2023届河南省部分重点高中高三上学期12月联合考试数学（文）试题（解析版）

2023届河南省部分重点高中高三上学期12月联合考试数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合，再根据交集的定义即可得解.

【详解】解：，

所以.

故选：B．

2．已知命题，.若命题是假命题，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意可知，不等式对任意的恒成立，可得出，由此可解出实数的取值范围.

【详解】依题意对任意实数都成立，所以，解得，因此，实数的取值范围是.

故选：B.

【点睛】本题考查利用特称命题的真假求参数，同时也考查了一元二次不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题.

3．在△ABC中，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据平面向量基本定理求解可得，，进而可得答案.

【详解】由可得，则，即，，所以.

故选：B．

4．函数在上的最大值与最小值的和为（    ）

A．－10 B．2 C．10 D．不确定

【答案】C

【分析】令，再计算可得是奇函数，从而根据函数的对称性求解即可.

【详解】令，则有，故，故是奇函数，

所以函数关于点对称，故最大值与最小值也关于对称，其和为10．

故选：C

5．已知的解集是，若的解集为，，则（    ）

A．24 B．12 C．6 D．

【答案】C

【分析】根据解集得到，根据韦达定理得到，，代入计算得到答案.

【详解】，故．

因为的解集为，由韦达定理，知，，则，解得，

故选：C

6．已知数列满足，且，则（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【分析】根据累加法求解即可.

【详解】由，且，根据累加法可得：

，

所以，则.

故选：B

7．已知点是角的终边上一点，则（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【分析】利用三角函数的定义可求得、的值，再利用二倍角公式可求得的值.

【详解】由三角函数的定义可得，，

所以，.

故选：A.

8．已知函数的定义域为，满足（为的导函数），设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，再求导分析函数的单调性，进而结合判断大小关系即可.

【详解】由，化简，令，则，所以函数在上单调递增，，所以.

故选：D

9．已知函数定义域为，，是偶函数，设，则下列选项中一定成立的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】确定为奇函数，是偶函数，函数周期为4，再依次判断每个选项得到答案.

【详解】，所以为奇函数，故函数图象关于点对称，

是偶函数，故，即，

函数图象关于直线对称，所以

所以，所以函数周期为4，

对选项A：，故A正确；

对选项B：无法确定，错误；

对选项C：，错误；

对选项D：，故，即，，错误.

故选：A

10．已知，，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．12

【答案】C

【分析】变换得到，再利用均值不等式计算得到答案.

【详解】，，因为，，故，，

，

当且仅当时，即时等号成立．所以的最小值为．

故选：C

11．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，若函数的极大值与极小值之和为，则的值域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】计算函数的对称中心为，确定，求导得到单调区间，计算最值得到答案.

【详解】，，得，，

即函数的对称中心为，

函数存在极大值与极小值，设极值点为，，

，即或．，

，

当和时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减.

，，故的值域为．

故选：D

12．设函数（），若在上有且仅有5个极值点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】化简得到，，得到，解得答案.

【详解】

，

当时，，

若函数在上有且仅有5个极值点，则，解得．

故选：D

二、填空题

13．命题“，”的否定是__________．

【答案】，

【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.

【详解】命题“，”的否定是，．

故答案为：，

14．已知，，，则__________．

【答案】

【分析】根据向量平行得到，再计算模长得到答案.

【详解】，由，则，则，所以，则．

故答案为：

15．写出一个同时满足下列性质的函数： __________．

①定义域为；

②；

③设是函数的导函数，且．

【答案】（，），答案不唯一

【分析】确定（，），再验证即可.

【详解】（，），

满足定义域为；；，

故答案为：（，）

16．已知某圆台的上、下底面面积分别为和，高为2，上、下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为__________．

【答案】

【分析】由题意圆台上下底面的半径分别为1和2，再分析两底面在球心同侧于异侧时两种情况，再设球的半径为R，根据垂径定理列式求解即可.

