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2022年陕西省西安市第三中学 中考数学六模试卷(含答案)
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这是一份2022年陕西省西安市第三中学 中考数学六模试卷(含答案)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
陕西省西安三中2022年中考数学六模试卷(解析版)
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．﹣9的立方根是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
2．下列四边形中，对称轴条数最多的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．菱形 D．正方形
3．可燃冰，学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁、储量巨大的新能源．据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量．将1000亿用科学记数法可表示为（ ）
A．1×103 B．1000×108 C．1×1011 D．1×1014
4．计算a6÷（﹣a）3的结果是（ ）
A．﹣a3 B．﹣a2 C．a3 D．a2
5．把一副三角板按如图所示的位置摆放，使直角顶点重合，且CD∥AB，则∠AFD的度数是（ ）
A．90° B．85° C．80° D．75°
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CB延长线上一点，E是AB上一点，连DE并延长交AC于点F，过F作FG∥AB交BC于点G，若DE＝EF，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．已知直线的函数表达式为y＝kx﹣3（k≠0），当自变量满足1≤x≤3时，其对应的函数图象都在x轴下方，则k的取值范围是（ ）
A．k＞3 B．k＞1 C．k＜1 D．k＜3
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，则下列式子：
①abc＞0，
②当﹣3＜x＜1时，y＞0，
③4a+2b+c＞0，
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣（a≠0）的解是x1＝﹣4，x2＝3．
正确的个数是（ ）
x
…
﹣4
﹣
﹣
1
…
y
…
﹣
0
…
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．比较大小：﹣ ﹣3．
10．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD＝ °．
11．若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ．
12．在同一平面直角坐标系中，直线y＝kx与双曲线y＝相交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点，则3x1y2﹣x2y1的值为 ．
13．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，E、M、N分别是边AD、AB、BC上的动点，且NM＝2，MO＝NO，则CE+EO的最小值是 ．
三、解答题（本大题共13个小题，共81分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（5分）计算：（﹣）0﹣×﹣|tan60°﹣2|．
15．（5分）解不等式组．
16．（5分）化简：（1﹣）÷．
17．（5分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，请用尺规作图在AC上作一点E，使得∠CBE＝36°（保留作图痕迹，不写作法）．
18．（5分）如图，BD是△ABC的中线，E是BD的中点，过点B作AC的平行线BF，交CE的延长线于点F，连接AF．求证：AF∥BD．
19．（5分）某商品进价120元，现按标价六折出售，仍可获利10%，则该商品标价为多少元？
20．（5分）五一期间，贝贝和冬冬决定到附近游玩，她们想去陕西科学技术馆（A）、陕西历史博物馆（B）或秦岭四宝科学馆（C）中的﹣个场馆游玩，假设每个场馆被选中的可能性相等．
（1）冬冬选择去陕西科学技术馆（A）游玩的概率为 ．
（2）用树状图或列表的方法求贝贝和冬冬选择去不同场馆游玩的概率．
21．（6分）如图，一个四边形材料ABCD的一段CD卡在模具中无法测量，AB∥CD，AB与CD之间的距离为120cm，∠A＝40°，∠ABC＝127°，AB＝80cm，求CD的长度．（参考数据：tan40°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
22．（7分）某校为落实“双减”政策，进一步促进校园文化建设和学生全面发展，学校开展了适合学生素质发展的课后服务内容，该内容分为4个类别，分别为乐类（A），美术类（B），科技类（C），体育类（D），现抽取了部分学生对该服务内容的喜欢程度，并根据调查结果绘制了如图所示两幅不完整的统计图：
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的学生一共有 人，扇形统计图中，A对应的扇形圆心角的度数是 ．
（2）请补全上面的条形统计图和扇形统计图．
（3）若该校共有学生2600人，请估计其中喜欢“科技类”的学生人数．
23．（7分）“人人冬奥，全民冰雪”，寒假赵凯一家乘车去离家80千米的太白山滑雪场体验滑雪运动，出发后，前1.5小时匀速行驶了30千米，之后又匀速行驶了1小时到达目的地，他们在滑雪场玩了4小时后乘车回家他们离家的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）求AB的函数表达式．
（2）赵凯一家经过多长时间离家的距离为40千米？
24．（8分）如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交AB于D，CE平分∠BCD交AB于E，若AC＝AE．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若BC＝5，BE＝1，求DE的长．
25．（8分）如图，一次函数y＝﹣x﹣4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A、C，与x轴另一交点为B，其对称轴交x轴于D．
（1）求二次函数的表达式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得∠ANB＝45°．若存在，求出N点坐标，若不存在，请说明理由．
26．（10分）问题提出：
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，P是对角线AC上的一点，连接PD，将PD绕点P逆时针旋转90°得到PM，过点M作MN⊥AC于N，求PN的长．
问题解决：
（2）2022年3月我省局部发生疫情，为落实“科学防治、精准施策、分级管理”，我省某小区设计防疫区域，在道路CD边固定柱子（点Q），道路AB边确定一点P，以PQ为边，搭建正方形防疫区域PMNQ，内部道路CD上设点E作为记录处，△EPQ、△EPM、△EMN、△ENQ分别为不同的防疫物资放置区域，设计图简化如图2所示，已知道路两边AB∥CD，道路宽为6m，Q为CD上一定点，P为AB上一动点，PE⊥CD于E．请问是否存在符合设计要求且面积最小的△EMN？若存在，请求出面积最小值及此时QE的长；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．﹣9的立方根是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
【分析】利用立方根的定义计算即可．
【解答】解：﹣9的立方根是，
故选：C．
【点评】本题考查了立方根的定义，解题的关键是熟练掌握立方根的定义．
2．下列四边形中，对称轴条数最多的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．菱形 D．正方形
【分析】根据轴对称图形的概念及对称轴的概念进行分析解答即可，矩形有两条对称轴，为对边中垂线所在的直线；菱形由两条对称轴，为其两条对角线所在的直线；正方形有四条对称轴，为其两条对角线所在的直线，还有其对边中垂线所在的直线；等腰梯形有一条对称轴，为其两底的中垂线所在的直线．
【解答】解：A．平行四边形不是轴对称图形，故平行四边形有0条对称轴；等腰梯形有一条对称轴；菱形有两条对称轴；正方形有四条对称轴
B．菱形由两条对称轴；
C．正方形由四条对称轴；
D．等腰梯形由一条对称轴．
所以对称轴条数最多的是正方形．
故选：D．
【点评】本题主要考查轴对称图形概念，对称轴的性质，关键在于相关的概念正确的分析出题目中图形的对称轴，认真的比较．
