2022年陕西省西安市曲江第二中学中考数学二模试卷(word版含答案)

这是一份2022年陕西省西安市曲江第二中学中考数学二模试卷(word版含答案)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年陕西省西安市曲江二中中考数学二模试卷
一、选择题（共8小题，共计24分）
1．（3分）计算：(−12)×2等于（　　）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
2．（3分）下列图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）2021年9月15日消息，钟南山等团队首次精确描绘德尔塔病毒传播链，该研究揭示了德尔塔变异毒株具有潜伏期短、传播速度快、病毒载量高、核酸转阴时间长、更易发展为危重症等特点．德尔塔病毒的直径约为0.00000008m，数字0.00000008用科学记数法表示为（　　）
A．8×10﹣8 B．0.8×10﹣8 C．0.8×10﹣7 D．8×10﹣7
4．（3分）如图，直线DE过点A，且DE∥BC．若∠B＝60°，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
5．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED为（　　）

A．15° B．35° C．45° D．55°
6．（3分）若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解集为（　　）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞1
7．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且AD＝BE＝CF，若DE⊥BC，则△DEF与△ABC的面积比为（　　）

A．12 B．22 C．13 D．33
8．（3分）已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（　　）
A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣2
二、填空题（共5小题，共计15分）
9．（3分）分解因式：3x3﹣12x2y+12xy2＝　 　．
10．（3分）若一个多边形的每个外角均为40°，则这个多边形的边数为 　 　．
11．（3分）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”当中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则m的值为 　 　．

12．（3分）已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=1x的图象上，且点A的横坐标是2，则矩形ABCD的面积为　 　．
13．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E，F分别在CD，BC上移动，CF＝DE，AE和DF交于点P，则线段CP的最小值是　 　．

三、解答题（共13小融，共计81分）
14．（5分）计算：|1−3|﹣（﹣1）﹣1﹣2cos30°．
15．（5分）解不等式组求它的整数解：x−2＞02(x+1)≥3x−1．
16．（5分）先化简，再求值：（xx−1−x−1x）÷2x−1x2+x，其中x＝3．
17．（5分）如图，在△ABC中，试用尺规作图法作出△ABC的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）．

18．（5分）如图，四边形ABCD中，AB＝DC，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE＝CF．连接BE，DF，若BE＝DF．证明：四边形ABCD是平行四边形．

19．（5分）某商店将每台彩电先按进价提高40%标价，然后在广告中宣传以8；赚了300元，则每台彩电的进价是多少元？
20．（5分）为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛．
（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是　 　；
（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．
21．（6分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．

22．（7分）某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位为小时），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如图统计图．

请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的初中学生人数为　 　人，扇形统计图中的m＝　 　，条形统计图中的n＝　 　；
（2）所调查的初中学生每天睡眠时间的众数是　 　，方差是　 　；
（3）该校共有1600名初中学生，根据样本数据，估计该校初中学生每天睡眠时间不足8小时的人数．
23．（7分）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若某用户二、三月份共用水40m3（二月份用水量不超过25m3），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m3？

24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝3，CD=33，求弦AD的长．

25．（8分）如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；
（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（10分）对于一个四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形．如图①中，∠B＝∠D，AB＝AD；如图②中，∠A＝∠C，AB＝AD则这样的四边形均为奇特四边形．
（1）在图①中，若AB＝AD＝4，∠A＝60°，∠C＝120°，请求出四边形ABCD的面积；
（2）在图②中，若AB＝AD＝4，∠A＝∠C＝45°，请直接写出四边形ABCD面积的最大值；
（3）如图③，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，F是AD延长线上一点，且BE＝DF，连接EF，取EF的中点G，连接CG并延长交AD于点H．若EB+BC＝m，问四边形BCGE的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值（用含m的代数式表示）；如果不是，请说明理由．


