2023届山东省济宁市泗水县高三上学期期中考试数学试题（解析版）

2023届山东省济宁市泗水县高三上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先解不等式化简集合，再由交集的概念，即可得出结果.

【详解】因为集合，

，

因此.

故选：A.

2．定义运算，若复数满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接利用新定义，化简求解即可.

【详解】由，

则，

，

则.

故选：D

3．设，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由得到，举出反例，得到充分性不成立，由推出，必要性成立，得到答案.

【详解】，则，当时，满足，但此时无意义，故充分性不成立，

若，则，故必要性成立，

则“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

4．已知命题，是增函数，则为（    ）

A．，是减函数

B．，是增函数

C．，不是增函数

D．，不是增函数

【答案】D

【分析】根据存在性命题否定直接写出结果，再对照选择.

【详解】因为的否定为；

所以对于命题，是增函数，

为，不是增函数

故选：D

【点睛】本题考查命题的否定，考查基本求解能力，属基础题.

5．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用对数函数的单调性比较，，与的大小关系即可得正确选项.

【详解】，

，

，

所以，

故选：D.

6．如图，圆的直径，点C，D是半圆弧上的两个三等分点，则（    ）

A．4 B． C． D．6

【答案】D

【分析】建立平面直角坐标系，作出辅助线，写出点的坐标，向量的坐标，利用数量积公式求出答案.

【详解】以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB为y轴，建立平面直角坐标系，

连接CD，OC，OD，

因为点C，D是半圆弧上的两个三等分点，所以∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，

所以三角形OCD为等边三角形，故∠OCD=∠ODC=60°，则CDAB，

因为，所以，

则，，

所以.

故选：D

7．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数值剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所以被除余的自然数从小到大组成数列，所有被除余的自然数从小到大组成数列，把和的公共项从小到大得到数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意数列、都是等差数列，从而得到数列是等差数列，依次对选项进行判断可得答案.

【详解】根据题意数列是首项为2，公差为3的等差数列， ，

数列是首项为2，公差为5的等差数列，，

数列与的公共项从小到大得到数列，故数列是首项为2，公差为15的等差数列，.

对于A，，，，错误

对于B，，，，正确.

对于C，，，，，错误.

对于D，，，，，错误.

故选：B.

8．定义在上的偶函数在上单调递减，且满足，，，则不等式组的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由可得函数的周期为2，又由于定义在上的偶函数在上单调递减，所以由，，可得，并且由得出，从而由得出，进而得出，解不等式组可得答案

【详解】解：因为，所以的周期为2，

因为定义在上的偶函数在上单调递减，

所以由，，可得，

且，

由，得，

由，得，

所以，

解得，

所以原不等式组的解集为，

故选：D

【点睛】关键点点睛：此题考查函数的周期性、奇偶性、单调性的应用，解题的关键是利用周期把，，转化为，从而使原不等式组可化为，进而利用单调性求解

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A．若，则是钝角三角形

B．若，则

C．，

D．若P，A，B三点满足，则P，A，B三点共线

【答案】ACD

【分析】A选项，根据向量数量积公式得到，A正确；

B选项，当时，，B错误；

C选项，配方后得到，C正确；

D选项，根据得到，得到P，A，B三点共线.

【详解】A选项，在中，，则，即，

因为，故，是钝角三角形，A正确；

B选项，当时，，当且仅当，即时，等号成立，故B错误；

C选项，，，C正确；

D选项，若P，A，B三点满足，故，

即，故P，A，B三点共线，D正确.

故选：ACD

10．已知向量，，若与共线，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数在上单调递增

C．直线是图象的一条对称轴

D．将的图像向左平移个单位得到函数的图象

【答案】ACD

【分析】利用向量共线的坐标运算结合余弦的二倍角公式先求出，再根据余弦函数的性质逐一判断即可.

