2022-2023学年北京市人大附高高三上学期12月统测四数学试卷（解析版）

这是一份2022-2023学年北京市人大附高高三上学期12月统测四数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京市人大附高2022-2023学年高三上学期12月统测四
数学试卷
一、单选题（共50分，每小题5分）
1．（5分）若复数z满足z＝3i+4，则||＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
2．（5分）已知向量，若，则＝（　　）
A． B． C． D．20
3．（5分）曲线y＝x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
4．（5分）记Sn为数列{an}的前n项和，给出以下条件，其中一定可以推出{an}为等比数列的条件是（　　）
A．Sn＝2an﹣1 B．Sn＝2n+1
C．an+1＝2an D．{Sn}是等比数列
5．（5分）抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（　　）
A．（0，a） B．（a，0） C．（0，） D．（，0）
6．（5分）设P为双曲线x2﹣＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点．若|PF1|：|PF2|＝3：2，则△PF1F2的面积为（　　）
A． B．12 C． D．24
7．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+a，g（x）＝ax+5﹣a，若对任意的x1∈[﹣1，3]，总存在x2∈[﹣1，3]，使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣9] B．[﹣9，3]
C．[3，+∞） D．（﹣∞，﹣9]∪[3，+∞）
8．（5分）平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线．若平面上到两条直线，y＝0的距离之和为3的点P的轨迹为曲线C，则曲线C围成的图形面积为（　　）
A． B． C． D．
9．（5分）设集合，集合N＝{（x，y）|（x+3）2+（y﹣3）2＝r2}（r＞0），当M∩N＝∅时，则r的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
10．（5分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”，则下列命题中：
①若A（﹣1，3），B（1，0），则有d（A，B）＝5；
②到原点的“折线距离”等于1的所有点的集合是一个圆；
③若C点在线段AB上，则有d（A，C）+d（C，B）＝d（A，B）；
④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x＝0．
真命题的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共25分，每小题5分）
11．（5分）已知圆C与圆D：x2+y2﹣4x﹣2y+3＝0关于直线4x+2y﹣5＝0对称，则圆C的方程为 　 　．
12．（5分）圆O1：x2+y2﹣1＝0与圆O2：x2+y2﹣4x＝0的公切线方程为 　 　．
13．（5分）经过点P（﹣1，2）作直线l交椭圆于M，N两点，且P为MN的中点，则直线l的方程为 　 　．
14．（5分）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：的蒙日圆方程为x2+y2＝7，则椭圆C的离心率为 　 　．
15．（5分）已知曲线C1：y＝ex，抛物线C2：y2＝4x，P（xP，yP）为曲线C1上一动点，Q（xQ，yQ）为抛物线C2上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有 　 　．
①直线l：y＝x+1是曲线C1和C2的公切线；
②曲线C1和C2的公切线有且仅有一条；
③|PQ|+xQ最小值为；
④当PQ∥x轴时，|PQ|最小值为．
三、解答题（共25分）
16．（12分）设函数f（x）＝ln（2x+3）+x2
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求f（x）在区间[﹣，]的最大值和最小值．
17．（13分）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过右焦点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线交直线l于点P，交直线x＝﹣2于点Q，求的最小值．