参考答案与解析
一、选择题（共8小题，共计24分）
1．（3分）计算：(−12)×2等于（　　）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
【分析】根据两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘这一法则计算．
【解答】解：原式＝﹣1；
故选：D．
2．（3分）下列图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．（3分）2021年9月15日消息，钟南山等团队首次精确描绘德尔塔病毒传播链，该研究揭示了德尔塔变异毒株具有潜伏期短、传播速度快、病毒载量高、核酸转阴时间长、更易发展为危重症等特点．德尔塔病毒的直径约为0.00000008m，数字0.00000008用科学记数法表示为（　　）
A．8×10﹣8 B．0.8×10﹣8 C．0.8×10﹣7 D．8×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000008＝8×10﹣8．
故选：A．
4．（3分）如图，直线DE过点A，且DE∥BC．若∠B＝60°，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】先根据平行线的性质，得出∠DAB的度数，再根据平角的定义，即可得出∠2的度数．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠2＝180°﹣∠DAB﹣∠1＝180°﹣60°﹣50°＝70°．
故选：C．
5．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED为（　　）

A．15° B．35° C．45° D．55°
【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°求出AD＝AE，∠DAE的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出∠AED，然后根据∠BED＝∠AEB﹣∠AED列式计算即可得解．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
在等边△ABE中，AB＝AE，∠BAE＝∠AEB＝60°，
在△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝∠BAD+∠BAE＝90°+60°＝150°，
所以，∠AED=12（180°﹣150°）＝15°，
所以∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°．
故选：C．
6．（3分）若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解集为（　　）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞1
【分析】直接利用已知点画出函数图象，利用图象得出答案．
【解答】解：如图所示：不等式kx+b＞1的解为：x＞1．
故选：D．

7．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且AD＝BE＝CF，若DE⊥BC，则△DEF与△ABC的面积比为（　　）

A．12 B．22 C．13 D．33
【分析】解直角三角形求得BD=233DE，AD＝BE=33DE，即可求得DEAB=33，由△ABC为等边三角形，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，且AD＝BE＝CF，可证得∠A＝∠B＝∠C＝60°，BD＝CE＝AF，则可利用SAS判定△ADF≌△BED≌△CFE，即可证得△DEF是等边三角形，继而可得△DEF与△ABC相似，根据相似三角形的性质即可求得．
【解答】解：∵DE⊥BC，∠B＝60°，
∴sin60°=DEBD=32，BEDE=33，
∴BD=233DE，AD＝BE=33DE，
∴AB＝BD+AD=3DE，
∴DEAB=33，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，
∵AD＝BE＝CF，
∴BD＝CE＝AF，
在△ADF和△BED和△CFE中，
AD=BE=CF∠A=∠B=∠CAF=BD=CE，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DE＝EF＝DF，
∴△DEF是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴△DEF∽△ABC，
∴S△DEFSABC=（DEAB）2=13，
故选：C．

8．（3分）已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（　　）
A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣2
【分析】根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，然后将（0，0）代入，求得k的值．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，
∴x=−k2＞0，
∴k＜0．
∵抛物线y＝x2+kx﹣k2＝（x+k2）²−5k24．
∴将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：y＝（x+k2−3）²−5k24+1，
∴将（0，0）代入，得0＝（0+k2−3）²−5k24+1，
解得k1＝2（舍去），k2＝﹣5．
故选：B．
二、填空题（共5小题，共计15分）
9．（3分）分解因式：3x3﹣12x2y+12xy2＝　3x（x﹣2y）2　．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：3x3﹣12x2y+12xy2
＝3x（x2﹣4xy+4y2）
＝3x（x﹣2y）2，
故答案为：3x（x﹣2y）2．
10．（3分）若一个多边形的每个外角均为40°，则这个多边形的边数为 　9　．
【分析】一个多边形的外角和为360°，而每个外角为40°，进而求出外角的个数，即为多边形的边数．
【解答】解：360°÷40°＝9，
故答案为：9．
11．（3分）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”当中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则m的值为 　8　．

