第9讲 2023高考热点分类提分复习 超难数压轴小题----导数与函数归纳

第9讲 超难数压轴小题
——导数和函数归类（1）

目录

【题型一】 整数解 2
【题型二】 零点 6
【题型三】 同构 10
【题型四】 恒成立求参：移项讨论型 12
【题型五】 恒成立求参：代入消参型（虚设根型） 16
【题型六】 恒成立求参：构造函数 20
【题型七】 恒成立求参：分离参数（常规） 24
【题型八】 恒成立求参：分离参数（洛必达法则） 27
【题型九】 恒成立求参：倍函数 29
【题型十】 恒成立求参：双函数最值型 33
【题型十一】 数列与导数 37







热点题型总结
【题型一】 整数解
【典例分析】
在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由，化简得：，
设，，则原不等式即为.若，则当时，，，
原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴.∵，，∴.
当，即时，设，则.
设，则在单调递减，所以，所以在单调递减，∴，
∴当时，，∴在上为减函数，即，
∴当时，不等式恒成立，原不等式的解集中没有大于2的整数.
要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则f3>g3f4>g4f5≤g5，即e2>2ae34e2>3ae49e2≤4ae5，解得.
则实数的取值范围为.故选：D


【提分秘籍】
基本规律
1.通过函数讨论法，参变分离，数形结合等来切入
2.讨论出单调性，要注意整数解中相邻两个整数点函数的符号问题



【变式演练】
1.已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：函数，若存在唯一的正整数，使得。等价于存在唯一的正整数，使得不等式成立，令，则，由得，由得
所以函数在区间上递增，在区间上递减。所以，
直线过定点，作出函数和直线图像如下：
由图可得要使存在唯一的正整数使得不等式成立
必有所以实数的取值范围是
故选：C.
2.已知偶函数满足，且当时，，若关于x的不等式在上有且只有150个整数解，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为偶函数满足，所以，即，
所以函数是以6为周期的周期函数，当时，，所以，
当时，，函数递增；当时，，函数递减；
当当时，函数取得极大值，作出函数在上的图象，如图所示：

因为不等式在上有且只有150个整数解，
所以不等式在上有且只有3个整数解，
当时，不符合题意，故不等式在上有且只有3个整数解，
因为，所以，即，
故不等式在上的3个整数解分别为-2，2，3，
所以，，即，故选：B
3.已知对任意实数，关于的不等式在上恒成立，则的最大整数值为
A．0 B． C． D．
【详解】令，依题意，对任意，当时，图象在直线下方，∴列表
得的大致图象
则当时，∵，∴当时不成立；
当时，设与相切于点.
则，解得.
∴，故成立，∴当时,.故选B.
【题型二】 零点
【典例分析】
已知函数，若方程有3个不同的实根，，（），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，故可得，令，解得，
故可得在区间单调递增，在单调递减，在单调递增.
又，，且当趋近于负无穷时，趋近于零，故的图象如下所示：
故若方程有3个不同的实根，则，又因为，故，不妨令，则，令，解得，
容易知在区间单调递减，在单调递增.故可得，又