2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷(2)

这是一份2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷(2)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
1．（4分）下列表示同一集合的是（　　）
A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B．M＝{（x，y）|y＝x}，N＝{y|y＝x}
C．M＝{1，2}，N＝{2，1} D．M＝{2，4}，N＝{（2，4）}
2．（4分）以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（　　）
A．y=1x2 B．y=1x C．y＝x2 D．y＝x
3．（4分）函数f(x)=xx2+1的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（4分）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0
5．（4分）已知a＞b＞c，则下列说法一定正确的是（　　）
A．ab＞bc B．|a|＞|b|＞|c| C．ac2＞bc2 D．2a＞b+c
6．（4分）若命题“∃x∈R，一元二次不等式x2+mx+1＜0”为假命题，则实数m的取值范围（　　）
A．m≤﹣2或m≥2 B．﹣2＜m＜2 C．m＜﹣2或m≥2 D．﹣2≤m≤2
7．（4分）定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（　　）
A．f(x)=(x)2与g（x）＝x
B．f(x)=x4-1x2+1与g（x）＝x2﹣1
C．f(x)=x2与g（x）＝x
D．f(x)=xx与g（x）＝1
8．（4分）“ab＞0”是“ba+ab≥2”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（4分）设函数f（x）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（　　）
A．f（x﹣1）﹣1 B．f（x﹣1）+1 C．f（x+1）﹣1 D．f（x+1）+1
10．（4分）人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m和am（0＜a≤10），设此矩形菜园ABCD的最大面积为u，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u＝f（a）（单位：m2）的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）
11．（5分）函数f(x)=3-xx的定义域为 　 　．
12．（5分）马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的 　 　条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）．
13．（5分）已知一元二次方程（a﹣2）x2+4x+3＝0有一正根和一负根，则实数a的取值范围为 　 　．
14．（5分）已知函数f(x)=2x-1，g（x）＝kx+2（k＞0），若∀x1∈[2，3]，∃x2∈[﹣1，2]，使f（x1）＝g（x2）成立，则实数k的取值范围是 　 　．
15．（5分）函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+1，x∈(-12，12)，若f（x）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a的取值范围是 　 　．
三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）
16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．
（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；
（2）若_____，求实数a的取值范围．
请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
17．（12分）设函数f（x）＝2x2﹣ax+4（a∈R）．
（1）当a＝9时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若不等式f（x）≥0对∀x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
18．（13分）已知函数f(x)=x2+ax(a∈R)．
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）若a＝2，判断f（x）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．