北京市人大附高2022-2023学年高三上学期12月统测四
数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（共50分，每小题5分）
1．（5分）若复数z满足z＝3i+4，则||＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
【分析】根据共轭复数的概念结合复数的模的运算求解．
【解答】解：∵z＝3i+4，则，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查复数的运算以及复数的模，考查运算求解能力，属于基础题．
2．（5分）已知向量，若，则＝（　　）
A． B． C． D．20
【分析】根据向量垂直的坐标表示得m＝4，再求向量的模．
【解答】解：由，得m+4﹣2m＝0，则m＝4，即，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查两向量垂直的条件以及向量的模，考查运算求解能力，属于基础题．
3．（5分）曲线y＝x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【分析】欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k＝y′|x＝1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．
【解答】解：y′＝3x2﹣2，切线的斜率k＝3×12﹣2＝1．故倾斜角为45°．
故选：B．
【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题．
4．（5分）记Sn为数列{an}的前n项和，给出以下条件，其中一定可以推出{an}为等比数列的条件是（　　）
A．Sn＝2an﹣1 B．Sn＝2n+1
C．an+1＝2an D．{Sn}是等比数列
【分析】用Sn与an的关系，求出{an}通项公式，根据等比数列的判定，即可判断正误．
【解答】解：对于A，因为Sn＝2an﹣1，
所以Sn+1＝2an+1﹣1，a1＝S1＝2a1﹣1，
则a1＝1，Sn+1﹣Sn＝an+1＝2an+1﹣2an，即an+1＝2an，
所以{an}是首项为1，公比为2的等比数列，，
又a1＝1，符合上式，
所以{an}是通项为的等比数列，A选项正确；
对于B，已知，所以，，，
则，a1＝3，不符合上式，
所以，B选项错误；
对于C，已知an+1＝2an，当首项为零时，不符合题意，C选项错误；
对于D，已知{Sn}是等比数列，则设{Sn}的通项公式为，，
则，不符合等比数列的通项公式，D选项错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查Sn与an的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
5．（5分）抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（　　）
A．（0，a） B．（a，0） C．（0，） D．（，0）
【分析】先将抛物线的方程化为标准式，再求出抛物线的焦点坐标．
【解答】解：由题意知，y＝4ax2（a≠0），则x2＝，
所以抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（0，），
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的标准方程、焦点坐标，属于基础题．
6．（5分）设P为双曲线x2﹣＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点．若|PF1|：|PF2|＝3：2，则△PF1F2的面积为（　　）
A． B．12 C． D．24
【分析】根据双曲线定义得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2，所以，再由△PF1F2为直角三角形，可以推导出其面积．
【解答】解：因为|PF1|：|PF2|＝3：2，设|PF1|＝3x，|PF2|＝2x，
根据双曲线定义得|PF1|﹣|PF2|＝3x﹣2x＝x＝2a＝2，
所以，，
△PF1F2为直角三角形，其面积为，
故选：B．
【点评】本题考查双曲线性质的灵活运用，解题时要注意审题．
7．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+a，g（x）＝ax+5﹣a，若对任意的x1∈[﹣1，3]，总存在x2∈[﹣1，3]，使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣9] B．[﹣9，3]