【详解】解：因为向量，，且与共线

则

即：

所以

对A，函数的最小正周期为，故A正确；

对B，由，得，，所以函数的单调递增区间为，，而，故B错误；

对C，由，，得，，即的对称轴为，，当时，，所以是图象的一条对称轴，故C正确；

对D，，将的图像向左平移个单位得到，故D正确.

故选：ACD.

11．已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，则下列说法中正确的有（    ）

A．当时，

B．当时，取得最大值

C．当时，

D．当时，

【答案】AC

【分析】依题意可得，即可得到，再根据等差数列前项和公式及通项公式计算可得；

【详解】解：因为，所以，即，即，所以，

所以，故A正确；

当时，，故C正确；

，当时时，取得最小值，当时，时，取得最大值，故B错误；

，，当时，，故D错误；

故选：AC

12．对于函数，下列说法正确的是（    ）

A．在处取得极大值

B．有两个不同的零点

C．

D．若在上恒成立，则

【答案】ACD

【解析】求出导函数，利用导数确定单调性，极值，判断各选项．

【详解】定义域为，

由题意，当时，，递增，当时，，递减，

所以在时取得极大值，A正确；

当时，，因此在上一个零点1，在上，无零点．因此函数只有一个零点，B错；

因为，在上递减，所以，C正确；

，即，

设，则，

当时，，递增，时，，递减，

所以时，取极大值也最大值．

所以．D正确．

故选：ACD．

【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值与最值，不等式恒成立问题．基本方法是：求出导函数，确定和的解，得单调区间，从而确定极值．利用极值及零点存在定理可判断零点个数，利用最值可得出不等式恒成立时的参数范围．

三、填空题

13．已知向量，，若，，则______．

【答案】

【解析】若设，则由，，得，解出的值，从而可求出

【详解】解：设，则，

因为，，，，

所以，解得，

所以，所以，

故答案为：

14．设是函数的一个极值点，则______.

【答案】##0.7

【分析】根据极值点得到，结合，求出，再结合余弦二倍角公式求出答案.

【详解】，由题意得：，

又因为，解得：，

故.

故答案为：.

15．设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若，且b，a，c成等差数列，则角______．

【答案】####

【分析】由正弦定理可得，由等差数列性质可得，再利用余弦定理即可求出.

【详解】因为，由正弦定理可得，即，

因为b，a，c成等差数列，所以，则，

由余弦定理可得，

因为，所以.

故答案为：.

16．已知函数，，若关于的不等式的解集中恰好有一个整数，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】变量分离，构造函数，求导确定极值，画图数形结合.

【详解】，则，设，

则，令，所以或，

在上递减，在上递增，在上递减，

在取极小值，，在取极大值，

，作图，时，，，，

由图知在下方图象中只有一个整数点，，

故答案为:

【点睛】方法点睛：含参数恒成立求参数值或范围：

变量分离；②构造新函数；③对新函数求导，确定其极值最值.

四、解答题

17．已知函数的最小正周期为，最大值为1

（1）求，的值，并求的单调递增区间；

（2）将图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将得到的图象上所有点向右平移个单位，得到的图象．若，求满足的的取值范围．

【答案】（1），．；（2）.

【解析】（1）将函数转化为，根据最小正周期为，最大值为1，由，求得函数，再利用正弦函数的性质求单调区间.

（2）根据三角函数的图象变换得到，再由求解.

【详解】（1）由题意．

∴，．

解得，．

∴，

令，

∴，

所以函数的单调递增区间为．

（2）由题意得，

，

∴，

∴，

又∵，∴，

故的取值范围为．

【点睛】方法点睛：解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y＝f(x)化为y＝asin x＋bcos x的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，再借助y＝sinx的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．

18．已知为数列的前项和，，，，为数列的前项和.

(1)求数列的通项公式；

(2)若对所有恒成立，求满足条件的最小整数值.

【答案】(1)

(2)674

【分析】（1）利用递推公式，结合前项和与第项的关系、等比数列的定义进行求解即可；

（2）根据对数的运算性质，结合裂项相消法进行求解即可.