一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
19．（5分）已知集合A＝{x|﹣5＜x＜﹣3}，B＝{x|2a﹣3＜x＜a﹣2}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围是（　　）
A．[1，+∞） B．{﹣1} C．[1，+∞）∪{﹣1} D．R
20．（5分）已知x＞0，y＞0，(x)3+2022x=a，(y-2)3+2022(y-2)=-a，则x+y的最小值是（　　）
A．1 B．2 C．2 D．4
21．（5分）f（x）＝x（x+1）（x+2）（x+3）的最小值为（　　）
A．﹣1 B．﹣1.5
C．﹣0.9375 D．前三个答案都不对
22．（5分）若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A为互斥集．若A＝{a，b，c}⊆{1，2，3，4，5}，且A为互斥集，则1a+1b+1c的最大值为（　　）
A．116 B．1312 C．74 D．4760
二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）
23．（5分）关于x的方程x(x-1)=(k-2x)(x2-x)的解集中只含有一个元素，k＝　 　．
24．（5分）已知k≥0，函数y=-x+k+1，x≥02-x+k，x＜0有最大值，则实数k的取值范围是 　 　．
25．（5分）对于集合A，称定义域与值域均为A的函数y＝f（x）为集合A上的等域函数．①若A＝{1，2}，则A上的等域函数有 　 　个；②若∃A＝[m，n]，使f（x）＝a（x﹣1）2﹣1为A上的等域函数，a的取值范围是 　 　．
三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）
26．（15分）对于正整数集合A，记A﹣{a}＝{x|x∈A，x≠a}，记集合X所有元素之和为S（X），S（∅）＝0．若∃x∈A，存在非空集合A1、A2，满足：①A1∩A2＝∅；②A1∪A2＝A﹣{x}；③S（A1）＝S（A2）称A存在“双拆”．若∀x∈A，A均存在“双拆”，称A可以“任意双拆”．
（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；
（2）A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，证明：A不能“任意双拆”；
（3）若A可以“任意双拆”，求A中元素个数的最小值．

2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
1．【解答】解：对于A，集合M，N表示的点坐标不同，故A错误，
对于B，集合M表示点集，集合N表示数集，故B错误，
对于C，由集合的无序性可知，M＝N，故C正确，
对于D，集合M表示数集，集合N表示点集，故D错误．
故选：C．
2．【解答】解：y=1x2是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足题意，A正确；
y=1x是奇函数，不正确；
y＝x2在区间（0，+∞）上是增函数；不正确；
y＝x是奇函数，不正确．
故选：A．
3．【解答】解：函数f(x)=xx2+1的定义域为R，
f（﹣x）=-xx2+1=-f（x），可得f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项C；
当x＞0时，f（x）＞0，可排除选项A、D．
故选：B．
4．【解答】解：∵x1+x2＝3，x12+x22＝5，
∴2x1x2=(x1+x2)2-(x12+x22)=9﹣5＝4，解得x1x2＝2，
∵x1+x2＝3，x1x2＝2，
∴x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣3x+2＝0．
故选：A．
5．【解答】解：因为a＞b＞c，
则a＞b且a＞c，所以a+a＞b+c，即2a＞b+c，故D正确，
当b＜0时，ab＜bc，故A错误，
当a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3时，|a|＜|b|＜|c|，故B错误，
当c＝0时，ac2＝bc2，故C错误，
故选：D．
6．【解答】解：由题意可知，“∀x∈R，一元二次不等式x2+mx+1≥0”为真命题，
所以Δ＝m2﹣4≤0，
解得﹣2≤m≤2，
故选：D．
7．【解答】解：对于A，f（x）的定义域为[0，+∞），g（x）的定义域为R，故A错误，
对于B，f(x)=x4-1x2+1=x2﹣1，g（x）＝x2+1，f（x）与g（x）的定义域，值域，映射关系均相同，
故f（x）与g（x）图象完全相同，故B正确，
对于C，f（x）的值域为[0，+∞），g（x）的值域为R，故C错误，
对于D，f（x）的定义域为{x|x≠0}，g（x）的定义域为R，故D错误．
故选：B．
8．【解答】解：由ab＞0可得a＞0b＞0或a＜0b＜0，
当a＞0b＞0时，由基本不等式可得ba+ab≥2，当a＝b时，等号成立；