3．可燃冰，学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁、储量巨大的新能源．据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量．将1000亿用科学记数法可表示为（ ）
A．1×103 B．1000×108 C．1×1011 D．1×1014
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将1000亿用科学记数法表示为：1×1011．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．计算a6÷（﹣a）3的结果是（ ）
A．﹣a3 B．﹣a2 C．a3 D．a2
【分析】利用同底数幂的除法的法则进行求解即可．
【解答】解：a6÷（﹣a）3
＝a6÷（﹣a3）
＝﹣a3，
故选：A．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是熟记同底数幂的除法的法则：底数不变，指数相减．
5．把一副三角板按如图所示的位置摆放，使直角顶点重合，且CD∥AB，则∠AFD的度数是（ ）
A．90° B．85° C．80° D．75°
【分析】根据平行线的性质可得∠DCF＝∠A，再根据三角形的外角性质可得∠AFD的度数．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴∠DCF＝∠A＝30°，
∴∠AFD＝∠AFD+∠D＝30°+45°＝75°，
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质和三角形的外角性质，解题关键是结合图形合理利用平行线的性质和三角形的外角性质进行角的转化和计算．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CB延长线上一点，E是AB上一点，连DE并延长交AC于点F，过F作FG∥AB交BC于点G，若DE＝EF，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】根据AB＝AC，FG∥AB，可得∠ACB＝∠FGC，即FG＝FC，再结合△DBE∽△DGF，得出，即．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵FG∥AB，
∴∠ABC＝∠FGC，∠DBA＝∠DGF，
∴∠ACB＝∠FGC，
∴FG＝FC，
在△DBE和△DGF中，∠DBE＝∠DGF，∠BDE＝∠GDF，
∴△DBE∽△DGF，
∴，
∵EF＝DE，
∴，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
7．已知直线的函数表达式为y＝kx﹣3（k≠0），当自变量满足1≤x≤3时，其对应的函数图象都在x轴下方，则k的取值范围是（ ）
A．k＞3 B．k＞1 C．k＜1 D．k＜3
【分析】根据一次函数的图象的性质知，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）当自变量满足1≤x≤3时，其对应的函数图象都在x轴下方，则应有，求解即可．
【解答】解：∵直线的函数表达式为y＝kx﹣3（k≠0），当自变量满足1≤x≤3时，其对应的函数图象都在x轴下方，
∴，
解得k＜1，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数与y轴的交点，转化为解不等式的问题是解决本题的关键．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，则下列式子：
①abc＞0，
②当﹣3＜x＜1时，y＞0，
③4a+2b+c＞0，
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣（a≠0）的解是x1＝﹣4，x2＝3．
正确的个数是（ ）
x
…
﹣4
﹣
﹣
1
…
y
…
﹣
0
…
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】观察图表可知，开口向下，a＜0，二次函数y＝ax2+bx+c在x＝﹣与x＝﹣时，y值相等，得出对称轴为直线x＝﹣1，即可得出b＜0，在根据图象经过点（1，0），得出c＞0由此判断①；根据二次函数的对称性求得抛物线与x轴的交点，即可判断②；根据x＝2，y＜0即可判断③；根据抛物线的对称性求得点（﹣4，﹣）关于直线x＝﹣1的对称点是（2，﹣），即可判断④．
【解答】解：①由于二次函数y＝ax2+bx+c有最大值，
∴a＜0，开口向下，
∵对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴b＜0，
∵图象经过点（1，0），
∴c＞0，
∴abc＞0，故说法正确；
②∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴点（1，0）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），
∵a＜0，开口向下，
∴当﹣3＜x＜1时，y＞0，故说法正确；
③当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，故说法错误；
④∵点（﹣4，﹣）关于直线x＝﹣1的对称点是（2，﹣），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣（a≠0）的解是x1＝﹣4，x2＝2，故说法错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，难度适中．通过观察图表得出对称轴为直线x＝﹣1是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．比较大小：﹣ ＜ ﹣3．
【分析】先把﹣3变为9算术平方根的相反数，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
【解答】解：∵﹣3＝﹣，
∴﹣＜﹣3．
故填空答案：＜．
【点评】此题主要考查了实数的大小比较．注意两个无理数的比较方法：统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．
10．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD＝ 54 °．
【分析】根据正五边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵多边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝×（180°﹣72°）＝54°，
故答案为：54．
【点评】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形内角的度数．
11．若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 m≥0且m≠1 ．
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可确定出m的范围．
【解答】解：∵方程（m﹣1）x2+x＝1是关于x的一元二次方程，
∴m﹣1≠0，且m≥0，即m≥0且m≠1，
故答案为：m≥0且m≠1
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
12．在同一平面直角坐标系中，直线y＝kx与双曲线y＝相交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点，则3x1y2﹣x2y1的值为 ﹣6 ．
【分析】由题意可得P（x1，y1），Q（x2，y2）两点关于原点对称，则x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，将P（x1，y1）代入y＝，得x1y1＝3，则3x1y2﹣x2y1＝﹣3x1y1+x1y1＝﹣2x1y1，即可得出答案．
【解答】解：∵直线y＝kx与双曲线y＝相交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，
∴P（x1，y1），Q（x2，y2）两点关于原点对称，
∴x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，
将P（x1，y1）代入y＝，
得x1y1＝3，
∴3x1y2﹣x2y1＝﹣3x1y1+x1y1＝﹣2x1y1＝﹣2×3＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．
13．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，E、M、N分别是边AD、AB、BC上的动点，且NM＝2，MO＝NO，则CE+EO的最小值是 3﹣1 ．