【分析】根据每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，得出7后面的数字为6，然后再求出中间的数为5，即可求出a的值．
【解答】解：∵每一横行数字之和是15，
∴第一行7后面的数字为15﹣2﹣7＝6，
∵每条对角线上的数字之和是15，
∴中间的数字为15﹣6﹣4＝5，
∴2+5+m＝15，
解得m＝8，
故答案为：8．
12．（3分）已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=1x的图象上，且点A的横坐标是2，则矩形ABCD的面积为　152　．
【分析】先根据点A在反比例函数y=1x的图象上，且点A的横坐标是2，可得A（2，12），再根据B（12，2），D（−12，﹣2），运用两点间距离公式求得AB和AD的长，即可得到矩形ABCD的面积．也可以根据A，B的坐标求得△AOB的面积，进而得到矩形的面积．
【解答】解法1：如图所示，根据点A在反比例函数y=1x的图象上，且点A的横坐标是2，可得A（2，12），

根据矩形和双曲线的对称性可得，B（12，2），D（−12，﹣2），
由两点间距离公式可得，AB=(2−12)2+(12−2)2=322，AD=(2+12)2+(12+2)2=522，
∴矩形ABCD的面积＝AB×AD=322×522=152；

解法2：如图所示，过B作BE⊥x轴，过A作AF⊥x轴，

根据点A在反比例函数y=1x的图象上，且点A的横坐标是2，可得A（2，12），
根据矩形和双曲线的对称性可得，B（12，2），
∵S△BOE＝S△AOF=12，
又∵S△AOB+S△AOF＝S△BOE+S梯形ABEF，
∴S△AOB＝S梯形ABEF=12（12+2）×（2−12）=158，
∴矩形ABCD的面积＝4×158=152，
故答案为：152．
13．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E，F分别在CD，BC上移动，CF＝DE，AE和DF交于点P，则线段CP的最小值是　25−2　．

【分析】由“SAS”可证△ADE≌△DCF，可得AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，可证AE⊥DF，可得点P的路径是一段以AD为直径的弧，则当点P在QC上时，CP有最小值，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°．
在△ADE和△DCF中，
AD=DC∠ADC=∠CDE=CF，
∴△ADE≌△DCF（SAS）．
∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF＝90°，
∴∠DAE+∠ADF＝90°．
∴AE⊥DF，
∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，
如图，

设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△QDC中，QC=QD2+CD2=4+16=25，
∴CP＝QC﹣QP＝25−2，
故答案为25−2．
三、解答题（共13小融，共计81分）
14．（5分）计算：|1−3|﹣（﹣1）﹣1﹣2cos30°．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：|1−3|﹣（﹣1）﹣1﹣2cos30°
=3−1﹣（﹣1）﹣2×32
=3−1+1−3
＝0．
15．（5分）解不等式组求它的整数解：x−2＞02(x+1)≥3x−1．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣2＞0，得：x＞2，
解不等式2（x+1）≥3x﹣1，得：x≤3，
则不等式组的解集为2＜x≤3，
所以不等式组的整数解为3．
16．（5分）先化简，再求值：（xx−1−x−1x）÷2x−1x2+x，其中x＝3．
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（xx−1−x−1x）÷2x−1x2+x
=x2−(x−1)2x(x−1)•x(x+1)2x−1
=2x−1x(x−1)•x(x+1)2x−1
=x+1x−1，
当x＝3时，原式=3+13−1=2．
17．（5分）如图，在△ABC中，试用尺规作图法作出△ABC的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）．

【分析】由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，可作△ABC的任意两边的垂直平分线，它们的交点即为△ABC的外接圆的圆心（设圆心为O）；以O为圆心、OB长为半径作圆，即可得出△ABC的外接圆．
【解答】解：如图所示：

18．（5分）如图，四边形ABCD中，AB＝DC，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE＝CF．连接BE，DF，若BE＝DF．证明：四边形ABCD是平行四边形．