当a＜0b＜0时，ba＞0，ab＞0，由基本不等式可得ba+ab≥2，所以充分性满足；
当ba+ab≥2时，设t=ba，
则有t+1t≥2，由对勾函数的性质可得t＞0，即ba＞0，可得ab＞0，所以必要性满足．
故“ab＞0”是“ba+ab≥2”的充要条件．
故选：C．
9．【解答】解：因为f（x）=x+3x+1=1+2x+1的图象关于（﹣1，1）对称，
则f（x﹣1）﹣1的图象关于原点对称，即函数为奇函数．
故选：A．
10．【解答】解：由题意，设CD＝x，则AD＝12﹣x，
所以矩形菜园ABCD的面积S＝x（12﹣x）＝﹣x2+12x＝﹣（x﹣6）2+36，
因为要将这棵树围在菜园内，所以x≥212-x≥a，解得：2≤x≤12﹣a，
当12﹣a＞6，也即0＜a＜6时，在x＝6处矩形菜园ABCD的面积最大，
最大面积u＝Smax＝36，
当12﹣a≤6，也即6≤a≤10时，在x＝12﹣a处矩形菜园ABCD的面积最大，
最大面积u＝Smax＝a（12﹣a），
综上：u＝f（a）=36，0＜a＜6a(12-a)，6≤a＜10，
根据函数解析式可知，选项B符合．
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）
11．【解答】解：因为f(x)=3-xx，
所以3-x≥0x≠0，解得x≤3且x≠0，
即函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，3]．
故答案为：（﹣∞，0）∪（0，3]．
12．【解答】解：园采取了“无预约，不游园”的措施，意思就是说：游园的前提时预约，只有预约了才可以游园，不预约就不能游园．
所以：“预约”是“游园”的 充分必要条件．
故答案为：充分必要．
13．【解答】解：一元二次方程（a﹣2）x2+4x+3＝0有一正根和一负根，
所以a-2≠0Δ=16-12(a-2)＞03a-2＜0，解得a＜2，
即实数a的取值范围为（﹣∞，2）．
故答案为：（﹣∞，2）．
14．【解答】解：已知函数f(x)=2x-1，g（x）＝kx+2（k＞0），若∀x1∈[2，3]，∃x2∈[﹣1，2]，使f（x1）＝g（x2）成立，
因为函数f(x)=2x-1在x∈[2，3]上单调递减，
所以f（x）max＝f（2）＝2，f（x）min＝f（3）＝1，
可得f（x1）∈[1，2]，
又因为g（x）＝kx+2（k＞0）在x∈[﹣1，2]上单调递增，
所以g（x）max＝g（2）＝2k+2，g（x）min＝g（﹣1）＝﹣k+2，
所以g（x2）∈[﹣k+2，2k+2]，
若x1∈[2，3]，∃x2∈[﹣1，2]，使f（x1）＝g（x2）成立，
所以[1，2]⊆[﹣k+2，2k+2]，
所以-k+2≤12k+2≥2⇒k≥1k≥0，所以k≥1．
实数k的取值范围是：[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
15．【解答】解：由①可知，a+1≠0，即a≠﹣1；
由③可知，a＜0；
由②可知，-12＜a+12a＜12，即-1＜a+1a＜1，
又a＜0，则a＜a+1＜﹣a，解得a＜-12；
综上，实数a的取值范围为(-∞，-1)∪(-1，-12)．
故答案为：(-∞，-1)∪(-1，-12)．
三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）
16．【解答】解：（1）当a＝2时，A＝{1，2，3}，B＝{x|x≥12}，
A∩B＝{1，2，3}，A∪B＝{x|x≥12}；
（2）若选①A∩B＝A，则A⊆B，
当a＝0时，B＝∅，不符合题意，
当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，不合题意；
当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a≤1，
解得a≥1，
故a的取值范围为{a|a≥1}；
若选②∀x∈A，x∉B；
当a＝0时，B＝∅，符合题意，
当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，符合题意；
当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a＞3，
解得0＜a＜13，
故a的取值范围为{a|a＜13}；
③若选“x∈B”是“x∈A”的必要条件，则A⊆B，
当a＝0时，B＝∅，不符合题意，
当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，不合题意；
当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a≤1，
解得a≥1，
故a的取值范围为{a|a≥1}．
17．【解答】解：（1）函数f（x）＝2x2﹣ax+4（a∈R），
当a＝9时，f（x）＜0，即2x2﹣9x+4＜0，
整理得（2x﹣1）（x﹣4）＜0，解得12＜x＜4，
故所求不等式的解集为(12，4)；
（2）f（x）≥0对∀x∈（0，+∞）恒成立，