【详解】由题可知圆台上下底面的半径分别为1和2，外接球轴截面如图所示，

设球的半径为R，当两底面在球心同侧时，有，即，即，即，方程无解；

当两底面在球心异侧时，有，即，所以，即，则，．

∴这个球的表面积是．

故答案为：

三、解答题

17．已知数列的前项和为，，，．

(1)求；

(2)设是数列的前项和，求．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由已知可推出，数列是首项为1，公差为的等差数列，即可解出，进而解得；

（2）由（1）可得，然后求和即可得到.

【详解】（1）由题，可得，

又知，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，

所以，即．

（2）由（1）可得，

∴．

18．如图，在四棱锥中，为正方形，平面平面，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点．

(1)证明：平面；

(2)求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明平面平面，根据平面，得到证明.

（2）确定B，D两点到平面EFG的距离相等，，计算得到答案.

【详解】（1），，分别是线段，，的中点，故，，

平面，平面，平面，平面，

故平面，平面，

，平面，平面，平面平面，

平面，故平面．

（2）连接，平面PAD⊥平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，PA⊥AD，

故PA⊥平面ABCD，平面，PA⊥CD，

四边形ABCD为正方形，AD⊥CD，，平面，

故CD⊥平面PAD．GD＝2，．

平面EFG，故B，C两点到平面EFG的距离相等，

G是线段CD的中点，C，D两点到平面EFG的距离相等，

即B，D两点到平面EFG的距离相等，

，

三棱锥B－EFG的体积为．

19．已知数列{}满足＝，＝，＝．

(1)证明：{－}为等差数列，并求；

(2)设＝＋·，求数列{}的前项和．

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】(1)定义法证明等差数列, 应用等差数列通项公式可得通项,再构造等比数列, 应用等比数列通项公式计算即可.

(2)分奇偶讨论,并应用等差数列求和公式计算即可得解.

【详解】（1）根据题意得an＋1＝4an－3an－1，可得an＋1－3an＝an－3an－1，

又知a2－3a1＝－2，

所以数列是首项为－2，公差为0的等差数列，

所以an－3an－1＝－2，即an－1＝3（an－1－1），

又知a1－1＝4－1＝3，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，

所以．

（2），

当n为偶数时，前n项和；

当n为奇数时，前n项和，

则

20．如图，在四棱锥中，，垂足为，平面，，，．

(1)证明：平面平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据，证明平面即可

（2）计算，再利用等体积法得到点到平面的距离为，再计算线面夹角得到答案

【详解】（1）∵平面，平面，故，

又，，平面，平面，

故平面，又平面．

平面平面

（2）在中，由得，

在中，由得，

在中，由得．

在中，由得，

在中，由，

由可得，

，

设点到平面的距离为，

由，得，

即，

设直线与平面所成的角为，则．

21．如图所示，在平面四边形中，，，．

(1)求角的大小；

(2)当角为何值时，四边形的面积最大．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化简得到，计算得到答案.

（2）计算，，得到，根据三角函数的有界性得到最值.

【详解】（1）因为，所以，

即，解得，，．

（2），，为等边三角形，

在中，由余弦定理知：

，

而，

，

四边形ABCD的面积

，

，，当即时，取得最大值为，

故四边形ABCD面积的最大值为．

22．已知函数f（x）＝xlnx－ax2－x＋a（a∈R）．

(1)当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

(2)若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2（其中x1＜x2），证明：x1·＞e3．

【答案】(1)2x＋y－1＝0

(2)证明见解析

【分析】(1)利用切点和斜率可求切线方程.

(2)先根据f（x）有两个不同的极值点把用表示，换元后再构造函数，应用导数求解证明即可

【详解】（1）当a＝1时，，，

则，即切线斜率为－2，

又f（1）＝－1，则切线l的方程为y＋1＝－2（x－1），

即切线方程为2x＋y－1＝0．

（2），

因为函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，且0＜x1＜x2

所以，，

要证等价于证，即证，

所以，所以，

又，，

作差得，所以，

所以原不等式等价于要证明，即，

令，t（0，1），则上不等式等价于要证：，t（0，1），

令，t（0，1），

则，t（0，1），

所以函数h（t）在（0，1）上递增，所以h（t）＜h（1）＝0，

所以，t（0，1），

所以．