重难点13 平面向量的概念及线性运算—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（解析版）

重难点13  平面向量的概念、线性运算与平面向量基本定理基本定理

1.熟记常用结论

（1）一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．

（2）在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论：

 ①＋＋＝0；

②＝(＋)；

③＝(＋)＝(＋)．

（3） 若＝λ＋μ (λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.

（4）对于任意两个向量a，b，都有：①||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；②|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．当a，b，不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系．

2.平面向量的线性运算技巧

（1）不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．

（2）含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．

（3）平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．

（4）在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．

3.共线向量定理的三个应用

平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，2023年高考仍将重点考查向量的线性运算及向量共线的充要条件，难度为基础题或中档题，题型为选择题或填空题.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．已知点则与同方向的单位向量为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A.

2．如图，正六边形ABCDEF中，=(   )

A．0 B． C． D．

【答案】D

【解析】将平移到，平移到，

故，

故选D.

3．中，边的高为，若，，，，，则（ )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】试题分析：由，，可知

4．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则

A．（－2，－4） B．（－3，－5） C．（3，5） D．（2，4）

【答案】B

【解析】因为，选B．

5．已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】连结，则为的中位线，

，

故选：A

6．在中，D是AB边上的中点，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

故选：C

7．已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】是所在平面内一点，为边中点，

∴，且，

∴，即，故选A.

8．在△中，为边上的中线，为的中点，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据向量的运算法则，可得

，

所以，故选A.

9.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

【答案】B
【解析】　[方法一：连接AO，则＝(＋)＝＋，

因为M，O，N三点共线，所以＋＝1，所以m＋n＝2.

方法二：连接AO.由于O为BC的中点，故＝(＋)，

＝－＝(＋)－＝＋，

同理，＝＋.

由于向量，共线，故存在实数λ使得＝λ，

即＋＝λ＋.

由于，不共线，故得－＝λ且＝λ，

消去λ，得(m－2)(n－2)＝mn，化简即得m＋n＝2.

10．在中，，．若点满足，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】试题分析：，

故选A．

11．已知 D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】得，故选A．

或．

12．已知向量，若时，；时，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以，解得，故，

又因为，所以，解得，故，

故选：.

二、填空题

13．已知向量，若，则_________．

【答案】

【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，

解方程可得：.

故答案为：.

14．　(1)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________.

＋μ，与不共线，所以λ＝，μ＝x，所以＝.

【答案】　

【解析】由题意可设＝x(0<x<1)，则＝x(＋)＝x＝＋x.

因为＝λ

15．已知点，若向量与=同向， =，则点的坐标为________.

【答案】（5，4）

【解析】设，则，，则，故，

，故，故.

故答案为：.

16．在△ABC中，点M，N满足，若，则x＝________，y＝________.

【答案】         

【解析】特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为轴，建立直角坐标系，，，则，.

三、解答题

17．在平面直角坐标系xOy中，已知向量．

（1）若，求tanx的值；

（2）若的夹角为，求x的值．

【答案】（1）tanx=1；（2）

【解析】1）若，

则，得tanx=1；

（2）∵，的夹角为，

得

∵，∴

18．已知是的三个顶点．

(1)写出的重心G,外心F,垂心H的坐标,并证明G,F,H三点共线;

(2)当直线与平行时,求顶点C的轨迹．

【答案】(1),证明见解析

(2)

【解析】（1）解:由题知,重心坐标为,

不妨设即

,,

不妨设即

,,

,

故G,F,H三点共线;

（2）由(1)知,

与平行,

,

,

记,,

配方得,

所以顶点C的轨迹是以为中心点,1为短轴长,为长轴长且去掉四个顶点的椭圆.