即2x2﹣ax+4≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，
即a≤2x+4x在x∈（0，+∞）上恒成立，即a≤(2x+4x)min，
又2x+4x≥22x×4x=42（当且仅当2x=4x即x=2时，取“＝“）．
所以a≤42，
故实数a的取值范围为(-∞，42]．
18．【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝x2为偶函数，
当a≠0时，f（x）＝x2+ax为非奇非偶函数；
证明如下：当a＝0时，f（x）＝x2，则f（﹣x）＝（﹣x）2＝x2，即f（x）为偶函数，
当a≠0时，f（x）＝x2+ax，则f（﹣x）＝（﹣x）2-ax=x2-ax≠±f（x），即为非奇非偶函数；
（2）a＝2时，f（x）=x2+2x，
设1≤x1＜x2，
则x1﹣x2＜0，x1+x2-2x1x2＞0，
则f（x1）﹣f（x2）=x12-x22+2x1-2x2=（x1﹣x2）（x1+x2-2x1x2）＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
故f（x）在[1，+∞）单调递增．
一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
19．【解答】解：∵A∪B＝A，
∴B⊆A，
①B＝∅时，2a﹣3≥a﹣2，解得a≥1；
②B≠∅时，a＜12a-3≥-5a-2≤-3，解得a＝﹣1；
∴综上可得，a的取值范围是a≥1或a＝﹣1．
故选：C．
20．【解答】解：设f（t）＝t3+2022t，函数定义域为R，
f（﹣t）＝（﹣t）3+2022×（﹣t）＝﹣t3﹣2022t＝﹣f（t），∴f（t）是奇函数，
∀t1＜t2，有t13＜t23，则f（t1）﹣f（t2）＝t13+2022t1﹣（t23+2022t2）＜0，即f（t1）＜f（t2）．
∴函数f（t）是增函数，
由x＞0，y＞0，(x)3+2022x=a，(y-2)3+2022(y-2)=-a，
所以x+y-2＝0，可得x+y=2，
两边同时平方再利用基本不等式，有4＝x+y+2xy≤2（x+y），
当且仅当x＝y＝1时取等号，所以x+y的最小值为2，
故选：C．
21．【解答】解：y＝x（x+1）（x+2）（x+3）＝[x （x+3）][（x+1）（x+2）]＝（x2+3x）[（x2+3x）+2]，
令a＝x2+3x＝（x+32）2-94≥-94．
y＝a2+2a＝（a+1）2﹣1，
∵a≥-94，
∴a＝﹣1时，y有最小值﹣1．
故选：A．
22．【解答】解：∵A为{1，2，3}，{1，2，4}，[1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，
且A为互斥集，
∴A为{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，5}，{2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}，
要想1a+1b+1c取得最大值，则a，b，c要最小，
此时a，b，c∈{1，2，4}，
令a＝1，b＝2，c＝4，则1a+1b+1c=11+12+14=74．
故选：C．
二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）
23．【解答】解：∵x(x-1)=(k-2x)(x2-x)的解集中只含有一个元素，
∴x﹣1≠0，且 x=k-2xx，
∴x≠0，且 x2+2x﹣k＝0有一个实数根，
结合x≠0且x≠1，可得k＝﹣1或k＝0或k＝3．
故答案为：﹣1或0或3．
24．【解答】解：因为k≥0，函数y=-x+k+1，x≥02-x+k，x＜0有最大值，
易知x≥0时，f（x）＝﹣x+k+1单调递减，故此时f（x）≤f（0）＝k+1；
当x＜0时，f（x）=2-x+k单调递增，结合x→0﹣时，f（x）→2k，
所以由题意只需k+1≥2k即可，解得k≥1，或k≤﹣2（舍），
故k的取值范围为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
25．【解答】解：定义域与值域均为A的函数y＝f（x）为集合A上的等域函数，
（1）所以若 f（x）＝x，则 f（1）＝1，f（2）＝2，
所以f（x）＝x的定义域与值域均为A＝{1，2}，
同理若f（1）＝2，f（2）＝1，也满足题意，
所以A上的等域函数有2个；
若a＜0，则f（x）＝a（x﹣1）2﹣1≤﹣1＜0，因此 n＜0，
从而f（x）在[m，n]上单调递增，f(m)=mf(n)=n，
所以f（x）＝a（x﹣1）2﹣1＝x有两个不等的负实根，
即方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣1＝0有2个不等的负实根，
所以Δ=(2a+1)2-4a(a-1)＞0x1+x2=2a+1a＜0x1x2=a-1a＞0，解得-18＜a＜0；
若a＝0，则f（x）＝﹣1，不合题意；
a＞0 时，①若m≤1≤n，则f（x）min＝﹣1，因此m＝﹣1，f（﹣1）＝4a﹣1，f（n）＝a（n﹣1）2﹣1，