【分析】延长CD到C′，使C′D＝CD，CE+EO＝C′E+EO，当C′，E，O三点共线时，C'E+EO的值最小，根据题意，点O的轨迹是以B为圆心，1为半径的圆弧上，圆外一点C′到圆上一点O距离的最小值C′O＝C′B﹣1，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：延长CD到C′，使C′D＝CD，
CE+EO＝C′E+EO，
当C′，E，O三点共线时，C'E+EO的值最小，
根据题意，点O的轨迹是以B为圆心，1为半径的圆弧上，
圆外一点C′到圆上一点O距离的最小值C′O＝C′B﹣1，
∵BC＝CD＝3，
∴CC′＝6，
∴C′B＝＝3，
∴CE+EO的最小值是3﹣1，
故答案为：3﹣1．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的找到P点的位置是解题的关键．
三、解答题（本大题共13个小题，共81分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（5分）计算：（﹣）0﹣×﹣|tan60°﹣2|．
【分析】先算零指数幂，二次根式的乘法，特殊角的三角函数值，再去绝对值符号，再算加减即可．
【解答】解：（﹣）0﹣×﹣|tan60°﹣2|
＝1﹣4﹣||
＝1﹣4﹣（2﹣）
＝1﹣4﹣2+
＝﹣1﹣3．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15．（5分）解不等式组．
【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．
【解答】解：，
由①得：x≥﹣2，
由②得：x＜2，
所以这个不等式组的解集为﹣2≤x＜2．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确计算出两个不等式组的解集．
16．（5分）化简：（1﹣）÷．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝•
＝a（a﹣1）
＝a2﹣a．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（5分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，请用尺规作图在AC上作一点E，使得∠CBE＝36°（保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】作∠ABC的角平分线即可得到结论．
【解答】解：如图所示，点E即为所求．
【点评】本题主要考查了作图﹣复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
18．（5分）如图，BD是△ABC的中线，E是BD的中点，过点B作AC的平行线BF，交CE的延长线于点F，连接AF．求证：AF∥BD．
【分析】证明△ECD≌△EFB，根据全等三角形的性质得到CD＝BF，证明四边形AFBD为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论．
【解答】证明：∵AC∥BF，
∴∠ECD＝∠EFB，
在△ECD和△EFB中，
，
∴△ECD≌△EFB（AAS），
∴CD＝BF，
∵CD＝AD，
∴BF＝AD，
∵AD∥BF，
∴四边形AFBD为平行四边形，
∴AF∥BD．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
19．（5分）某商品进价120元，现按标价六折出售，仍可获利10%，则该商品标价为多少元？
【分析】根据售价﹣进价＝利润，可以列出相应的方程，然后求解即可．
【解答】解：设该商品标价为x元，
由题意可得：0.6x﹣120＝120×10%，
解得x＝220，
答：该商品标价为220元．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
20．（5分）五一期间，贝贝和冬冬决定到附近游玩，她们想去陕西科学技术馆（A）、陕西历史博物馆（B）或秦岭四宝科学馆（C）中的﹣个场馆游玩，假设每个场馆被选中的可能性相等．
（1）冬冬选择去陕西科学技术馆（A）游玩的概率为 ．
（2）用树状图或列表的方法求贝贝和冬冬选择去不同场馆游玩的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）冬冬选择去陕西科学技术馆（A）游玩的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，贝贝和冬冬选择去同一个馆游玩的情况有3种结果，
∴贝贝和冬冬选择去同一个馆游玩的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（6分）如图，一个四边形材料ABCD的一段CD卡在模具中无法测量，AB∥CD，AB与CD之间的距离为120cm，∠A＝40°，∠ABC＝127°，AB＝80cm，求CD的长度．（参考数据：tan40°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
【分析】过点C作CM⊥AB，交AB延长线于点M，过点A作AN⊥CD，交CD的延长线于点N，先证四边形AMCN是矩形，再利用解直角三角形得出BM，DN的长，最后得出结果．
【解答】解：过点C作CM⊥AB，交AB延长线于点M，过点A作AN⊥CD，交CD的延长线于点N，则∠M＝∠N＝90°，如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠M+∠MCN＝90°，
∠MAN+∠N＝90，
∴∠MCN＝90°，∠MAN＝90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∴AM＝CN，CM＝AN，
∵AB与CD之间的距离为120cm，
∴CM＝AN＝120cm，
∵∠ABC＝127°，
∴∠MBC＝53°，
∴BM＝cm，
∵AB＝80cm，
∴AM＝AB+BM＝80+90＝170（cm），
∴CN＝170cm，
∵∠BAD＝40°，
∴∠ADN＝40°，
∴DN＝＝＝144（cm），
设CD＝xcm，
则x＝CN﹣DN＝170﹣144＝26（cm），
故CD的长度为：26cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行线间的距离，矩形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
22．（7分）某校为落实“双减”政策，进一步促进校园文化建设和学生全面发展，学校开展了适合学生素质发展的课后服务内容，该内容分为4个类别，分别为乐类（A），美术类（B），科技类（C），体育类（D），现抽取了部分学生对该服务内容的喜欢程度，并根据调查结果绘制了如图所示两幅不完整的统计图：
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的学生一共有 200 人，扇形统计图中，A对应的扇形圆心角的度数是 108° ．
（2）请补全上面的条形统计图和扇形统计图．
（3）若该校共有学生2600人，请估计其中喜欢“科技类”的学生人数．
【分析】（1）利用B类人数除以所占百分比可得抽取总人数，用360°乘以A类所占的百分比，计算即可得解；
（2）根据总数计算出C类的人数，然后再补图即可；
（3）利用样本估计总体的方法计算即可．
【解答】解：（1）抽取的学生总数：20÷10%＝200（人），
扇形统计图中A类所在的扇形的圆形角度数是360°×＝108°；
故答案为：200；108°；
（2）C类学生人数：200﹣60﹣20﹣80＝40（人），
扇形统计图中，A所占百分比为：＝30%，C所占百分比为：，
补全统计图如下：
（3）2600×＝520（人），
答：该校喜欢“科技类”的学生大约有520人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．（7分）“人人冬奥，全民冰雪”，寒假赵凯一家乘车去离家80千米的太白山滑雪场体验滑雪运动，出发后，前1.5小时匀速行驶了30千米，之后又匀速行驶了1小时到达目的地，他们在滑雪场玩了4小时后乘车回家他们离家的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）求AB的函数表达式．
（2）赵凯一家经过多长时间离家的距离为40千米？
【分析】（1）根据待定系数法，可得一次函数解析式，
（2）先求出CD段对应的解析式，再分去滑雪场和从滑雪场回家两种情况，求出离家的距离为40千米时的时间．
【解答】解：（1）设AB段对应的解析式为y＝kx+b，把A（1.5，30），B（2.5，80）代入，得，
，
解得：，
∴AB段对应的解析式为y＝50x﹣45．
（2）由题意知，C（6.5，80），D（8.5，0），
设CD段对应的解析式为y＝mx+n，把C（6.5，80），D（8.5，0）代入，得，
，
解得：，
∴CD段对应的解析式为y＝﹣40x+340．
把y＝40代入y＝50x﹣45，得40＝50x﹣45，
解得，x＝1.7，
把y＝40代入y＝﹣40x+340，得40＝﹣40x+340，
解得，x＝7.5．