C．[3，+∞） D．（﹣∞，﹣9]∪[3，+∞）
【分析】对任意的x1∈[﹣1，3]，总存在x2∈[﹣1，3]，使得f（x1）＝g（x2）成立，可化为：f（x）在[﹣1，3]上值域是g（x）在[﹣1，3]上值域的子集，分别求值域转化为集合包含关系求解．
【解答】解：若对任意的x1∈[﹣1，3]，总存在x2∈[﹣1，3]，使得f（x1）＝g（x2）成立，
则f（x）在[﹣1，3]上值域是g（x）在[﹣1，3]上值域的子集，
f（x）＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，由二次函数的性质f（x）值域为：[f（2），f（﹣1）]＝[a﹣4，a+5]；
由于g（x）＝ax+5﹣a，则a≠0，
当a＞0时，g（x）在[﹣1，3]上单调递增，g（x）值域为：[g（﹣1），g（3）]＝[5﹣2a，2a+5]，
此时[a﹣4，a+5]⊆[5﹣2a，2a+5]，于是，解得：a≥3；
当a＜0时，g（x）在[﹣1，3]上单调递减，g（x）值域为：[g（3），g（3﹣1]＝[2a+5，5﹣2a]，
此时[a﹣4，a+5]⊆[2a+5，5﹣2a]，于是，解得：a≤﹣9；
综上，a≥3或a≤﹣9，
故选：D．
【点评】本题考查恒成立、有解求参数范围，可将问题转化为求值域、集合包含关系来处理，属于中档题．
8．（5分）平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线．若平面上到两条直线，y＝0的距离之和为3的点P的轨迹为曲线C，则曲线C围成的图形面积为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意易知点P的轨迹方程为，则可求出平行四边形的四个顶点，由此即可求出其面积．
【解答】解：设P（x，y），则P的轨迹方程为，
令y＝0，则曲线C与y＝0交于，，
令，则曲线C与交于，，
易知：．
故选：C．
【点评】本题考查了动点的轨迹方程以及四边形面积的计算，属于基础题．
9．（5分）设集合，集合N＝{（x，y）|（x+3）2+（y﹣3）2＝r2}（r＞0），当M∩N＝∅时，则r的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用集合的性质及圆与圆的位置关系求出有一个交点或两个交点时r的取值范围．
【解答】解：根据集合，整理得x2+y2＝4（x≤0），该集合M是以（0，0）为圆心，2为半径的左半圆，与y轴的交点为M（0，2）和N（0，﹣2）；
集合N＝{（x，y）|（x+3）2+（y﹣3）2＝r2}（r＞0），表示以点（﹣3，3）为圆心以r为半径的圆，
如图所示：

当圆C和圆O相切于点P时，即M∩N有且只有一个交点，此时r＝，
点圆C经过点M时，M∩N有两个元素，此时（0+3）2+（2﹣3）2＝r2，解得r＝，
当圆C经过点N时，M∩N有且仅有一个元素，此时（0+3）2+（﹣2﹣3）2＝r2，解得r＝，
所以当M∩N＝∅时，r的取值范围为．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
10．（5分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”，则下列命题中：
①若A（﹣1，3），B（1，0），则有d（A，B）＝5；
②到原点的“折线距离”等于1的所有点的集合是一个圆；
③若C点在线段AB上，则有d（A，C）+d（C，B）＝d（A，B）；
④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x＝0．
真命题的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据新定义d（P，Q）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”，依次判断即可
【解答】解：对于①：坐标代入d（P，Q）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|可得d（A，B）＝5；①对．
对于②：到原点的“折线距离”等于1的点的集合{（x，y）||x|+|y|＝1}，是一个正方形，②不正确．
对于③：C点在线段AB上，则C点坐标（x，y），
若x1＜x＜x2，y1＜y＜y2，
根据定义d（P，Q）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|化简d（A，C）+d（C，B）＝d（A，B）；
同理若x2＜x＜x1，y2＜y＜y1，
根据定义d（P，Q）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|化简d（A，C）+d（C，B）＝d（A，B）；③正确．
