，可知，
所以．
（2）由题意可得：，
因为，则，可得，
即，所以在区间上的值域为．
18．某村民欲修建一座长方体形水窖，水窖的容积为6立方米，深度为1.5米，底面周长不超过10米，水窖的底部每平方米造价为400元，侧面每平方米造价为200元，顶部每平方米造价为300元，设水窖的底面一边长为（单位：米），总造价为（单位：元）．
(1)求函数的解析式及定义域．
(2)当取何值时，水窖的总造价最低？最低是多少？
【答案】(1)，
(2)米，元．
【分析】（1）根据长方体体积公式可得边长为，另一边长为，即可根据每平米造价分别求面积求解，
（2）由基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题知，水窖底面积为平方米，
水窖底部造价为元．顶部造价为元．
水窖的底面一边长为，水窖底面的另一边长为，
水窖的侧面积为，
水窖侧面的造价为，
．
由解得，
所以定义域为．
（2）由（1）知，
，
当且仅当即时，取等号，
所以(元).
19．在中，角所对的边分别为．
(1)求角；
(2)已知，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用余弦定理边角转化，再应用正弦定理结合两角和差公式计算即可；
（2）应用正弦定理边角互化,再应用面积公式结合三角恒等变换,求三角函数值域可得范围.
【详解】（1），
，
．
，，
，．
，．，．
（2）由（1）知．
由正弦定理知，
．
，
，，
．
面积的取值范围为．
20．如图所示，在平面四边形中，的面积为．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理面积公式得到，再利用余弦定理求解即可.
（2）作，垂足分别为，根据题意得到，，再利用求解即可.
【详解】（1），
，
由余弦定理知，
，
．
（2）由（1）知，，所以
如图所示，作，垂足分别为，
则．
，
，．
．
21．已知曲线在处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)已知为整数，关于的不等式在时恒成立，求的最大值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导分析单调性可得在上是增函数，进而将不等式转化为在时恒成立，再构造函数，再求导分析单调性，结合零点存在性定理分析函数的极值，进而可得的最大值．
【详解】（1）由题知，，，
在处的切线方程为，．
（2）由（1）知，
，
在上是增函数，
关于的不等式在时恒成立，
不等式即在时恒成立．
设，
则．
设，则，
在区间是增函数，
，
存在，使，
当时，，当时，，
在区间单调递减，在区间单调递增，
，
，
又为整数，的最大值为3．
【点睛】方法点睛：
（1）恒成立问题可考虑参变分离；
（2）构造函数分析单调性，极值点求不出的可设极值点，根据零点存在性定理确定极值点的范围；
（3）根据极值点满足的关系式，代入极值，继续构造函数分析极值范围.
22．已知函数．
(1)若，讨论的单调性．
(2)已知关于的方程恰有个不同的正实数根．
（i）求的取值范围；
（ii）求证：．
【答案】(1)在，上单调递增，在上单调递减
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）求导后，根据的正负可确定的单调性；
（2）（i）将问题转化为与有两个不同交点的问题，利用导数可求得的单调性和最值，从而得到的图象，采用数形结合的方式可确定的范围；
（ii）设，根据：，，采用取对数、两式作差整理的方式可得，通过分析法可知只需证即可，令，构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，由此可证得结论.
【详解】（1）当时，，则；
令，解得：或，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减.
（2）（i）由得：，
恰有个正实数根，恰有个正实数根，
令，则与有两个不同交点，
，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，又，
当从的右侧无限趋近于时，趋近于；当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于；
则图象如下图所示，
当时，与有两个不同交点，
实数的取值范围为；
（ii）由（i）知：，，
，，
，
不妨设，则，
要证，只需证，
，，，则只需证，
令，则只需证当时，恒成立，
令，
，
在上单调递增，，
当时，恒成立，原不等式得证.
【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解函数单调性、方程根的个数问题和极值点偏移问题的求解；本题求解极值点偏移的基本思路是通过引入第三变量，将问题转化为单变量问题，进而通过构造函数的方式证明关于的不等式恒成立.