【详解】（1）由题意，

当时，，

两式相减得：，

即：，

所以时，为等比数列

又因为时，，

所以，

所以，对所有，是以2为首项，8为公比的等比数列，

所以；

（2）由题知：

所以

所以

所以满足恒成立的最小值为674.

19．已知函数.

(1)若是奇函数，且有3个零点，求的取值范围；

(2)若在处有极大值，求当时的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据函数为奇函数得到，故，求出，分与两种情况，结合单调性，列出不等式，求出的取值范围；

（2）根据，，求出或，分两种情况，利用导函数得到单调性和极值情况，得到时的值域.

【详解】（1）是定义域为的奇函数，

∴，即，

故，

，且.

.

当时，，此时在上单调递减，

在上只有1个零点，不合题意.

当时，令，解得，

令，解得或，

在，上单调递减，在上单调递增.

在上有3个零点，

且，

由函数为奇函数，故只需，

即，.

实数的取值范围是.

（2），

由已知可得，且，

解得或，

当，时，，.

令，即，解得，

易知是的极小值点，与题意不符；

当，时，，.

令，即，解得，

易知是的极大值点，符合题意，故，.

，

在上单调递增，在上单调递减.

又，，.

在上的值域为.

20．如图，在平面直角坐标系中，三个向量，，满足条件：，与的夹角为，且，与的夹角为45°．

(1)求点A，B，C的坐标；

(2)若点P为线段OC上的动点，当取得最小值时，求点P的坐标．

【答案】(1)，，

(2)

【分析】（1）根据题意求得向量，对应角的正余弦值，结合三角函数的定义即可得出答案；

（2）设，分别求出，再根据向量数量积的坐标运算结合二次函数的性质即可得出答案.

【详解】（1）解：由知为锐角，则，，

∴，，

∴点A，B，C的坐标分别是，，；

（2）解：设，由（1）知，

，

，，

∴，

又∵，

∴当时，有最小值为，

此时点P的坐标为．

21．已知数列的前项和为，且．

（1）求的通项公式；

（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.

【解析】（1）利用和等比数列的定义即可得出；

（2）利用等差数列的通项公式即可得出；假设在数列中存在三项（其中是等差数列）成等比数列，利用等差数列和等比数列的定义及其反证法即可得出；

【详解】解：（1）由可得，两式相减可得，故数列是以2为公比的等比数列．

又，得，

∴．

（2）由（1）知，，

由题意，即，∴．

假设在数列中存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则，

即．化简得．

又因为，，成等差数列，∴，

∴，得，∴，

又∵，∴，

即，∴，即，这与题设矛盾．

所以在中不存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列．

【点睛】本题考查由与的关系式求数列通项和运用反证法证明数列的项是是否存在，在与的关系式求数列的通项公式时，注意统一成只含或的式子，再构造成等差数列或等比数列后求数列的通项，属于较难题.

22．已知函数，.

(1)若的最大值是1，求的值；

(2)若对其定义域内任意，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求定义域，再求导，分与两种情况，分类讨论得到当，时，取得最大值，列出方程，求出的值；

（2）转化为在上恒成立问题，构造，二次求导，利用隐零点求出，取对数后，利用同构得到，求出在处取得最大值，列出不等式，求出的取值范围.

【详解】（1）的定义域为，.

若，，在定义域内单调递增，无最大值；

若，令,解得：，令，解得：，

故时，单调递增，时，单调递减.

时，取得极大值，也是最大值，故，

；

（2）原式恒成立，即在上恒成立，

即在上恒成立.

设，则.

设，则，

在上单调递增，且，.

有唯一零点，且，

即.

两边同时取对数，得，易知是增函数，

，即.

因为，所以当时，，

当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，也是最大值，

，

，

，

故的取值范围是.

【点睛】隐零点的处理思路：

第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；

第二步：虚设零点并确定取值范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.