答：赵凯一家经过1.7或7.5小时，离家的距离为40千米．
【点评】本题考查了一次函数的应用及一次函数解析式的确定，解题的关键是通过仔细观察图象，从中整理出解题时所需的相关信息，本题较简单．
24．（8分）如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交AB于D，CE平分∠BCD交AB于E，若AC＝AE．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若BC＝5，BE＝1，求DE的长．
【分析】（1）由AC为直径可得∠ADC＝90°，即∠EDC＝90°，从而可得∠DEC+∠DCE＝90°，由CE平分∠BCD可得∠DCE＝∠BCE，从而可得∠DEC+∠BCE＝90°，由AC＝AE可得∠AEC＝∠ACE，从而可得∠ACE+∠BCE＝90°，即∠ACB＝90°，即可证明；
（2）设AE＝AC＝x，则AB＝x+1，由（1）可知△ACB为直角三角形，由勾股定理可得x＝12，即AC＝12，AB＝13，再设DE＝y，则BD＝y+1，AD＝12﹣y，在Rt△ACD和Rt△BCD中，由勾股定理可得CD2＝AC2﹣AD2，CD2＝BC2﹣BD2，即AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，即可解得y＝，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝90°，
∴∠DEC+∠DCE＝90°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠DEC+∠BCE＝90°，
∵AC＝AE，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴∠ACE+∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：设AE＝AC＝x，则AB＝x+1，
由（1）可知△ACB为直角三角形，由勾股定理可得：
AB2＝BC2﹣AC2，
即（x+1）2＝52+x2，
解得：x＝12，
∴AC＝12，AB＝13，
再设DE＝y，则BD＝y+1，AD＝12﹣y，
在Rt△ACD和Rt△BCD中，由勾股定理可得：
CD2＝AC2﹣AD2，CD2＝BC2﹣BD2，
即AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，
即122﹣（12﹣y）2＝52﹣（y+1）2，
解得：y＝，
∴DE＝．
【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，角平分线的性质，切线的性质等知识点，解题的关键是理清题意，利用角度转化的关系进行证明．
25．（8分）如图，一次函数y＝﹣x﹣4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A、C，与x轴另一交点为B，其对称轴交x轴于D．
（1）求二次函数的表达式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得∠ANB＝45°．若存在，求出N点坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）在y＝﹣x﹣4中，可得A（﹣4，0），C（0，﹣4），由待定系数法即得二次函数的表达式为y＝x2+x﹣4；
（2）分两种情况：当N在x轴上方时，设抛物线对称轴交AB于D，在抛物线对称轴上取点K，使DK＝AD，以K为圆心，AK的长为半径作⊙K交抛物线对称轴于N，由y＝x2+x﹣4得抛物线对称轴为直线x＝﹣1，A（﹣4，0），B（2，0），可得DK＝BD＝3＝AD，从而△ADK、△BDK是等腰直角三角形，故有∠AKB＝90°，而N在⊙K上，∠ANB＝∠AKB＝45°，即知此时N是满足题意的点，由AK＝3＝NK，可得N（﹣1，3+3），当N在x轴下方时，同理可得N'（﹣1，﹣3﹣3）．
【解答】解：（1）在y＝﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，令y＝0得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），C（0，﹣4），
把A（﹣4，0），C（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2+x﹣4；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点N，使得∠ANB＝45°，理由如下：
当N在x轴上方时，设抛物线对称轴交AB于D，在抛物线对称轴上取点K，使DK＝AD，以K为圆心，AK的长为半径作⊙K交抛物线对称轴于N，如图：
由y＝x2+x﹣4得抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
在y＝x2+x﹣4中，令y＝0得x2+x﹣4＝0，
解得x＝2或x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（2，0），
∴AB＝2﹣（﹣4）＝6，
∴AD＝BD＝AB＝3，D（﹣1，0），
∵DK＝AD，
∴DK＝BD＝3＝AD，
∴△ADK、△BDK是等腰直角三角形，K（﹣1，3），
∴∠DAK＝45°＝∠DBK，
∴∠AKB＝90°，
∵N在⊙K上，
∴∠ANB＝∠AKB＝45°，即此时N是满足题意的点，
∵K（﹣1，3），A（﹣4，0），
∴AK＝＝3＝NK，
∴DN＝DK+NK＝3+3，
∴N（﹣1，3+3），
当N在x轴下方时，如图：
由对称性可知DK'＝AD＝BD＝3，K'N'＝AK'＝3，
∴N'（﹣1，﹣3﹣3），
综上所述，N的坐标为（﹣1，3+3）或（﹣1，﹣3﹣3）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理的应用及圆的性质、应用等知识，解题的关键是能作出辅助圆，找到N的位置．
26．（10分）问题提出：
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，P是对角线AC上的一点，连接PD，将PD绕点P逆时针旋转90°得到PM，过点M作MN⊥AC于N，求PN的长．
问题解决：
（2）2022年3月我省局部发生疫情，为落实“科学防治、精准施策、分级管理”，我省某小区设计防疫区域，在道路CD边固定柱子（点Q），道路AB边确定一点P，以PQ为边，搭建正方形防疫区域PMNQ，内部道路CD上设点E作为记录处，△EPQ、△EPM、△EMN、△ENQ分别为不同的防疫物资放置区域，设计图简化如图2所示，已知道路两边AB∥CD，道路宽为6m，Q为CD上一定点，P为AB上一动点，PE⊥CD于E．请问是否存在符合设计要求且面积最小的△EMN？若存在，请求出面积最小值及此时QE的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图1，过点D作DF⊥AC于点F，证明△PMN≌△DPF（AAS），推出PN＝DF＝；
（2）如图2中，过点N作NH⊥CD于点H，过点M作MG⊥AB于点G．证明△PEQ≌△PGM（AAS），推出QE＝GM，PG＝PE＝6，S四边形QOME＝S四边形EPGM＝（GM+PE）•PG，设QE＝a，推出S四边形QPME＝（a+6）×6＝3a+18，证明△QPE≌△NQH（AAS），推出NH＝QE＝a，S△NQE＝•QE•NH＝a2，S四边形PQMN＝PQ2＝a2+36，推出S△EMN＝S四边形PQMN﹣S四边形PMEQ﹣S△QEN＝a2＝36﹣3a﹣18﹣a2＝（a﹣3）2+，可得结论．
【解答】解：（1）如图1，过点D作DF⊥AC于点F，
则∠DFP＝90°，
∴∠PDF+∠DPF＝90°，
∵MN⊥AC，
∴∠PNM＝90°，
∴∠PNM＝∠DFP，
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝4，
∴AC＝＝＝5，
∵S△ACD＝AC•DF＝AD•CD，
∴DF＝＝＝，
∵PD绕点P逆时针旋转90°得到PM，
∴PM＝PD，∠MPN+∠DPF＝90°，
∴∠MPN＝∠PDF，
在△PMN和△DPF中，
，
∴△PMN≌△DPF（AAS），
∴PN＝DF＝，
故PN的长为；
（2）如图2中，过点N作NH⊥CD于点H，过点M作MG⊥AB于点G．
∵四边形PMNQ是正方形，
∴∠QPM＝∠EPG＝90°，QP＝MP＝QP＝QN，
∴∠PGM＝∠PEQ＝90°，
∴△PEQ≌△PGM（AAS），
∴QE＝GM，PG＝PE＝6，S四边形QOME＝S四边形EPGM＝（GM+PE）•PG，
设QE＝a，
∴S四边形QPME＝（a+6）×6＝3a+18，
∵NH⊥CD，∠PQN＝90°，
∴∠QHN＝∠PEQ＝90°，
∴∠QPE＝∠NQH，
∵QP＝QN，
∴△QPE≌△NQH（AAS），
∴NH＝QE＝a，
∴S△NQE＝•QE•NH＝a2，
∵PQ＝＝，
∴S四边形PQMN＝PQ2＝a2+36，
∴S△EMN＝S四边形PQMN﹣S四边形PMEQ﹣S△QEN＝a2＝36﹣3a﹣18﹣a2＝（a﹣3）2+，
∵＞0，
∴a＝3时，△EMN的面积最小，最小值为．
