第11讲 2023高考热点分类提分复习 导数压轴大题归类

第11讲 导数压轴大题归类（1）

目录

【题型一】 求参1：端点值讨论型 2
【题型二】 求参2：“存在”型 5
【题型三】 求参3：“恒成立”型 9
【题型四】 求参4：分离参数之“洛必达法则” 13
【题型五】 同构求参5：绝对值同构求参型 17
【题型六】 同构求参6：x1与x2构造新函数型 20
【题型七】 零点型 24
【题型八】 不确定根型 27
【题型九】 取整讨论型 30
【题型十】 证明不等式1：基础型 34
【题型十一】 证明不等式2：数列不等式之单变量构造型 36
【题型十二】 证明不等式3：数列不等式之无限求和型 40
【题型十三】 证明不等式4：构造单变量函数型 44
【题型十四】 证明不等式5：凑配主元 47


热点题型总结
【题型一】 求参1：端点值讨论型
【典例分析】
设函数f(x)=lnx-p(x-1),pR（1）当p=1时，求函数f（x)的单调区间；（2）设函数g(x)=xf(x)+p(2x-x-1)对任意x1都有g(x)0成立，求p的取值范围。
解：（I）当p =1时，，其定义域为.
所以
由得，
所以的单调增区间为；单调减区间为
（II）由函数,得.
由（I）知，当p =1时，，即不等式成立
① 当时，，
即g(x)在上单调递减，从而满足题意；
② 当时，存在使得，
从而，即g(x)在上单调递增，
从而存在使得不满足题意；
③当时，由知恒成立，此时不满足题意.
综上所述，实数p的取值范围为.



【提分秘籍】
基本规律
1.端点赋值法（函数一般为单增或者单减，此时端点，特别是左端点起着至关重要的作用）
2.为了简化讨论，当端点值是闭区间时候，代入限制参数讨论范围。注意，开区间不一定是充分条件。
有时候端点值能限制讨论范围，可以去除不必要讨论。如练习2




【变式演练】
1.试卷若函数的反函数记为，已知函数．（1）设函数，试判断函数的极值点个数；
（2）当时，，求实数的取值范围．
试题解析：（1），当时，是减函数，也是减函数，
∴在上是减函数，当时，，
当时，，∴在上有且只有一个变号零点，
∴在定义域上有且只有一个极值点．．
（2）令，要使总成立，只需时，，对求导得，令，则，
∴在上为增函数，∴．
①当时，恒成立，∴在上为增函数，∴，即恒成立；
②当时，在上有实根，∵在上为增函数，
∴当时，，∴，不符合题意；
③当时，恒成立，∴在上为减函数，则，不符合题意．
综合①②③可得，所求的实数的取值范围是．
2.设函数．
（1）当时，设，求证：对任意的，；
（2）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
试题解析：（1）当时，，
所以等价于．
令，则，可知函数在上单调递增，
所以，即，亦即
（2） 当时，，．所以不等式等价于．
方法一：令，，
则．
当时，，则函数在上单调递增，所以，
所以根据题意，知有，∴
当时，由，知函数在上单调减；由，知函数在上单调递增．
所以．由条件知，，即．
设，，则，，所以在上单调递减．
又，所以与条件矛盾．综上可知，实数的取值范围为．
方法二：（端点值特殊法）令，，
则在上恒成立，所以，所以．
又，
显然当时，，则函数在上单调递增，所以，所以．
综上可知的取值范围为．




【题型二】 求参2：“存在”型
【典例分析】
设函数，曲线处的切线斜率为0(Ⅰ)求b；(Ⅱ)若存在使得，求a的取值范围。
【解析】，由题设知，解得. …4分
（II）的定义域为，由（1）知，，

（ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增，
所以，存在，使得的充要条件为，即，
解得.
（ii）若，则，故当时，；
当时，，在单调递减，在单调递增.
所以，存在，使得的充要条件为，
而，所以不合题意.
（iii）若，则.
综上，a的取值范围是. ……12分


【提分秘籍】
基本规律
1.当不能分离参数时候，要移项分类讨论。
2.确定是最大值还是最小值。



【变式演练】
1.已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程;
（Ⅱ）在区间内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）当时，，
，又，切线方程为
（Ⅱ）（）
①当，即时，，在为增函数故，，与矛盾；
②当时，，；，，
当时，只需，这与矛盾；
③当时，，在单调递减，
，符合
综上所述，的取值范围为
解法二 由已知， 设（），
，，在上是减函数， …10分
故的取值范围为




2.记表示中的最大值，如.已知函数，.
（1）设，求函数在上零点的个数；
（2）试探究是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
试题解析：解：（1）设，，
令，得，递增；令，得，递减.
∴，∴，即，∴.
设，则由得或.∴在上递增，在上递减，∵，，，∴结合与在上图象可知，这两个函数的图象在上有两个交点，即在上零点的个数为2.
（2）假设存在实数，使得对恒成立，
则对恒成立，即对恒成立，
（i）设，，令，得，递增；令，得，递减.∴.当即时，，∴，∵，∴.故当时，对恒成立.
当即时，在上递减，∴.
∵，∴，
故当时，对恒成立.
（ii）若对恒成立，则，∴.
由（i）及（ii）得.故存在实数，使得对恒成立，且的取值范围为.




