2022届陕西省榆林市神木中学高三上学期第一次测试数学（文）试题（解析版）

2022届陕西省榆林市神木中学高三上学期第一次测试数学（文）试题

一、单选题

1．计算：（    ）

A．0 B． C． D．1

【答案】D

【分析】根据复数的乘法法则直接运算即可.

【详解】原式.

故选:D

2．设全集为实数集，集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求得，再根据交集运算即可得出结果.

【详解】,

,

.

故选：D.

3．已知为正实数，且，则的最小值是（    ）

A．4 B．8 C．16 D．32

【答案】B

【分析】化简，结合基本不等式，即可求解.

【详解】由题意，正实数且，可得，

则，当且仅当时，即时等号成立，

所以的最小值是.

故选：B.

4．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ）

A． B． C． D．或

【答案】D

【分析】利用余弦定理列方程求解即可.

【详解】解：因为，，，

所以由余弦定理得，

即，解得或

故选：D

5．函数的最小值为（    ）

A． B． C． D．0

【答案】A

【分析】利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为，由，根据正弦函数的性质即可求解最小值．

【详解】解：

，

因为，所以，则函数的最小值为．

故选：A．

6．为进一步推进乡村振兴，某市扶贫办在乡镇的2个脱贫村与乡镇的2个脱贫村中，随机抽取两个村庄进一步实施产业帮扶，则抽取的两个脱贫村为同一乡镇的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求得基本事件的总数和所求事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.

【详解】从乡镇的2个脱贫村与乡镇的2个脱贫村中，随机抽取两个村庄，共有种方法；

其中抽取的两个脱贫村为同一乡镇的抽法有种方法，

所以抽取的两个脱贫村为同一乡镇的概率为.

故选：B.

7．已知直线：，：，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解出所需条件，再结合充分必要条件的定义判断即可．

【详解】直线的一个法向量是，直线的一个法向量是，，则有， 得，解得或.

当时，成立；当时，不能得到，

所以则“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

8．如图，已知平面，，且.设梯形中，，且AB，CD.则下列结论一定正确的是(    )

A． B．直线与直线可能为异面直线

C．直线与直线可能为异面直线 D．直线、、相交于一点

【答案】D

【分析】由梯形的性质可判断ABC；证明直线AB和CD的交点在直线l上即可判断D．

【详解】梯形中，，故AB和CD是梯形的两腰，它们不一定相等，故A不符题意；

∵，∴A、B、C、D共面，即AB、CD、AC、BD是共面直线，则BC不符题意；

∵AB和CD是梯形的两腰，故和必相交，设交点为.

∵，，∴，同理可得，

则在、的交线上，而，故，

即直线、、相交于一点，故D符合题意．

故选：D．

9．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于. 经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间(单位：分钟)的变化规律可以用函数（）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（    ）(参考数据)

A．10分钟 B．14分钟 C．15分钟 D．20分钟

【答案】B

【分析】根据已知条件求得的值，由此列不等式，解不等式求得的取值范围，从而确定正确答案.

【详解】由题意知，当时，，所以所以，解得，所以.故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟.

故选：B

10．若实数，满足约束条件则的最大值是（    ）

A．2 B．3 C．8 D．12

【答案】C

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【详解】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，

由，得，由图可知，当直线过时，

直线在轴上的截距最大，有最大值为8．

故选：C．

11．设点是双曲线与圆在第一象限的交点，，是双曲线的两个焦点，且，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意结合圆的半径和双曲线的定义得到a,c的比值关系，即可确定其离心率.

【详解】由题意可得：点P到原点的距离，∴，

∵，∴，

∴ ，

∴，

∴，∴.

故选:A.

12．已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，设函数，则函数的零点个数为（    ）

A．6 B．8 C．12 D．14

【答案】C

【分析】由已知可得函数的周期，作出两函数与在上的部分图象，数形结合可得两函数在上的交点公式，再根据对称性得答案．

【详解】解：函数是定义在上的偶函数，所以，且

所以，则函数的图象关于对称，

函数的零点即为的根，

又函数满足，则的周期为2，

函数与的图象都关于轴对称，

作出两函数在上的部分图象如图：

由图可知，两函数在上有6个交点，根据对称性可得，

的零点的个数为12．

故选：C．

二、填空题

13．已知平面向量，满足，，与的夹角为60°，则______.

【答案】3

【分析】根据平面向量数量积定义求解即可.

【详解】.

故答案为：

14．______.