∴△EMN的面积的最小值为，此时QE＝3．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建二次函数解决最值问题．
陕西省西安三中2022年中考数学六模试卷(解析版)
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．﹣9的立方根是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
2．下列四边形中，对称轴条数最多的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．菱形 D．正方形
3．可燃冰，学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁、储量巨大的新能源．据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量．将1000亿用科学记数法可表示为（ ）
A．1×103 B．1000×108 C．1×1011 D．1×1014
4．计算a6÷（﹣a）3的结果是（ ）
A．﹣a3 B．﹣a2 C．a3 D．a2
5．把一副三角板按如图所示的位置摆放，使直角顶点重合，且CD∥AB，则∠AFD的度数是（ ）
A．90° B．85° C．80° D．75°
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CB延长线上一点，E是AB上一点，连DE并延长交AC于点F，过F作FG∥AB交BC于点G，若DE＝EF，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．已知直线的函数表达式为y＝kx﹣3（k≠0），当自变量满足1≤x≤3时，其对应的函数图象都在x轴下方，则k的取值范围是（ ）
A．k＞3 B．k＞1 C．k＜1 D．k＜3
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，则下列式子：
①abc＞0，
②当﹣3＜x＜1时，y＞0，
③4a+2b+c＞0，
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣（a≠0）的解是x1＝﹣4，x2＝3．
正确的个数是（ ）
x
…
﹣4
﹣
﹣
1
…
y
…
﹣
0
…
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．比较大小：﹣ ﹣3．
10．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD＝ °．
11．若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ．
12．在同一平面直角坐标系中，直线y＝kx与双曲线y＝相交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点，则3x1y2﹣x2y1的值为 ．
13．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，E、M、N分别是边AD、AB、BC上的动点，且NM＝2，MO＝NO，则CE+EO的最小值是 ．
三、解答题（本大题共13个小题，共81分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（5分）计算：（﹣）0﹣×﹣|tan60°﹣2|．
15．（5分）解不等式组．
16．（5分）化简：（1﹣）÷．
17．（5分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，请用尺规作图在AC上作一点E，使得∠CBE＝36°（保留作图痕迹，不写作法）．
18．（5分）如图，BD是△ABC的中线，E是BD的中点，过点B作AC的平行线BF，交CE的延长线于点F，连接AF．求证：AF∥BD．
19．（5分）某商品进价120元，现按标价六折出售，仍可获利10%，则该商品标价为多少元？
20．（5分）五一期间，贝贝和冬冬决定到附近游玩，她们想去陕西科学技术馆（A）、陕西历史博物馆（B）或秦岭四宝科学馆（C）中的﹣个场馆游玩，假设每个场馆被选中的可能性相等．
（1）冬冬选择去陕西科学技术馆（A）游玩的概率为 ．
（2）用树状图或列表的方法求贝贝和冬冬选择去不同场馆游玩的概率．
21．（6分）如图，一个四边形材料ABCD的一段CD卡在模具中无法测量，AB∥CD，AB与CD之间的距离为120cm，∠A＝40°，∠ABC＝127°，AB＝80cm，求CD的长度．（参考数据：tan40°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
22．（7分）某校为落实“双减”政策，进一步促进校园文化建设和学生全面发展，学校开展了适合学生素质发展的课后服务内容，该内容分为4个类别，分别为乐类（A），美术类（B），科技类（C），体育类（D），现抽取了部分学生对该服务内容的喜欢程度，并根据调查结果绘制了如图所示两幅不完整的统计图：
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的学生一共有 人，扇形统计图中，A对应的扇形圆心角的度数是 ．
（2）请补全上面的条形统计图和扇形统计图．
（3）若该校共有学生2600人，请估计其中喜欢“科技类”的学生人数．
23．（7分）“人人冬奥，全民冰雪”，寒假赵凯一家乘车去离家80千米的太白山滑雪场体验滑雪运动，出发后，前1.5小时匀速行驶了30千米，之后又匀速行驶了1小时到达目的地，他们在滑雪场玩了4小时后乘车回家他们离家的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）求AB的函数表达式．
（2）赵凯一家经过多长时间离家的距离为40千米？
24．（8分）如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交AB于D，CE平分∠BCD交AB于E，若AC＝AE．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若BC＝5，BE＝1，求DE的长．
25．（8分）如图，一次函数y＝﹣x﹣4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A、C，与x轴另一交点为B，其对称轴交x轴于D．
（1）求二次函数的表达式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得∠ANB＝45°．若存在，求出N点坐标，若不存在，请说明理由．
26．（10分）问题提出：
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，P是对角线AC上的一点，连接PD，将PD绕点P逆时针旋转90°得到PM，过点M作MN⊥AC于N，求PN的长．
问题解决：
（2）2022年3月我省局部发生疫情，为落实“科学防治、精准施策、分级管理”，我省某小区设计防疫区域，在道路CD边固定柱子（点Q），道路AB边确定一点P，以PQ为边，搭建正方形防疫区域PMNQ，内部道路CD上设点E作为记录处，△EPQ、△EPM、△EMN、△ENQ分别为不同的防疫物资放置区域，设计图简化如图2所示，已知道路两边AB∥CD，道路宽为6m，Q为CD上一定点，P为AB上一动点，PE⊥CD于E．请问是否存在符合设计要求且面积最小的△EMN？若存在，请求出面积最小值及此时QE的长；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．﹣9的立方根是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
【分析】利用立方根的定义计算即可．
【解答】解：﹣9的立方根是，
故选：C．
【点评】本题考查了立方根的定义，解题的关键是熟练掌握立方根的定义．
2．下列四边形中，对称轴条数最多的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．菱形 D．正方形
【分析】根据轴对称图形的概念及对称轴的概念进行分析解答即可，矩形有两条对称轴，为对边中垂线所在的直线；菱形由两条对称轴，为其两条对角线所在的直线；正方形有四条对称轴，为其两条对角线所在的直线，还有其对边中垂线所在的直线；等腰梯形有一条对称轴，为其两底的中垂线所在的直线．
【解答】解：A．平行四边形不是轴对称图形，故平行四边形有0条对称轴；等腰梯形有一条对称轴；菱形有两条对称轴；正方形有四条对称轴
B．菱形由两条对称轴；
C．正方形由四条对称轴；
D．等腰梯形由一条对称轴．
所以对称轴条数最多的是正方形．
故选：D．
【点评】本题主要考查轴对称图形概念，对称轴的性质，关键在于相关的概念正确的分析出题目中图形的对称轴，认真的比较．
3．可燃冰，学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁、储量巨大的新能源．据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量．将1000亿用科学记数法可表示为（ ）