【分析】先根据SSS证出△BEA≌△DFC，从而得到∠EAB＝∠FCD，根据等角的补角相等可得∠BAC＝∠DCA，从而得到AB∥DC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求证四边形ABCD是平行四边形．
【解答】证明：在△BEA和△DFC中，
AB=DCAE=CFBE=DF
∴△BEA≌△DFC（SSS），
∴∠EAB＝∠FCD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥DC，
∵AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
19．（5分）某商店将每台彩电先按进价提高40%标价，然后在广告中宣传以8；赚了300元，则每台彩电的进价是多少元？
【分析】可设每台彩电的进价为x元，根据利润＝售价﹣进价，列出相应的方程求解即可．
【解答】解：设每台彩电的进价为x元，依题意得：
0.8×（1+40%）x﹣x＝300，
解得：x＝2500，
答：每台彩电的进价是2500元．
20．（5分）为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛．
（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是　13　；
（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．
【分析】（1）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有1种，即可求得答案；
（2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：（1）∵已确定甲参加比赛，再从其余3名同学中随机选取1名有3种结果，其中恰好选中乙的只有1种，
∴恰好选中乙的概率为：13．
故答案为：13．
（2）画树状图如下图：

共有12种等可能的结果数，其中恰好有1名女生和1名男生的结果数为8，
∴P（1女1男）=812=23．
∴所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是23．
21．（6分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．

【分析】如图，作AD⊥BC于D．由题意得到BC＝1.5×40＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，根据三角形的外角的性质得到∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，求得∠ABC＝∠BAC，得到BC＝AC＝60米．在Rt△ACD中，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于D．
由题意可知：BC＝1.5×40＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠BAC，
∴BC＝AC＝60米．
在Rt△ACD中，AD＝AC•sin60°＝60×32=303（米）．
答：这条河的宽度为303米．

22．（7分）某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位为小时），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如图统计图．

请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的初中学生人数为　40　人，扇形统计图中的m＝　25　，条形统计图中的n＝　15　；
（2）所调查的初中学生每天睡眠时间的众数是　7h　，方差是　1.15　；
（3）该校共有1600名初中学生，根据样本数据，估计该校初中学生每天睡眠时间不足8小时的人数．
【分析】（1）根据5h的人数和所占的百分比，可以求得本次接受调查的初中学生人数，然后即可计算出m和n的值；
（2）根据统计图中的数据，可以得到众数，计算出方差；
（3）根据题目中的数据，可以计算出该校初中学生每天睡眠时间不足8小时的人数．
【解答】解：（1）本次接受调查的初中学生有：4÷10%＝40（人），
m%＝10÷40×100%＝25%，
n＝40×37.5%＝15，
故答案为：40，25，15；
（2）由条形统计图可得，
众数是7h，
x=140×（5×4+6×8+7×15+8×10+9×3）＝7，
s2=140[（5﹣7）2×4+（6﹣7）2×8+（7﹣7）2×15+（8﹣7）2×10+（9﹣7）2×3]＝1.15，
故答案为：7h，1.15；
（3）1600×4+8+1540=1080（人），
即该校初中学生每天睡眠时间不足8小时的有1080人．
23．（7分）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若某用户二、三月份共用水40m3（二月份用水量不超过25m3），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m3？

【分析】（1）根据函数图象可以分别设出各段的函数解析式，然后根据函数图象中的数据求出相应的函数解析式；
（2）根据题意对x进行取值进行讨论，从而可以求得该用户二、三月份的用水量各是多少m3．
【解答】解：（1）当0≤x≤15时，设y与x的函数关系式为y＝kx，
15k＝27，得k＝1.8，
即当0≤x≤15时，y与x的函数关系式为y＝1.8x，
当x＞15时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，
15a+b=2720a+b=39，得a=2.4b=−9，
即当x＞15时，y与x的函数关系式为y＝2.4x﹣9，
由上可得，y与x的函数关系式为y=1.8x(0≤x≤15)2.4x−9(x＞15)；

（2）设二月份的用水量是xm3，
当15＜x≤25时，2.4x﹣9+2.4（40﹣x）﹣9＝78≠79.8，
故此种情况不符合题意，
当0＜x≤15时，令1.8x+2.4（40﹣x）﹣9＝79.8，
解得，x＝12，
∴40﹣x＝28，
答：该用户二、三月份的用水量各是12m3、28m3．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝3，CD=33，求弦AD的长．

