2023届宁夏固原市隆德县中学教育集团高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

这是一份2023届宁夏固原市隆德县中学教育集团高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届宁夏固原市隆德县中学教育集团高三上学期期中考试数学（理）试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解不等式求出集合，再根据交集的定义求解即可．【详解】解：由得，则，又，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．2．已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是：A． B． C． D．【答案】B【详解】可知: 命题：，为假命题，由函数图象可知命题为真命题，所以为真命题．【解析】命题的真假判断． 3．已知函数则等于（     ）A．4 B． C． D．2【答案】D【分析】根据分段函数的定义域，先求得，再求即可.【详解】因为函数所以，所以，故选：D4．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的函数是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据奇偶函数的定义，函数的单调性即可判断每个选项的正误.【详解】对于A，在上单调递减，故A错误；对于B，为偶函数，且时，为增函数，故B正确；对于C，反比例函数为奇函数，故C错误；对于D，既不是奇函数，也不是偶函数，故D错误.故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5．下列说法中正确的是（    ）A．“”是“”的必要不充分条件B．命题“对，恒有”的否定是“，使得”C．在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称D．若幂函数过点，则【答案】D【分析】根据从充分必要条件判断A选项；利用全称命题的否定形式判断B选项；利用对数函数与指数函数的关系判断C选项；由幂函数的定义求参数即可判断D选项.【详解】对于A选项：“”是“”的充分不必要条件，所以A选项不正确；对于B选项：命题“对，恒有”的否定是“，使得”，所以B选项不正确；对于C选项：在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称，所以C选项不正确；对于D选项：因为幂函数过点，所以，且，解得，即，所以D选项正确；故选：D.6．若，，，则a，b，c的大小关系是   A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用中间量“0”，“1”判断三个数的大小即可．【详解】解：，， ，故选B．【点睛】本题主要考查数的大小比较，一般来讲要转化为函数问题，利用函数的图象分布和单调性比较，有时也用到0，1作为比较的桥梁．7．若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数的奇偶性和特殊值的思路判断即可.【详解】根据函数图象可得函数为偶函数，A选项，B选项，所以AB选项为奇函数，故AB选项不正确；根据函数图象可得，而C选项，D选项，所以C选项不正确，D选项正确.故选：D.8．若函数的定义域和值域都是[0，1]，则等于（    ）A． B． C． D．2【答案】D【分析】分，，利用函数在[0，1]上的单调性求解.【详解】当时，函数在[0，1]上是增函数，所以，即，解得；当时，函数在[0，1]上是减函数，所以，即，无解，综上：，故选：D9．已知函数是定义域为R的奇函数，周期为2，且当时，，则 等于（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性和周期性求解.【详解】因为函数是定义域为R的奇函数，周期为2，且当时，，所以 ，故选：B10．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系.对数源于指数，对数的发明先于指数，这已成为历史珍闻，若，，，估计的值约为（    ）A．0.2481 B．0.3471 C．0.4582 D．0.7345【答案】C【分析】利用对数式与指数式的互化及换底公式即可求出的近似值．【详解】∵，，所以.故选：．11．若满足对任意的实数a，b都有且，则A．1008 B．1009 C．2017 D．2018【答案】D【分析】利用，求得表达式的值.【详解】由于，所以.所以.故选D.【点睛】本小题主要考查抽象函数运算，考查分析、思考与解决问题的能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.12．已知函数的定义域为 ，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，，函数（），对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（   ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由的特性结合函数图象平移变换可得是奇函数，由可得函数的周期，由此探讨出的值域，再将所求问题转化为不等式在上有解即可.【详解】由函数的图象关于点对称知函数的图象关于原点对称，即函数是奇函数，由任意的，总有成立，即恒成立，于是得函数的周期是4，又当时，，则当时，，而是奇函数，当时，，又，f(-2)=-f(2)，从而得，即时，，而函数的周期是4，于是得函数在上的值域是，因对任意，存在，使得成立，从而得不等式，即在上有解，当时，取，成立，即得，当时，在上有解，必有，解得，则有，综上得，所以满足条件的实数构成的集合为.故选：A 二、填空题13．函数的定义域为________．【答案】【解析】根据对数的真数大于零，偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域.【详解】由题意可得，解得.因此，函数的定义域为.故答案为：.【点睛】本题考查函数定义域的求解，一般要根据求函数定义域的基本原则建立不等式组求解，考查计算能力，属于基础题.14．已知是定义在上的奇函数，当时，为常数)，则 _______.