A．1×103 B．1000×108 C．1×1011 D．1×1014
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将1000亿用科学记数法表示为：1×1011．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．计算a6÷（﹣a）3的结果是（ ）
A．﹣a3 B．﹣a2 C．a3 D．a2
【分析】利用同底数幂的除法的法则进行求解即可．
【解答】解：a6÷（﹣a）3
＝a6÷（﹣a3）
＝﹣a3，
故选：A．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是熟记同底数幂的除法的法则：底数不变，指数相减．
5．把一副三角板按如图所示的位置摆放，使直角顶点重合，且CD∥AB，则∠AFD的度数是（ ）
A．90° B．85° C．80° D．75°
【分析】根据平行线的性质可得∠DCF＝∠A，再根据三角形的外角性质可得∠AFD的度数．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴∠DCF＝∠A＝30°，
∴∠AFD＝∠AFD+∠D＝30°+45°＝75°，
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质和三角形的外角性质，解题关键是结合图形合理利用平行线的性质和三角形的外角性质进行角的转化和计算．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CB延长线上一点，E是AB上一点，连DE并延长交AC于点F，过F作FG∥AB交BC于点G，若DE＝EF，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】根据AB＝AC，FG∥AB，可得∠ACB＝∠FGC，即FG＝FC，再结合△DBE∽△DGF，得出，即．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵FG∥AB，
∴∠ABC＝∠FGC，∠DBA＝∠DGF，
∴∠ACB＝∠FGC，
∴FG＝FC，
在△DBE和△DGF中，∠DBE＝∠DGF，∠BDE＝∠GDF，
∴△DBE∽△DGF，
∴，
∵EF＝DE，
∴，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
7．已知直线的函数表达式为y＝kx﹣3（k≠0），当自变量满足1≤x≤3时，其对应的函数图象都在x轴下方，则k的取值范围是（ ）
A．k＞3 B．k＞1 C．k＜1 D．k＜3
【分析】根据一次函数的图象的性质知，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）当自变量满足1≤x≤3时，其对应的函数图象都在x轴下方，则应有，求解即可．
【解答】解：∵直线的函数表达式为y＝kx﹣3（k≠0），当自变量满足1≤x≤3时，其对应的函数图象都在x轴下方，
∴，
解得k＜1，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数与y轴的交点，转化为解不等式的问题是解决本题的关键．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，则下列式子：
①abc＞0，
②当﹣3＜x＜1时，y＞0，
③4a+2b+c＞0，
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣（a≠0）的解是x1＝﹣4，x2＝3．
正确的个数是（ ）
x
…
﹣4
﹣
﹣
1
…
y
…
﹣
0
…
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】观察图表可知，开口向下，a＜0，二次函数y＝ax2+bx+c在x＝﹣与x＝﹣时，y值相等，得出对称轴为直线x＝﹣1，即可得出b＜0，在根据图象经过点（1，0），得出c＞0由此判断①；根据二次函数的对称性求得抛物线与x轴的交点，即可判断②；根据x＝2，y＜0即可判断③；根据抛物线的对称性求得点（﹣4，﹣）关于直线x＝﹣1的对称点是（2，﹣），即可判断④．
【解答】解：①由于二次函数y＝ax2+bx+c有最大值，
∴a＜0，开口向下，
∵对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴b＜0，
∵图象经过点（1，0），
∴c＞0，
∴abc＞0，故说法正确；
②∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴点（1，0）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），
∵a＜0，开口向下，
∴当﹣3＜x＜1时，y＞0，故说法正确；
③当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，故说法错误；
④∵点（﹣4，﹣）关于直线x＝﹣1的对称点是（2，﹣），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣（a≠0）的解是x1＝﹣4，x2＝2，故说法错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，难度适中．通过观察图表得出对称轴为直线x＝﹣1是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．比较大小：﹣ ＜ ﹣3．
【分析】先把﹣3变为9算术平方根的相反数，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
【解答】解：∵﹣3＝﹣，
∴﹣＜﹣3．
故填空答案：＜．
【点评】此题主要考查了实数的大小比较．注意两个无理数的比较方法：统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．
10．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD＝ 54 °．
【分析】根据正五边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵多边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝×（180°﹣72°）＝54°，
故答案为：54．
【点评】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形内角的度数．
11．若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 m≥0且m≠1 ．
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可确定出m的范围．
【解答】解：∵方程（m﹣1）x2+x＝1是关于x的一元二次方程，
∴m﹣1≠0，且m≥0，即m≥0且m≠1，
故答案为：m≥0且m≠1
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
12．在同一平面直角坐标系中，直线y＝kx与双曲线y＝相交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点，则3x1y2﹣x2y1的值为 ﹣6 ．
【分析】由题意可得P（x1，y1），Q（x2，y2）两点关于原点对称，则x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，将P（x1，y1）代入y＝，得x1y1＝3，则3x1y2﹣x2y1＝﹣3x1y1+x1y1＝﹣2x1y1，即可得出答案．
【解答】解：∵直线y＝kx与双曲线y＝相交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，
∴P（x1，y1），Q（x2，y2）两点关于原点对称，
∴x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，
将P（x1，y1）代入y＝，
得x1y1＝3，
∴3x1y2﹣x2y1＝﹣3x1y1+x1y1＝﹣2x1y1＝﹣2×3＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．
13．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，E、M、N分别是边AD、AB、BC上的动点，且NM＝2，MO＝NO，则CE+EO的最小值是 3﹣1 ．
【分析】延长CD到C′，使C′D＝CD，CE+EO＝C′E+EO，当C′，E，O三点共线时，C'E+EO的值最小，根据题意，点O的轨迹是以B为圆心，1为半径的圆弧上，圆外一点C′到圆上一点O距离的最小值C′O＝C′B﹣1，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：延长CD到C′，使C′D＝CD，