【分析】（1）连接OD，如图，由AD平分∠EAC得到∠1＝∠3，加上∠1＝∠2，则∠3＝∠2，于是可判断OD∥AE，根据平行线的性质得OD⊥CE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵AD平分∠EAC，
∴∠1＝∠3，
∵OA＝OD，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠2，
∴OD∥AE，
∵AE⊥DC，
∴OD⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；

（2）解：连接BD．
∵∠CDO＝∠ADB＝90°，
∴∠2＝∠CDB＝∠1，
∵∠C＝∠C，
∴△CDB∽△CAD，
∴CDCA=CBCD=BDAD，
∴CD2＝CB•CA，
∴（33）2＝3CA，
∴CA＝9，
∴AB＝CA﹣BC＝6，BDAD=CDCA=339=33，
则AD=3BD，
在Rt△ADB中，AD2+BD2＝AB2，
∴3BD2+BD2＝36，
解得：BD＝3，AD＝33．

25．（8分）如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；
（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，可得A（﹣4，0），B（2，0），令x＝0，得y＝﹣8，可得C（0，﹣8）；
（2）利用待定系数法求得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，根据题意得E（m，m2+2m﹣8），D（m，﹣2m﹣8），即可得出DE＝﹣m2﹣4m，利用△ACO∽△DOF，建立方程求解即可；
（3）分三种情况：CM对角线或CN为对角线或CP为对角线，①当CP为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CN，可得出N（﹣1，﹣6），根据CM＝PN＝CN=5，即可求出答案；②当CN为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CP，设CM＝a，则M（0，﹣8+a），P（﹣1，﹣6﹣a），建立方程求解即可；③当CM对角线时，PN与CM互相垂直平分，设P（﹣1，b），则N（1，b），M（0，2b+8），根据N（1，b）在直线y＝﹣2x﹣8上，即可求得答案．
【解答】解：（1）在y＝x2+2x﹣8中，令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝2，
∴A（﹣4，0），B（2，0），
令x＝0，得y＝﹣8，
∴C（0，﹣8）；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣4，0），C（0，﹣8），
∴−4k+b=0b=−8，
解得：k=−2b=−8，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，
∵直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，
∴E（m，m2+2m﹣8），D（m，﹣2m﹣8），
∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m，
设DE交x轴于点F，则F（m，0），
∴OF＝﹣m，
∴AF＝m﹣（﹣4）＝m+4，DF＝2m+8，
∵OD⊥AC，EF⊥OA，
∴∠ODA＝∠OFD＝∠DFA＝∠AOC＝90°，
∴∠DOF+∠COD＝∠OCD+∠COD＝90°，
∴∠DOF＝∠OCD，
∴△ACO∽△DOF，
∴OAOC=DFOF，
∴OC•DF＝OA•OF，
∴8（2m+8）＝4（﹣m），
解得：m=−165，
∴DE＝﹣m2﹣4m＝﹣（−165）2﹣4×（−165）=6425；
（3）存在，
如图2，∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，
抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∵以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，
∴分三种情况：CM对角线或CN为对角线或CP为对角线，
①当CP为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CN，
∴N点为直线AC与抛物线对称轴的交点，即N（﹣1，﹣6），
CN=(−1−0)2+(−6+8)2=5，
∴CM＝PN=5，
∴M1（0，﹣8+5），M2（0，﹣8−5）；
②当CN为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CP，
设CM＝a，则M（0，﹣8+a），P（﹣1，﹣6﹣a），
∴（﹣1﹣0）2+（﹣6﹣a+8）2＝a2，
解得：a=54，
∴M3（0，−274），
③当CM对角线时，PN与CM互相垂直平分，设P（﹣1，b），则N（1，b），M（0，2b+8），
∵N（1，b）在直线y＝﹣2x﹣8上，
∴b＝﹣2×1﹣8＝﹣10，
∴M4（0，﹣12），
综上所述，点M的坐标为：M1（0，﹣8+5），M2（0，﹣8−5），M3（0，−274），M4（0，﹣12）．


