2022-2023学年山东省济宁市泗水县高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省济宁市泗水县高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A．{1} B．{1，2}

C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}

【答案】C

【分析】首先用列举法表示集合，再根据并集的定义计算可得；

【详解】解：因为，，所以

故选：C

2．命题，使得”的否定形式是（    ）

A．，使得 B．，使得

C．，使得 D．，使得

【答案】C

【分析】全称改存在，再否定结论即可.

【详解】命题，使得”的否定形式是“，使得”.

故选：C

3．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】由同一函数的概念逐一判断，即可求解

【详解】对于A中，函数的定义域为，

的定义域为，

两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；

对于B中，函数的定义域为，

的定义域为，

两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故B错误；

对于C中，函数的定义域为，

的定义域为，

两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故C错误；

对于D中，函数的定义域为，

的定义域为，且，

所以它们是同一函数，故D正确；

故选：D.

4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，六盘水市第七中学为了解我校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为（    ）

A．80 B．70 C．60 D．50

【答案】B

【分析】本题首先可根据题意确定《西游记》与《红楼梦》两本书中只阅读了一本的学生共有位，然后确定只阅读过《红楼梦》的学生共有位，最后确定只阅读过《西游记》的学生共有位，即可求出结果.

【详解】因为阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有位，

所以《西游记》与《红楼梦》两本书中只阅读了一本的学生共有位，

因为阅读过《红楼梦》的学生共有位，

所以只阅读过《红楼梦》的学生共有位，

所以只阅读过《西游记》的学生共有位，

故阅读过《西游记》的学生人数为位，

故选：B.

【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养，能否明确题目中所给出的信息是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.

5．下列函数是幂函数且在是减函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据幂函数的知识可选出答案.

【详解】形如的是幂函数，且当时，其在是减函数

故选：D

6．已知，则的最小值为（    ）

A．4 B．

C． D．

【答案】C

【分析】将原式构造成两正数和的形式，然后利用基本不等式求解即可.

【详解】因为，且，

当且仅当即时取等号.

故选：C.

7．已知集合，，则满足的集合的个数为（    ）

A．4 B．8 C．7 D．16

【答案】B

【分析】根据题设列举法表示出集合，再由集合的包含关系，判断元素与集合的关系得只需讨论元素是否为集合的元素研究集合即可.

【详解】由题设，，又，

所以，只需讨论元素是否为集合的元素研究集合的个数，即可得结果，

所以集合的个数为.

故选：B

8．已知函数为偶函数，且对任意互不相等的，，都有成立，且，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先确定函数的单调性，再根据单调性求解不等式。

【详解】

在上单调递增

不等式化简为或

又为偶函数,在 上为单调减函数，且

时， 解得 ；

时， 解得

所以原不等式的解集为，选项A正确

故选：A.

二、多选题

9．对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（    ）

A．若ac2>bc2，则a>b B．若a>b，c>d，则a+c>b+d

C．若a>b，c>d，则ac>bd D．若a>b，则

【答案】AB

【分析】可由性质定理判断A、B对，可代入特例判断选项C、D错.

【详解】解：若ac2>bc2，两边同乘以则a>b，A对，

由不等式同向可加性，若a>b，c>d，则a+c>b+d，B对，

当令a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣2，则ac=bd，C错，

令a=﹣1，b=﹣2，则，D错.

故选：AB.

10．下列说法正确的是（      ）

A．“对任意一个无理数x，也是无理数”是真命题

B．“”是“”的充要条件

C．命题“，”的否定是“，”

D．“”是“”的充分不必要条件

【答案】CD

【分析】根据命题的真假，充分必要条件，命题的否定的定义，结合特殊值法判断各选项．

【详解】是无理数，是有理数，A错；

时，，但，不是充要条件，B错；

命题的否定是：，C正确；

因为，但不能推出，所以“”是“”的充分不必要条件，D正确．

故选：CD．

11．若，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据基本不等式逐一分析ABC，即可判断ABC，结合基本不等式即可判断D.

【详解】解：因为，且，

所以，所以，

当且仅当时，取等号，故A正确；

，所以，当且仅当时，取等号，故B错误；

，所以，当且仅当时，取等号，故C正确；

，所以，

当且仅当，即时，取等号，故D正确.

故选：ACD.

12．符号表示不超过x的最大整数，如，，定义函数，则下列结论正确的是（    ）

A． B．函数是增函数

C．方程有无数个实数根 D．的最大值为1，最小值为0

【答案】AC

【分析】作出函数的图象，结合函数的图象对该函数的最值、单调性以及周期性进行分析、判断正误即可．

【详解】作出的图象如图：

对于A，由题意可知，所以A正确；

对于B，函数每隔一个单位重复一次，是以1为周期的函数，函数在定义域上是周期函数，不是增函数，所以B错误；

对于C，函数每隔一个单位重复一次，是以1为周期的函数，所以方程有无数个根，所以C正确；

对于D，由图可知，函数无最大值，最小值为0，所以D错误.