对于④：到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合{（x，y）||x+1|+|y|﹣|x﹣1|﹣|y|＝1}＝{（x，y）||x+1|﹣|x﹣1|＝1}，集合是两条平行线，④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了对新定义的理解和运用能力．属于基础题．
二、填空题（共25分，每小题5分）
11．（5分）已知圆C与圆D：x2+y2﹣4x﹣2y+3＝0关于直线4x+2y﹣5＝0对称，则圆C的方程为 　x2+y2＝2　．
【分析】已知圆D：x2+y2﹣4x﹣2y+3＝0，化为标准方程可得圆心坐标及半径，圆C与圆D关于直线对称，转化为两圆心关于直线对称，半径相等，求出圆C的圆心，则可得圆C的方程．
【解答】解：因为x2+y2﹣4x﹣2y+3＝0⇒（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2，
设圆C的圆心为C（a，b），
又因为圆C与圆D关于直线4x+2y﹣5＝0对称，
即圆心D（2，1）与（a，b）关于直线4x+2y﹣5＝0对称，
所以，解得，
所以，圆C的方程为x2+y2＝2．
故答案为：x2+y2＝2．
【点评】本题考查圆的方程的求解，考查运算求解能力，属于基础题．
12．（5分）圆O1：x2+y2﹣1＝0与圆O2：x2+y2﹣4x＝0的公切线方程为 　或　．
【分析】易得公切线的斜率存在时，可设公切线方程为y＝kx+b，利用圆心到直线的距离等于半径列方程组可解得结果即可求解．
【解答】解：圆即x2+y2＝1，圆心O1（0，0），半径为r1＝1，
圆即（x﹣2）2+y2＝4，圆心O2（2，0），半径为r2＝2，
因为|O1O2|＝2，所以r2﹣r1＜|O1O2|＜r1+r2，
所以两圆相交，故公切线有两条，
易得公切线的斜率存在，可设公切线方程为y＝kx+b，即kx﹣y+b＝0，
则，可整理得2|b|＝|2k+b|，所以b＝2k或，
当b＝2k时，，解得或；
当时，，解得k无解；
故两圆的公切线方程为即或即，
故答案为：或．
【点评】本题考查公切线方程的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
13．（5分）经过点P（﹣1，2）作直线l交椭圆于M，N两点，且P为MN的中点，则直线l的方程为 　3x﹣8y+19＝0　．
【分析】设M（x1，y1），N（x2，y2），代入椭圆的方程，利用点差法求出MN所在直线的斜率，再由点斜式方程即可得出答案．
【解答】解：因为直线l交椭圆于M，N两点，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，
两式相减可得，
即，
因为P为MN的中点，且P（﹣1，2），可得x1+x2＝﹣2，y1+y2＝4，
所以，即，
故直线l的方程为3x﹣8y+19＝0，
因为P在椭圆内，故直线必与椭圆相交，符合题意．
故答案为：3x﹣8y+19＝0．
【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，重点考查了点差法求直线的斜率问题，属于基础题．
14．（5分）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：的蒙日圆方程为x2+y2＝7，则椭圆C的离心率为 　　．
【分析】取椭圆的右顶点和上顶点作椭圆的两条切线，求出交点坐标，又因为在x2+y2＝7上，代入可求出a，再由离心率的公式即可得出答案．
【解答】解：由椭圆C：知，椭圆的右顶点为，
上顶点为，过A，B作椭圆的切线，
则交点坐标为，
因为椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，
所以在x2+y2＝7上，
所以a+1+a＝7，解得：a＝3，
则椭圆C的离心率为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
15．（5分）已知曲线C1：y＝ex，抛物线C2：y2＝4x，P（xP，yP）为曲线C1上一动点，Q（xQ，yQ）为抛物线C2上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有 　①③④．　．
①直线l：y＝x+1是曲线C1和C2的公切线；
②曲线C1和C2的公切线有且仅有一条；
③|PQ|+xQ最小值为；
④当PQ∥x轴时，|PQ|最小值为．
【分析】对于①利用导数的几何意义即可求解；对于②，分别设两条曲线上的切线方程，然后根据公切线的定义建立方程，将方程转化为函数，研究函数的零点即可；对于③，利用抛物线的焦半径公式转化求|PF|的最小值，进而建立函数，然后再㓈究函数的单调性即可；对于④，先设动点的坐标，根据PQ∥x轴，进而建立目标函数，然后研究该函数单调性即可．