26．（10分）对于一个四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形．如图①中，∠B＝∠D，AB＝AD；如图②中，∠A＝∠C，AB＝AD则这样的四边形均为奇特四边形．
（1）在图①中，若AB＝AD＝4，∠A＝60°，∠C＝120°，请求出四边形ABCD的面积；
（2）在图②中，若AB＝AD＝4，∠A＝∠C＝45°，请直接写出四边形ABCD面积的最大值；
（3）如图③，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，F是AD延长线上一点，且BE＝DF，连接EF，取EF的中点G，连接CG并延长交AD于点H．若EB+BC＝m，问四边形BCGE的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值（用含m的代数式表示）；如果不是，请说明理由．

【分析】（1）如图①中，设AC与BD交于点O．首先证明△ABD是等边三角形，AC⊥BD，根据S四边形ABCD=12•BD•OA+12•BD≈OC=12•BD•（OA+OC），求出AO，OC即可解决问题．
（2）如图②中，作DH⊥AB于H．因为∠C′＝∠C＝45°，所以当C′B＝C′D时，△BDC′的面积最大，此时四边形ABC′D的面积最大，易证四边形ABC′D是菱形，在Rt△AHD中，由∠A＝45°，∠AHD＝90°，AD＝4，推出AH＝HD＝22，所以四边形ABC′D的面积＝AB•DH＝82．
（3）四边形BCGE的面积是定值如图③中，连接EC、CF，作FM⊥BC于M．由△BCE△DCF，推出CE＝CF，由EG＝GF，推出S△ECG＝S△FCG，由四边形DCMF是矩形，推出BC＝DC＝MF，DF＝BE＝CM，推出BM＝m，BE+FM＝m，推出△FCM，△DCF，△BCE的面积相等，推出四边形BCGE的面积=12•梯形BEFM的面积，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）如图①中，设AC与BD交于点O．

∵AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD＝BD＝4，∠ABD＝∠ADB＝60°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵∠BCD＝120°，
∴∠CBD＝∠CDB＝30°，
∴CB＝CD，∵AB＝AD，
∴AC⊥BD，
∴BO＝OD＝2，OA＝AB•sin60°＝23，OC＝OB•tan30°=233，
∴S四边形ABCD=12•BD•OA+12•BD≈OC=12•BD•（OA+OC）=1633．
解法二：∵∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABD＝∠ADC，
∴∠ABD＝∠ADC，
∵AC＝AC，AB＝AD，
∴Rt△ACB≌Rt△ACD，
∴∠CAB＝∠CAD＝30°，
∴BC＝AB•tan30°=433，
∴S四边形ABCD＝2•S△ABC=1633．

（2）如图②中，作DH⊥AB于H．

∵∠C′＝∠C＝45°，
∴点C的运动轨迹是圆（如图所示）
∴当C′B＝C′D时，△BDC′的面积最大，此时四边形ABC′D的面积最大，
易证四边形ABC′D是菱形，
在Rt△AHD中，∵∠A＝45°，∠AHD＝90°，AD＝4，
∴AH＝HD＝22，
∴四边形ABC′D的面积＝AB•DH＝82．
∴四边形ABCD的面积的最大值为82．

（3）四边形BCGE的面积是定值．理由如下，
如图③中，连接EC、CF，作FM⊥BC于M．

在△BCE和△DCF中，
BE=DF∠EBC=∠FDCBC=CD，
∴△BCE≌△DCF，
∴CE＝CF，
∵EG＝GF，
∴S△ECG＝S△FCG，
∵四边形DCMF是矩形，
∴BC＝DC＝MF，DF＝BE＝CM，
∴BM＝m，BE+FM＝m，
∴△FCM，△DCF，△BCE的面积相等，
∴四边形BCGE的面积=12•梯形BEFM的面积=12•12•m•m=14m2．