2023届河南省驻马店市部分重点中学高三上学期阶段性检测数学（文）试题含解析

2023届河南省驻马店市部分重点中学高三上学期阶段性检测数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合的交并补运算即可求解.

【详解】，.

故选：D

2．已知命题：，．下列选项正确的是（    ）

A．：， B．：，

C．：， D．：，

【答案】C

【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题进行判断即可．

【详解】∵存在量词命题的否定是全称量词命题，

∴：，．

故选：C．

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用三角恒等变换即可解决

【详解】.

故选：D

4．已知向量，，若，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【分析】根据向量平行的坐标关系即得.

【详解】由，得，

所以.

故选：A.

5．已知函数，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再利用函数的单调性化简得，解不等式即得解.

【详解】因为，所以是奇函数，

当时，是增函数，此时，

又，

所以在R上是增函数．又因为，，

所以可化为

所以，

解得．

故选：B

6．已知非零向量a，b满足，且，则 与 的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】用数量积公式计算，由得，从而，得.

【详解】设 与 的夹角为，

因为, 则 ,

因为 , 所以 ，

 则 , 所以，

又因为 ， .

故选：D.

7．的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由求出的值，然后根据充分条件与必要条件的概念判断即可．

【详解】由，可得，解得或，所以选项C符合题意．

故选：C．

8．的内角的对边分别为，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据数量积的定义可得,根据正弦定理边角互化即可求解.

【详解】因为，所以，即，

由正弦定理可得，且，

所以，且，则，，所以.

故选:B

9．根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1mg/m3为安全范围.已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05mg/m3，使用了甲醛喷剂并处于良好的通风环境下时，室内甲醛浓度y（t）（单位：mg/m3）与竣工后保持良好通风的时间t（t∈N）（单位：周）近似满足函数关系式，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6）（    ）

A．5周 B．6周 C．7周 D．8周

【答案】A

【分析】先代入t=0计算出值写出函数关系，再根据规范写出函数表达式解出时间t.

【详解】依题意可知当t=0时，y=6.05，即0.05+=6.05，=6，所以，

由，得，解得t≥ln120=3ln2+ln3+ln5≈4.8，至少需要放置的时间为5周.

故选:A

10．已知为递增数列，前n项和，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意先算，再利用，求出时的通项公式，再利用数列的单调性，即可解决问题

【详解】当时，，

当时，，

由为递增数列，只需满足，即8>4+λ，解得，

则实数的取值范围是，

故选：D.

11．定义在上的函数满足：对任意的，有，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】判断的单调性，令，结合的单调性，求得答案．

【详解】在上的函数满足：对任意的，有，所以在上单调递减，

令，则在上单调递减，且，

则由，即，得，

所以不等式的解集为．

故选：B．

12．设函数，给出下列结论：

①若，，则；

②存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称；

③若在上有且仅有4个零点，则的取值范围为；

④，在上单调递增.

其中正确的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据二倍角公式化简得，根据最值与周期的关系可判断①,根据平移可判断②，根据零点问题可判断③,根据整体法验证可判断④.

【详解】因为，所以的最小正周期为.

对于①，因为，故分别为最大、最小值，由于，所以的最小正周期，所以.故①错误；

对于②，图象变换后所得函数为，

若其图象关于原点对称，则，，解得，，

当时，，故②正确；

对于③，当时，，因为在上有且仅有4个零点，所以，解得，故③正确；

对于④，当时，，

因为，所以，，

所以在上单调递增.故④正确.综上，正确的个数为3.

故选：C

二、填空题

13．若，则______.

【答案】3

【分析】根据同角三角函数的商数关系得到，结合正切的差角公式进行求解.

【详解】因为，

所以，，

故.

故答案为：3

14．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则______．

【答案】

【分析】由求，结合正弦定理列式即可求解

【详解】因为，，所以．由正弦定理得，解得.

故答案为：

15．已知函数的零点恰好是的极值点，则______.

【答案】

【分析】设是的零点，也是的极值点，进而建立方程，解方程并检验满足条件即可.

【详解】解：根据题意，设是的零点，也是的极值点，

因为

所以，解得.

此时，，

当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，

所以，函数在处取得极小值，且，满足条件.

故答案为：

16．数学中处处存在着美，机械学家菜洛发现的菜洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.已知，点为上一点，则的最小值为______

.

【答案】

【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算用所求式子将表示为，再利用三角形的几何意义求解即可.

【详解】设为的中点，为的中点，如图所示，

所以

因为，所以，的最小值为.

故答案为：

三、解答题

17．已知函数.

(1)若在上单调递增，求的取值范围；

(2)若，比较与的大小关系.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由条件可得在上恒成立，化简可得，然后求出的最大值即可；

（2）令，然后利用导数求出即可.

【详解】（1）由题意知，在上恒成立，化简可得，

当时，，所以，故的取值范围是.

（2）令，则，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

则，

所以，即.

18．在中，角所对的边分别为，，，.

(1)求的最大内角；

(2)若为上一点，且，，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合余弦定理即可求解，

（2）根据余弦定理可得，进而可求的面积，根据比例即可求解的面积.

【详解】（1）因为，所以.

设，，，(),所以最大，

所以，

因为，所以，即的最大内角为.

（2）在中，，，

所以，解得.

又，

且，所以的面积为.

19．已知数列满足为等比数列.

(1)证明：是等差数列，并求出的通项公式.

(2)求的前项和为.

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】（1）根据题意得，进而根据等差数列定义证明，并结合通项公式求解即可；

（2）根据错位相减法求解即可；

【详解】（1）证明：因为数列满足为等比数列，

所以的公比，首项为

所以，即，

所以是以为公差的等差数列，首项为，

所以，，

所以，

（2）解：根据错位相减法有：

，

，

所以，

，

所以

20．已知函数的图象过点，若存在，，使得，且.

(1)求的解析式；

(2)将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，，，，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据恒等变换化简得，进而根据的图象过点可得，根据最值与周期的关系可得周期，进而可求.

（2），故求的最小值，变形得，使得，求的最大值即可.

【详解】（1）由题意，

.

因为的图象过点，所以，由于,所以,故，所以.

又存在，，使得，所以为最值，且，所以，解得.

所以.

（2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，

当时，，当时，取得最小值，最小值为.

由题可知存在，使得，化简可得，

令，，则.

易知在上单调递增，在上单调递减，则，

则，即的取值范围为.

21．已知函数满足．

(1)求的解析式；

(2)若关于的方程有3个不同的实数解，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）用代替，再消去即可得解；

（2）令，讨论方程的实数解的情况，即可得出的范围．

【详解】（1）由①，

可得②，

联立①②可得．

（2）由题可知，即，

令，则关于的方程有3个不同的实数解，

，即，解得或，

则只需有两个不同的非零实数解，则，

所以的取值范围为．

22．已知函数在处的切线经过点．

(1)求的值；

(2)证明：当时，．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）求出函数的导数，计算，根据导数的几何意义，即可求出的值；

（2）要证，只需证．令，，结合函数的单调性，可证得，，因与不同时为0，从而得出结论．

【详解】（1）由题意知，，则．

又，所以，解得．

（2）要证，即，只需证．

令，则，

当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

则，所以．

令，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

则，所以．

因为与不同时为0，所以，故原不等式成立．