若1≤n≤3，则n＝f（﹣1）＝4a﹣1，令1≤4a﹣1≤3，解得12≤a≤1，
若n＞3，则f（n）＝n，所以方程f（x）＝a（x﹣1）2﹣1＝x有大于3的实数根，
即方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣1＝0有大于3的实数根，即Δ＝（2a+1）2﹣4a（a﹣1）≥0，解得a≥-18，
所以a＞0时，x=2a+1±8a+12a，令2a+1+8a+12a＞3，解得8a+1＞4a﹣1，
当4a﹣1≤0时，即0＜a≤14时，不等式显然成立，
当a＞14时，8a+1＞（4a﹣1）2，解得0＜a＜1，所以14＜a＜1，所以0＜a＜1满足题意，
综上，0＜a≤满足题意；
下面讨论a＞1时是否存在[m，n]满足题意，
②若n≤1，则 f（x）在[m，n]上是减函数，因此f(m)=nf(n)=m，显然m＝f（n）≥﹣1，
令a(m-1)2-1=na(n-1)2-1=m，相减得a（m+n﹣2）＝﹣1，即m＝2-1a-n，n＝2-1a-m，
因此有a(m-1)2-1=2-1a-ma(n-1)2-1=2-1a-n，
设g（x）＝a（x﹣1）2﹣1﹣（2-1a-x）＝0在[﹣1，1]上有两个不等实根，整理得g（x）＝ax2﹣（2a﹣1）x+a+1a-3，
a＞1时，由于g（1）=1a-2＜0，因此方程g（x）＝0一个根大于1，一根小于1，不合要求；
③若1≤m＜n，则f（x）在[m，n]上是增函数，
因此f(m)=mf(n)=n，即f（x）＝a（x﹣1）2﹣1＝x在[1，+∞）上有两个不等实根，
即方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣1＝0 在[1，+∞）上有两个不等实根，
设h（x）＝ax2﹣（2a+1）x+a﹣1，则h（1）＝﹣2＜0，
所以h（x）＝0 的两根一个大于1，一个小于1，不合题意，
综上，a 的取值范围是{a|-18＜a＜0或0＜a≤1}．
故答案为：2；{a|-18＜a＜0或0＜a≤1}．
三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）
26．【解答】解：（1）对集合{1，2，3，4}，{1，2，3，4}﹣{4}＝{1，2，3}，且1+2＝3，
∴集合{1，2，3，4}可以双拆，
若在集合中去掉元素1，
∵2+3≠4，2+4≠3，3+4≠2，
∴集合{1，2，3，4}不可“任意双拆”；
若集合{1，3，5，7，9，11}可以“双拆”，则在集合{1，3，5，7，9，11}去除任意一个元素形成新集合B，
若存在集合B1，B2，使得B1∩B2＝∅，B1∪B2＝B，S（B1）＝S（B2），则S（B）＝S（B1）+S（B2）＝2S（B1），
即集合B中所有元素之和为偶数，
事实上，集合B中的元素为5个奇数，这5个奇数和为奇数，不合题意，
∴集合{1，3，5，7，9}不可“双拆”．
（2）证明：设a1＜a2＜a3＜a4＜a5．
反证法：如果集合A可以“任意双拆”，
若去掉的元素为a1，将集合{a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有a2+a5＝a3+a4，①，或a5＝a2+a3+a4，②，
若去掉的是a2，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有a1+a5＝a3+a4，③，或a5＝a1+a3+a4，④，
由①﹣③可得a1＝a2，矛盾；
由②﹣③得a1＝﹣a2，矛盾；
由①﹣④可得a1＝﹣a2，矛盾；
由②﹣④可得a1＝a2，矛盾．
∴A不能“任意双拆”；
（3）设集合A＝{a1，a2，a3，•••，an}，
由题意可知S（A）﹣ai（i＝1，2，•••，n）均为偶数，
∴ai（i＝1，2，•••，n）均为奇数或偶数，
若S（A）为奇数，则ai（i＝1，2，•••，n）均为奇数，
∵S（A）＝a1+a2+•••+an，∴n为奇数，
若S（A）为偶数，则ai（i＝1，2，•••，n）均为偶数，
此时设ai＝2bi，则{b1，b2，b3，•••，bn}可任意双拆，
重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意双拆”集，此时各项之和也是奇数，
则集合A中元素个数n为奇数，
当n＝3时，由题意知集合A＝{a1，a2，a3}不可“任意双拆”，
当n＝5时，集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}不可“任意双拆”，
∴n≥7，
当n＝7时，取集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}，
∵3+5+7+9＝11+13，
1+9+13＝5+7+11，
1+3+5+77＝7+13，
1+9+11＝3+5+13，
3+7+9＝1+5+13，
1+3+5+9＝7+11，
则集合A可“任意双拆”，
∴集合A中元素个数n的最小值为7．
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