【答案】

【分析】利用两角差的正弦公式，特殊角的三角函数值即可求解．

【详解】解：

．

故答案为：．

15．抛物线（）上点到其准线的距离为1，则a的值为_________．

【答案】

【分析】求出抛物线的准线，结合题意即可求解

【详解】抛物线即，

可得准线方程，

抛物线上点到其准线的距离为1，

可得，可得.

故答案为：

16．两个圆锥的底面是一个球的同一个截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为______.

【答案】

【分析】根据球的体积公式，结合球的性质、圆锥的体积公式进行求解即可.

【详解】设球的半径为，因为球的体积为，所以有，

设两个圆锥的高分别为，于是有且，

所以有，设圆锥的底面半径为，

所以有，

因此这两个圆锥的体积之和为，

故答案为：

三、解答题

17．为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的月均用电量都在至之间，进行适当分组后，画出的频率分布直方图如图所示.

(1)求图中的值；

(2)求被调查的用户中，月均用电量大于的户数.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可得的值；

（2）由频率分布直方图得电量大于频率，即可得用户数.

【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，

解得.

（2）解：由频率分布直方图得：

被调查的用户中，月均用电量大于的频率为，

被调查的用户中，月均用电量大于的户数为：.

18．如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，是的中点，是与的交点，.

(1)求证：平面；

(2)若，是边长为4的正三角形，求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）首先根据三角形中位线性质得到，再利用线面平行的判断即可证明.

（2）首先根据题意得到平面，再根据求解即可.

【详解】（1）侧面是菱形，是与的交点，

点为的中点，又是的中点，

由三角形的中位线定理知，，

，，

平面，平面，

平面.

（2）由侧面是矩形，知，

又，，

平面，即平面，

由是边长为4的正三角形，知，

故.

19．已知各项均为正数的数列满足：，当时，.

(1)求证：数列是等差数列；

(2)求数列的通项公式；

(3)设，求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）根据已知数列的递推关系式，结合等差数列的定义，即可证明；

（2）由（1）可得，即可求数列的通项公式；

（3）根据错位相减法求解数列的前项和即可.

【详解】（1）解：数列满足：，当时，，

整理得：，

数列是以1为首项，1为公差的等差数列.

（2）解：由（1）知，，，故.

（3）解：，

①，

则②，

①－②得：，

.

20．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、，过的直线（斜率不为）交椭圆于两点，的周长为，且椭圆经过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)当线段的中点在第二象限，且点的横坐标为时，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据周长求出再将点代入方程解出即可；（2）线段的中点在第二象限，显然直线的斜率必定存在且为正，然后设出直线方程联立整理之后表示出可求出直线方程，进而求出弦长.

【详解】（1）的周长为，，得，

又椭圆经过点，，得，

椭圆的方程为.

（2）由椭圆的方程可知，，

由题知，直线存在斜率且斜率大于0，

故可设直线的方程为（），

代入椭圆的方程可得：，

设，，则，解得，故

.

21．已知函数，其中，.

(1)若曲线与轴相切于点，求，的值；

(2)若，且在区间上有最大值，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义可得，解方程组可得答案；

（2）根据导数符号与函数单调性之间的关系，分类讨论函数的单调性，进而讨论最值在何时取得即可．

【详解】（1）解：，

因为函数的图象与轴相切于点，

所以，即，解得．

（2）解：当时，

易知函数在上单调递增，在上单调递减，

则为在上的最大值，满足题意；

当时，

恒成立，所以在上单调递增，

因此在上没有最大值，不满足题意；

当时，

在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

若在上取到最大值，

则必有，解得，又，于是．

综上所述，的取值范围为．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)设射线的极坐标方程为，射线与曲线C交于两点O、A，与直线l交于点B，且，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）参数方程与极坐标方程的相互转化，先将参数方程化为直角坐标方程，将代入化简即可；

（2）利用极坐标方程联立解出,代入化简求解即可.

【详解】（1）曲线C的参数方程：（为参数），

转换为直角坐标方程为，

即，

根据，转换为极坐标方程为.

（2）将射线的极坐标方程，代入中，

得，即，

将射线的极坐标方程，代入中，

得，即，

∵，

∴，整理得，

∵，

∴.

23．已知函数.

(1)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围；

(2)若，且函数的最小值为3，求a的值.

【答案】(1)

(2)4

【分析】（1）先化简得恒成立，再结合绝对值三角不等式去，最后解关于的不等式即可求解；

（2）去绝对值得关于的分段函数，由函数的增减性确定在处取最小值，代值可求.

【详解】（1）不等式对任意恒成立，

∴恒成立，

∵，

∴只需，解得或，

∴实数a的取值范围为；

（2）∵，∴，

∴，由分段函数可知，

在单减，在单增，

∴，解得.