CE+EO＝C′E+EO，
当C′，E，O三点共线时，C'E+EO的值最小，
根据题意，点O的轨迹是以B为圆心，1为半径的圆弧上，
圆外一点C′到圆上一点O距离的最小值C′O＝C′B﹣1，
∵BC＝CD＝3，
∴CC′＝6，
∴C′B＝＝3，
∴CE+EO的最小值是3﹣1，
故答案为：3﹣1．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的找到P点的位置是解题的关键．
三、解答题（本大题共13个小题，共81分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（5分）计算：（﹣）0﹣×﹣|tan60°﹣2|．
【分析】先算零指数幂，二次根式的乘法，特殊角的三角函数值，再去绝对值符号，再算加减即可．
【解答】解：（﹣）0﹣×﹣|tan60°﹣2|
＝1﹣4﹣||
＝1﹣4﹣（2﹣）
＝1﹣4﹣2+
＝﹣1﹣3．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15．（5分）解不等式组．
【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．
【解答】解：，
由①得：x≥﹣2，
由②得：x＜2，
所以这个不等式组的解集为﹣2≤x＜2．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确计算出两个不等式组的解集．
16．（5分）化简：（1﹣）÷．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝•
＝a（a﹣1）
＝a2﹣a．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（5分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，请用尺规作图在AC上作一点E，使得∠CBE＝36°（保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】作∠ABC的角平分线即可得到结论．
【解答】解：如图所示，点E即为所求．
【点评】本题主要考查了作图﹣复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
18．（5分）如图，BD是△ABC的中线，E是BD的中点，过点B作AC的平行线BF，交CE的延长线于点F，连接AF．求证：AF∥BD．
【分析】证明△ECD≌△EFB，根据全等三角形的性质得到CD＝BF，证明四边形AFBD为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论．
【解答】证明：∵AC∥BF，
∴∠ECD＝∠EFB，
在△ECD和△EFB中，
，
∴△ECD≌△EFB（AAS），
∴CD＝BF，
∵CD＝AD，
∴BF＝AD，
∵AD∥BF，
∴四边形AFBD为平行四边形，
∴AF∥BD．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
19．（5分）某商品进价120元，现按标价六折出售，仍可获利10%，则该商品标价为多少元？
【分析】根据售价﹣进价＝利润，可以列出相应的方程，然后求解即可．
【解答】解：设该商品标价为x元，
由题意可得：0.6x﹣120＝120×10%，
解得x＝220，
答：该商品标价为220元．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
20．（5分）五一期间，贝贝和冬冬决定到附近游玩，她们想去陕西科学技术馆（A）、陕西历史博物馆（B）或秦岭四宝科学馆（C）中的﹣个场馆游玩，假设每个场馆被选中的可能性相等．
（1）冬冬选择去陕西科学技术馆（A）游玩的概率为 ．
（2）用树状图或列表的方法求贝贝和冬冬选择去不同场馆游玩的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）冬冬选择去陕西科学技术馆（A）游玩的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，贝贝和冬冬选择去同一个馆游玩的情况有3种结果，
∴贝贝和冬冬选择去同一个馆游玩的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（6分）如图，一个四边形材料ABCD的一段CD卡在模具中无法测量，AB∥CD，AB与CD之间的距离为120cm，∠A＝40°，∠ABC＝127°，AB＝80cm，求CD的长度．（参考数据：tan40°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
【分析】过点C作CM⊥AB，交AB延长线于点M，过点A作AN⊥CD，交CD的延长线于点N，先证四边形AMCN是矩形，再利用解直角三角形得出BM，DN的长，最后得出结果．
【解答】解：过点C作CM⊥AB，交AB延长线于点M，过点A作AN⊥CD，交CD的延长线于点N，则∠M＝∠N＝90°，如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠M+∠MCN＝90°，
∠MAN+∠N＝90，
∴∠MCN＝90°，∠MAN＝90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∴AM＝CN，CM＝AN，
∵AB与CD之间的距离为120cm，
∴CM＝AN＝120cm，
∵∠ABC＝127°，
∴∠MBC＝53°，
∴BM＝cm，
∵AB＝80cm，
∴AM＝AB+BM＝80+90＝170（cm），
∴CN＝170cm，
∵∠BAD＝40°，
∴∠ADN＝40°，
∴DN＝＝＝144（cm），
设CD＝xcm，
则x＝CN﹣DN＝170﹣144＝26（cm），
故CD的长度为：26cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行线间的距离，矩形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
22．（7分）某校为落实“双减”政策，进一步促进校园文化建设和学生全面发展，学校开展了适合学生素质发展的课后服务内容，该内容分为4个类别，分别为乐类（A），美术类（B），科技类（C），体育类（D），现抽取了部分学生对该服务内容的喜欢程度，并根据调查结果绘制了如图所示两幅不完整的统计图：
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的学生一共有 200 人，扇形统计图中，A对应的扇形圆心角的度数是 108° ．
（2）请补全上面的条形统计图和扇形统计图．
（3）若该校共有学生2600人，请估计其中喜欢“科技类”的学生人数．
【分析】（1）利用B类人数除以所占百分比可得抽取总人数，用360°乘以A类所占的百分比，计算即可得解；
（2）根据总数计算出C类的人数，然后再补图即可；
（3）利用样本估计总体的方法计算即可．
【解答】解：（1）抽取的学生总数：20÷10%＝200（人），
扇形统计图中A类所在的扇形的圆形角度数是360°×＝108°；
故答案为：200；108°；
（2）C类学生人数：200﹣60﹣20﹣80＝40（人），
扇形统计图中，A所占百分比为：＝30%，C所占百分比为：，
补全统计图如下：
（3）2600×＝520（人），
答：该校喜欢“科技类”的学生大约有520人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．（7分）“人人冬奥，全民冰雪”，寒假赵凯一家乘车去离家80千米的太白山滑雪场体验滑雪运动，出发后，前1.5小时匀速行驶了30千米，之后又匀速行驶了1小时到达目的地，他们在滑雪场玩了4小时后乘车回家他们离家的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）求AB的函数表达式．
（2）赵凯一家经过多长时间离家的距离为40千米？
【分析】（1）根据待定系数法，可得一次函数解析式，
（2）先求出CD段对应的解析式，再分去滑雪场和从滑雪场回家两种情况，求出离家的距离为40千米时的时间．
【解答】解：（1）设AB段对应的解析式为y＝kx+b，把A（1.5，30），B（2.5，80）代入，得，
，
解得：，
∴AB段对应的解析式为y＝50x﹣45．
（2）由题意知，C（6.5，80），D（8.5，0），
设CD段对应的解析式为y＝mx+n，把C（6.5，80），D（8.5，0）代入，得，
，
解得：，
∴CD段对应的解析式为y＝﹣40x+340．
把y＝40代入y＝50x﹣45，得40＝50x﹣45，
解得，x＝1.7，
把y＝40代入y＝﹣40x+340，得40＝﹣40x+340，
解得，x＝7.5．
答：赵凯一家经过1.7或7.5小时，离家的距离为40千米．
【点评】本题考查了一次函数的应用及一次函数解析式的确定，解题的关键是通过仔细观察图象，从中整理出解题时所需的相关信息，本题较简单．