【解答】解：选项①，对于曲线，当x＝0时，，
故直线l：y＝x+1与曲线相切于点（0，1）；
联立，可得（y﹣2）2＝0，故此时直线l：y＝x+1与切于点（2，2），
故直线l：y＝x+1是曲线C1和C2的公切线，故①正确；
对于②，设公切线分别与切于点A（x1，y1），B（x2，y2），
则曲线y＝ex的切线lA为：，曲线的切线lB为，
根据lA与lB表示同一条直线，则有，
解得，令h（x）＝e2x（1﹣x）﹣1（x＞0），则有h′（x）＝2e2x（1﹣x）﹣e2x＝e2x（1﹣2x），
可得h（x）在区间上单调递增；在区间上单调递减，
则有，
根据零点存在性定理可知，h（x）在区间上存在一个零点，即存在一条公切线，
故曲线C1和C2的公切线有且仅有2条，故②错误；
对于③，如图所示，可得F（1，0），根据抛物线的焦半径公式可得|QF|＝xQ+1，
故有：，
设点P的坐标为，则有：，
令q（x）＝（x﹣1）2+e2x，可得q′（x）＝2x﹣2+2e2x＝2（e2x+x﹣1），
再次求导可得：q″（x）＝2（e2x+1）＞0，故q′（x）＝2（e2x+x﹣1）在R上单调递增，
又q（0）＝0，可得：当x∈（﹣∞，0）时，q′（x）＜0，即q（x）在（﹣∞，0）上单调递减；
当x∈（0，+∞）时，q′（x）＞0，即q（x）在（0，+∞）上单调递增；
故q（x）min＝q（0）＝2，则，故，故③正确；
对于④，当PQ∥x轴时，设，则，则有：，
记，则有，令p′（x）＝0，解得：，
故当时，p′（x）＜0，p（x）在区间上单调递减；
当时，p′（x）＞0，p（x）在区间上单调递增；
故有，故，故选项④正确．

故答案为：①③④．

【点评】本题考查利用导数求函数的单调性，考查学生的综合能力，属于难题．
三、解答题（共25分）
16．（12分）设函数f（x）＝ln（2x+3）+x2
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求f（x）在区间[﹣，]的最大值和最小值．
【分析】（1）先根据对数定义求出函数的定义域，然后令f′（x）＝0求出函数的稳定点，当导函数大于0得到函数的增区间，当导函数小于0得到函数的减区间，即可得到函数的单调区间；
（2）根据（1）知f（x）在区间[﹣，]的最小值为f（﹣）求出得到函数的最小值，又因为f（﹣）﹣f（）＜0，得到
f（x）在区间[﹣，]的最大值为f（）求出得到函数的最大值．
【解答】解：f（x）的定义域为（﹣，+∞）
（1）f′（x）＝+2x＝
当﹣＜x＜﹣1时，f′（x）＞0；
当﹣1＜x＜﹣时，f′（x）＜0；
当x＞﹣时，f′（x）＞0
从而，f（x）在区间（﹣，﹣1），（﹣，+∞）上单调递增，在区间（﹣1，﹣）上单调递减
（2）由（1）知f（x）在区间[﹣，]的最小值为f（﹣）＝ln2+
又f（﹣）﹣f（）＝ln+﹣ln﹣
＝ln+＝（1﹣ln）＜0
所以f（x）在区间[﹣，]的最大值为f（）＝+ln．
【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求函数在闭区间上极值的能力．
17．（13分）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过右焦点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线交直线l于点P，交直线x＝﹣2于点Q，求的最小值．
【分析】（1）待定系数法即可求解椭圆方程；
（2）考虑直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在两种情况，当直线斜率不存在时，求出，当直线斜率存在时，设出直线方程，联立后利用弦长公式求出|MN|，再表达出直线PQ的方程，表达出|PQ|，用基本不等式求解最小值，与比较大小，求出最小值．
【解答】解：（1）由题意得：，解得：a2＝2，b2＝1，
所以椭圆方程为．
（2）由（1）知：F（1，0），
当直线l的斜率不存在时，P（1，0），Q（﹣2，0），，
此时，
当直线l的斜率存在时，故可设直线为y＝k（x﹣1），
联立椭圆方程得：（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，
其中Δ＝8k2+8＞0，
所以，
其中，
所以，
因为直线PQ为线段MN的垂直平分线，
所以直线PQ：，
令x＝﹣2得：，
所以，
故，
因为，
所以，
当且仅当，即k2＝1，k＝±1时等号成立，
所以，
因为，所以的最小值为2．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的最值与范围问题等知识，属于中等题．