【答案】【分析】由奇函数的性质与对数的运算性质求解，【详解】由是定义在上的奇函数，故，得，而，则，故答案为：15．若函数是偶函数，则的递减区间是___________.【答案】【详解】试题分析：由题意得：，又，得．所以，则的递减区间是（也可为）．【解析】1．偶函数；2．单调性．【方法点晴】本题考查函数的性质，属于容易题．对于函数的奇偶性，当函数为多项式型函数，若为偶函数，则奇次项为零；若函数为偶函数，则偶次项为零，这个结论在本题可用．本题由偶函数的性质或定义得也可．另外函数在点处没有单调性，所以结果为是也可为．16．函数，在定义域上满足对任意实数都有，则的取值范围是____________．【答案】【分析】确定函数单调递减，再根据分段函数的单调性得到不等式，解出答案.【详解】根据题意函数在上单调递减，故满足，解得.故答案为： 三、解答题17．已知函数的定义域为，函数的值域为．(1)求；(2)若，且，求实数的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）若使函数有意义，则，解得，从而可得，由函数为减函数，且，则，从而可得，因此；（2）由子集的定义可分两种情况，当时，有，当时，有，解得，从而问题可得解.【详解】（1）要使函数有意义，则，解得，故；因为函数为减函数，且，则，；所以；（2）由（1）知，又；（i）当时，有，解得：；（ii）当，即，即时，要使，则，解得；综上：，即.18．已知幂函数(，)在区间上单调递减.（1）求的解析式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)利用幂函数的定义及性质结合已知条件列式计算即得；(2)构造函数，再求出函数在指定区间上的最小值即可得解.【详解】（1）因幂函数在区间上单调递减，所以，解得又，，则，此时，，即，所以的解析式是；（2）由(1)得，于是得不等式在上恒成立，令，由(当且仅当，即时等号成立)，即，所以实数的取值范围是.19．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.（1）求函数f(x)的解析式；（2）解不等式f(x2－1)>－2.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用函数的奇偶性可求得函数的解析式；（2）利用偶函数和函数在上的单调性，列出不等式得出解集．【详解】（1）当x<0时，－x>0，则f(－x)＝.因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝，所以函数f(x)的解析式为（2）因为f(4)＝，f(x)是偶函数，所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4).又因为函数f(x)在上是减函数，所以|x2－1|<4，解得－<x<，即不等式的解集为．【点睛】本题考查函数性质的应用，考查解不等式，考查分段函数，属于中档题．20．已知函数.(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)判断当时函数的单调性，并用定义证明；(3)若定义域为，解不等式.【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)增函数，证明见解析(3) 【分析】（1）判断函数的奇偶性只要用定义的方法即可；（2）题意很明确，不得用导数，用定义，做差即可；（3）解函数不等式，必须要用函数的基本性质即单调性和奇偶性.【详解】（1）函数为奇函数．证明如下：定义域为又为奇函数（2）函数在（-1，1）为单调增函数．证明如下：任取，则，即，，∴ ，；即故在（-1，1）上为增函数（3）由（1）、（2）可得则解得： 所以，原不等式的解集为.21．已知函数f(x)＝log2.（1）若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；（2）若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；（3）若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．【答案】（1）a＝0；（2）a≥0；（3）－<a≤－.【分析】（1）由解得，然后检验函数是奇函数即可；（2）由真数恒大于0即恒成立可得；（3）由函数单调性得，解之可得．【详解】（1）若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝－x＝－f(－x)是R上的奇函数，所以a＝0为所求．（2）若函数f(x)的定义域是一切实数，则＋a>0恒成立，即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)，故只要a≥0即可．（3）由已知，得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f（1）＝log2.由题设，得log2(1＋a)－log2≥2⇒，解得－<a≤－.【点睛】本题考查对数函数的性质，掌握对数型复合函数的奇偶性、单调性的研究方法是解题关键．22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合．若曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；（Ⅱ）设点，直线与曲线交于两点，求的值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）9.【分析】（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标互化公式，即可求解曲线的直角坐标方程，消去参数，即可得到直线的普通方程；（Ⅱ）由题意，把直线l的参数方程可化为 (为参数)，代入曲线的直角坐标方程中，利用参数的几何意义，即可求解．【详解】（Ⅰ）由，得，又由 ，得曲线C的直角坐标方程为，即 ，由，消去参数t，得直线l的普通方程为.     （Ⅱ）由题意直线l的参数方程可化为 (为参数)， 代入曲线的直角坐标方程得. 由韦达定理，得，则.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，参数方程与普通方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．