24．（8分）如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交AB于D，CE平分∠BCD交AB于E，若AC＝AE．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若BC＝5，BE＝1，求DE的长．
【分析】（1）由AC为直径可得∠ADC＝90°，即∠EDC＝90°，从而可得∠DEC+∠DCE＝90°，由CE平分∠BCD可得∠DCE＝∠BCE，从而可得∠DEC+∠BCE＝90°，由AC＝AE可得∠AEC＝∠ACE，从而可得∠ACE+∠BCE＝90°，即∠ACB＝90°，即可证明；
（2）设AE＝AC＝x，则AB＝x+1，由（1）可知△ACB为直角三角形，由勾股定理可得x＝12，即AC＝12，AB＝13，再设DE＝y，则BD＝y+1，AD＝12﹣y，在Rt△ACD和Rt△BCD中，由勾股定理可得CD2＝AC2﹣AD2，CD2＝BC2﹣BD2，即AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，即可解得y＝，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝90°，
∴∠DEC+∠DCE＝90°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠DEC+∠BCE＝90°，
∵AC＝AE，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴∠ACE+∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：设AE＝AC＝x，则AB＝x+1，
由（1）可知△ACB为直角三角形，由勾股定理可得：
AB2＝BC2﹣AC2，
即（x+1）2＝52+x2，
解得：x＝12，
∴AC＝12，AB＝13，
再设DE＝y，则BD＝y+1，AD＝12﹣y，
在Rt△ACD和Rt△BCD中，由勾股定理可得：
CD2＝AC2﹣AD2，CD2＝BC2﹣BD2，
即AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，
即122﹣（12﹣y）2＝52﹣（y+1）2，
解得：y＝，
∴DE＝．
【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，角平分线的性质，切线的性质等知识点，解题的关键是理清题意，利用角度转化的关系进行证明．
25．（8分）如图，一次函数y＝﹣x﹣4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A、C，与x轴另一交点为B，其对称轴交x轴于D．
（1）求二次函数的表达式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得∠ANB＝45°．若存在，求出N点坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）在y＝﹣x﹣4中，可得A（﹣4，0），C（0，﹣4），由待定系数法即得二次函数的表达式为y＝x2+x﹣4；
（2）分两种情况：当N在x轴上方时，设抛物线对称轴交AB于D，在抛物线对称轴上取点K，使DK＝AD，以K为圆心，AK的长为半径作⊙K交抛物线对称轴于N，由y＝x2+x﹣4得抛物线对称轴为直线x＝﹣1，A（﹣4，0），B（2，0），可得DK＝BD＝3＝AD，从而△ADK、△BDK是等腰直角三角形，故有∠AKB＝90°，而N在⊙K上，∠ANB＝∠AKB＝45°，即知此时N是满足题意的点，由AK＝3＝NK，可得N（﹣1，3+3），当N在x轴下方时，同理可得N'（﹣1，﹣3﹣3）．
【解答】解：（1）在y＝﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，令y＝0得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），C（0，﹣4），
把A（﹣4，0），C（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2+x﹣4；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点N，使得∠ANB＝45°，理由如下：
当N在x轴上方时，设抛物线对称轴交AB于D，在抛物线对称轴上取点K，使DK＝AD，以K为圆心，AK的长为半径作⊙K交抛物线对称轴于N，如图：
由y＝x2+x﹣4得抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
在y＝x2+x﹣4中，令y＝0得x2+x﹣4＝0，
解得x＝2或x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（2，0），
∴AB＝2﹣（﹣4）＝6，
∴AD＝BD＝AB＝3，D（﹣1，0），
∵DK＝AD，
∴DK＝BD＝3＝AD，
∴△ADK、△BDK是等腰直角三角形，K（﹣1，3），
∴∠DAK＝45°＝∠DBK，
∴∠AKB＝90°，
∵N在⊙K上，
∴∠ANB＝∠AKB＝45°，即此时N是满足题意的点，
∵K（﹣1，3），A（﹣4，0），
∴AK＝＝3＝NK，
∴DN＝DK+NK＝3+3，
∴N（﹣1，3+3），
当N在x轴下方时，如图：
由对称性可知DK'＝AD＝BD＝3，K'N'＝AK'＝3，
∴N'（﹣1，﹣3﹣3），
综上所述，N的坐标为（﹣1，3+3）或（﹣1，﹣3﹣3）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理的应用及圆的性质、应用等知识，解题的关键是能作出辅助圆，找到N的位置．
26．（10分）问题提出：
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，P是对角线AC上的一点，连接PD，将PD绕点P逆时针旋转90°得到PM，过点M作MN⊥AC于N，求PN的长．
问题解决：
（2）2022年3月我省局部发生疫情，为落实“科学防治、精准施策、分级管理”，我省某小区设计防疫区域，在道路CD边固定柱子（点Q），道路AB边确定一点P，以PQ为边，搭建正方形防疫区域PMNQ，内部道路CD上设点E作为记录处，△EPQ、△EPM、△EMN、△ENQ分别为不同的防疫物资放置区域，设计图简化如图2所示，已知道路两边AB∥CD，道路宽为6m，Q为CD上一定点，P为AB上一动点，PE⊥CD于E．请问是否存在符合设计要求且面积最小的△EMN？若存在，请求出面积最小值及此时QE的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图1，过点D作DF⊥AC于点F，证明△PMN≌△DPF（AAS），推出PN＝DF＝；
（2）如图2中，过点N作NH⊥CD于点H，过点M作MG⊥AB于点G．证明△PEQ≌△PGM（AAS），推出QE＝GM，PG＝PE＝6，S四边形QOME＝S四边形EPGM＝（GM+PE）•PG，设QE＝a，推出S四边形QPME＝（a+6）×6＝3a+18，证明△QPE≌△NQH（AAS），推出NH＝QE＝a，S△NQE＝•QE•NH＝a2，S四边形PQMN＝PQ2＝a2+36，推出S△EMN＝S四边形PQMN﹣S四边形PMEQ﹣S△QEN＝a2＝36﹣3a﹣18﹣a2＝（a﹣3）2+，可得结论．
【解答】解：（1）如图1，过点D作DF⊥AC于点F，
则∠DFP＝90°，
∴∠PDF+∠DPF＝90°，
∵MN⊥AC，
∴∠PNM＝90°，
∴∠PNM＝∠DFP，
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝4，
∴AC＝＝＝5，
∵S△ACD＝AC•DF＝AD•CD，
∴DF＝＝＝，
∵PD绕点P逆时针旋转90°得到PM，
∴PM＝PD，∠MPN+∠DPF＝90°，
∴∠MPN＝∠PDF，
在△PMN和△DPF中，
，
∴△PMN≌△DPF（AAS），
∴PN＝DF＝，
故PN的长为；
（2）如图2中，过点N作NH⊥CD于点H，过点M作MG⊥AB于点G．
∵四边形PMNQ是正方形，
∴∠QPM＝∠EPG＝90°，QP＝MP＝QP＝QN，
∴∠PGM＝∠PEQ＝90°，
∴△PEQ≌△PGM（AAS），
∴QE＝GM，PG＝PE＝6，S四边形QOME＝S四边形EPGM＝（GM+PE）•PG，
设QE＝a，
∴S四边形QPME＝（a+6）×6＝3a+18，
∵NH⊥CD，∠PQN＝90°，
∴∠QHN＝∠PEQ＝90°，
∴∠QPE＝∠NQH，
∵QP＝QN，
∴△QPE≌△NQH（AAS），
∴NH＝QE＝a，
∴S△NQE＝•QE•NH＝a2，
∵PQ＝＝，
∴S四边形PQMN＝PQ2＝a2+36，
∴S△EMN＝S四边形PQMN﹣S四边形PMEQ﹣S△QEN＝a2＝36﹣3a﹣18﹣a2＝（a﹣3）2+，
∵＞0，
∴a＝3时，△EMN的面积最小，最小值为．
∴△EMN的面积的最小值为，此时QE＝3．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建二次函数解决最值问题．
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