故选：AC

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是画出函数的图象，意在考查学生数形结合的数学思想的运用. 函数的图象是研究函数的一个重要手段，要在解题中灵活运用.

三、填空题

13．函数= 的定义域为____________

【答案】且

【分析】根据初等函数定义及计算法则可求出定义域.

【详解】根据函数定义可知，解得且

故答案为：且

14．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则______．

【答案】

【分析】求出的值，利用奇函数的性质可求得的值.

【详解】由题意可得，因为函数为奇函数，故.

故答案为：.

15．对任意，一元二次不等式都成立，则实数k的取值范围为______．

【答案】

【分析】由二次不等式恒成立结合图象即可求解

【详解】因为对任意，一元二次不等式都成立，

所以，

解得，

所以实数k的取值范围为

16．已知函数是上的增函数，则的取值范围是___________．

【答案】

【分析】题目考察分段函数的单调性，需要两段函数均为增函数，且在两短函数的衔接处单调递增，三个不等式取交集求出参数的取值范围

【详解】解：要使函数在上为增函数，须有在上递增，在上递增，

且，

所以有，解得，

故a的取值范围为．

故答案为：．

四、解答题

17．已知全集，集合，，．

（1）求；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）先求得集合A，再由集合的补集运算和交集运算可求得答案；

（2）分集合C为空集和不是空集两种情况分别建立不等式（组），可求得所求的范围.

【详解】解：（1）或，所以，

所以．

（2）①当时，满足，即，解得．

②当时，因为，所以

，即，

综上，实数的取值范围为．

18．已知函数．

（1）若关于的不等式的解集为，求，的值；

（2）当时，解关于的不等式．

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【解析】（1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可构造方程组求得结果；

（2）分别在、和三种情况下，解一元二次不等式求得结果.

【详解】（1）的解集为，方程的两根为和，

由韦达定理知：，解得：.

（2）当时，，

当时，的解集为；

当时，的解集为；

当时，的解集为．

19．已知函数是定义域上的奇函数，且．

(1)求函数的解析式；

(2)判断函数在上的单调性并证明；

【答案】(1)

(2)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析

【分析】（1）由，得出的解析式；

（2）由函数的定义证明即可.

【详解】（1），又是奇函数，，

解得．

（2）函数在上单调递减，在上单调递增

证明如下：①取，且

且，

，即

，即

函数在上的单调递减.

②取，且

且，

，即

，即，即函数在上单调递增．

综上，函数在上单调递减，在上单调递增

20．已知定义在上的奇函数,当时.

（1）求函数的表达式；

（2）请画出函数的图象；

（3）写出函数的单调区间.

【答案】（1）；（2）见解析；（3）递增区间是；递减区间是

【分析】（1）利用奇函数的定义求解函数的解析式．

（2）利用函数的解析式画出函数的图象即可．

（3）结合函数的图象，写出函数的单调区间即可．

【详解】（1）设

又是定义在上的奇函数,

所以

当时,

所以

（2）图象：

（3）递增区间是

递减区间是

【点睛】本题考查函数的图象以及函数的单调性的判断，函数的解析式的求法，考查计算能力．

21．佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完.

（1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式；

（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.

【答案】（1）；（2）当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.

【解析】（1）根据题意分别列出当及时，关于的解析式即可；

（2）根据二次函数的性质计算当时，的最大值，根据基本不等式求解当时的最大值，然后比较得出最值.

【详解】（1）当时，；

当时，

∴

（2）当时，；

当时，取最大值万元；

当时， ，

当且仅当时，取等号

综上所述，当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.

【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查基本不等式的实际应用，难度一般.解答时，根据题目条件列出函数的解析式是关键.

22．已知函数在区间单调递减，在区间单调递增．

（1）求函数在区间的单调性；（只写出结果，不需要证明）

（2）已知函数，若对于任意的，有恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）在区间的单调递增，在区间的单调递减；（2）．

【解析】（1）利用对勾函数的性质，直接写出结论即可；

（2）利用不等式恒成立的关系，把问题从恒成立，

转化为对于任意的，恒成立，利用参变分离的方法，等价于，然后，根据对勾函数的性质进行求解即可

【详解】解：（1）因为函数在单调递减，在单调递增，

所以，当时函数在单调递减，在单调递增．

易知函数为奇函数，

所以函数在区间的单调递增；

在区间的单调递减．

（2）由题意，对任意的，有恒成立，

即对于任意的，恒成立，

等价于．

设，

易知，当且仅当，即时，函数取得最小值，

由题设知，函数在上单调递减，在上单调递增．

又因为，且，，而，

所以当时，．

所以，即，

故所求实数的取值范围是．

【点睛】关键点睛：解题的关键在于，利用参变分离法，把问题转化为证明恒成立，进而利用对勾函数性质求解，属于中档题