【题型三】 求参3：“恒成立”型
【典例分析】
已知函数f(x)=2−alnx+1x+2ax.（1）当a=0时，求函数的极值；
（2）当afx1−fx2成立，求实数t的取值范围.

【解析】(1)当a=0时，函数f(x)=2lnx+1x的定义域为(0,+∞)，且f'(x)=2x−1x2=2x−1x2=0得x=12 ∵函数fx在区间(0,12)上是减函数，在区间(12,+∞)上是增函数∴函数fx有极小值是f(12)=2ln12+2=2−2ln2，无极大值.
(2) ∵ f'(x)=2−ax−1x2+2a=(2x−1)ax+1x2=0得x1=12,x2=−1a， 当a=−2时，有f'(x)≤0，函数在定义域(0,+∞)内单调递减；
当−21+2a−2−aln3−13−6a成立，
即at>23−4a，因为a∈−∞,−2，所以t0⟺b>−22∴b∈−22，+∞
⑵∵et−lnt−4≤fx−2x⟺et−lnt≤x3+bx2+3设ℎt=et−lnt，t∈1，2∵ℎ‘t=e−1t≥0对t∈1，2恒成立
则ℎt在t∈1，2上单调递增∴ℎt≥ℎ1=e则e≤x3+bx2+3对x∈1，2恒成立
∴b≥−x+3−ex2对x∈1，2恒成立设mx=−x+3−ex2，x∈1，2
∵m'x=−1+6−2ex3≤5−2e0时，试讨论函数fx的单调性；
（3）若对任意m∈1,2，存在x∈3,4，使得不等式fx>am−m2+2mln4−1成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）当a=4时，函数fx=x2+8lnx−8x+2ln2+2(x>0)，所以f'x=2x+8x−8=2(x−2)2x≥0,所以函数fx单调递增，故函数fx在区间1,4上的最小值为f1=2ln2−5,最大值为f4=18ln2−14，所以区间1,4上的值域为2ln2−5,18ln2−14
（2）f'(x)=2x+2mx−(m+4)=(x−2)(2x−m)x令f'(x)=0,得x1=2,x2=m2当m>4时，m2>2，由f'(x)>0得x>m2或00，所以函数ℎx在x∈1,2上单调递增，所以当x∈1,2时，ℎx>ℎ1=0,符合题意
若00，
当x>0时，f'(x)>0，f(x)递增，
当x0，f(x)递增；
③当t>1时，lnt>0.当x>lnt时，f'(x)>0，f(x)递增，当00，f(x)递增.综上，当t≤0时，f(x)在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数；
当0(x1−x2)−(x1+x2)⇔f(x1+x2)+(x1+x2) >f(x1−x2)+(x1−x2)恒成立.
设g(x)=f(x)+x，则上式等价于g(x1+x2)>g(x1−x2)，要证明g(x1+x2)>g(x1−x2)对任意x1∈R，x2∈(0,+∞)恒成立，
即证明g(x)=(x−1)ex−32x2+x在R上单调递增，又g'(x)=xex−3x+1，
只需证明xex−3x+1≥0即可.令ℎ(x)=ex−x−1，则ℎ'(x)=ex−1，当x0，
∴ℎ(x)min=ℎ(0)=0，即∀x∈R，ex≥x+1，那么，当x≥0时，xex≥x2+x，所以xex−3x+1≥ x2−2x+1=(x−1)2≥0；当x0时单调递减.
（III） g(x)有两个零点等价于h（x）有两个零点，
由（1）知，由图像可知.



【提分秘籍】
基本规律
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)移项讨论法（找点或者极限法）：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数（回避找点）：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)分离函数法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【变式演练】
1.已知函数，．(1)求证：在区间上无零点；
(2)求证：有且仅有2个零点．
【详解】(1)，． 当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．而，，
所以当时，，所以在区间上无零点．
(2)的定义域为．
①当时，，，
所以，从而在上无零点．
②当时，，从而是的一个零点．
③当时，由(1)知，所以，又，
所以，从而在上无零点．
④当时，，，所以在上单调递减．
而，，从而在上有唯一零点．
⑤当时，，所以，从而在上无零点．
综上，有且仅有2个零点．
2.已知函数f(x)=13ax3+12bx2+cx.
（1）若函数有三个零点x1,x2,x3，且x1+x2+x3=92，，求函数的单调区间；
（2）若f'(1)=−12a，3a>2c>2b，试问：导函数f'(x)在区间（0，2）内是否有零点，并说明理由.
（3）在（2）的条件下，若导函数f'(x)的两个零点之间的距离不小于3，求ba的取值范围.
试题解析：（1）因为f(x)=x(13ax2+12bx+c)，又x1+x2+x3=92，，则
因为x1，x3是方程13ax2+12bx+c=0的两根，则
−3b2a=92，，.即从而：，
所以.令解得：
故a>0时，单调递减区间是（1，4），单调递增区间是；
a2c>2b，所以3a>0,2b0,b0,f'(1)=−a22c>2b，所以3a>−3a−2b>2b，即−3a0∴函数f'(x)在(−∞,+∞)上为增函数
因为f'(0)=0，所以当x∈(−∞,0)时，f'(x)