初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明1 等腰三角形一等奖课件ppt

这是一份初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明1 等腰三角形一等奖课件ppt，共34页。PPT课件主要包含了三条边都相等，归纳总结，∵DEBC，∵ADAE，证明猜想，“线段相等”问题，cm或15cm，又∵∠C60°等内容，欢迎下载使用。
观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？
思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形的判定定理是什么呢？
1. 能用所学的知识证明等边三角形的判定定理.
2. 掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.
（2） 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ （3）一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形?
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
三条边相等的三角形是等边三角形（定 义）.三个角相等的三角形是等边三角形.
（1）等边三角形有哪些性质？
等边三角形的三条边相等，三个角相等，“三线合一”.
已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.求证： AB=AC=BC.
∵ ∠A= ∠B,∴ AC=BC.∵ ∠B=∠C,∴ AB=AC.∴AB=AC=BC.
三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知： 若AB=AC , ∠A= 60°.求证： AB=AC=BC.
∵AB=AC , ∠A= 60 °，∴∠B＝∠C＝ (180°－∠A)÷2= 60°.∴∠A= ∠ B=∠C.∴AB=AC=BC.
证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),∴∠C=∠B=60°(等边对等角)，∴∠A=60°(三角形内角和定理)．∴∠A=∠B =∠C=60°． ∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．求证:△ABC是等边三角形．
第二种情况：有一个底角是60°.
1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.
等边三角形的判定方法：
3.定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
2.定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
推导过程：∵AB＝BC＝CA，∴ △ABC是等边三角形.
推导过程：∵∠A＝ ∠ B＝ ∠ C，∴ △ABC是等边三角形.
推导过程：∵AB＝AC，∠A＝ 60°，∴ △ABC等边三角形.
“三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合
有一角是60°的等腰三角形是等边三角形
等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60°
三个角都相等的三角形是等边三角形
三条边都相等的三角形是等边三角形
例 如图,在等边△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD∥AB,OE∥AC.(1)试判定△ODE的形状,并说明你的理由.
解： △ODE是等边三角形.理由：∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵OD∥AB,OE∥AC,∴∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°,∴△ODE是等边三角形.
(2)线段BD,DE,EC三者有什么关系?写出你的判断过程.
解：BD=DE=EC.理由:∵OB平分∠ABC,且∠ABC=60°,∴∠ABO=∠OBD=30°,∵OD∥AB,∴∠BOD=∠ABO=30°,∴∠DBO=∠DOB,∴DB=DO,同理,EC=EO,∵DE=OD=OE,∴BD=DE=EC.
选用等边三角形判定方法的技巧(1)如果已知三边关系,则选用等边三角形定义来判定.(2)若已知三角关系,则选用三角相等的三角形是等边三角形来判定.(3)若已知是等腰三角形,则选用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形来判定.
在△ABC中，∠A=60°，要使△ABC是等边三角形，则需添加的一个条件是 .
AB＝AC或∠B＝∠C
如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形.
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由.
如图,在等边三角形ABC中，AD=AE, 求证：△ADE是等边三角形.
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60°.
∴ △ADE是等腰三角形.
∴ △ADE是等边三角形.
又∵ ∠A=60°.
含30°角的直角三角形的性质
操作:用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗 ?
猜想：在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?
30°角所对的直角边等于斜边的一半.
在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半.
已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°，∠A=30°.求证:BC= AB.
分析：证明“线段的倍、分”问题
∵ ∠ACB=90° (已知)， ∴∠ACD=90°，在△ABC与△ADC中， BC=DC，（作图）　∠ACB=∠ACD，（已证） AC=AC，（公共边）∴△ABC≌△ADC（SAS） ， ∴ AB=AD.∵∠ACB=90°,∠BAC=30° (已知) ， ∴∠B=60°，∴△ABD是等边三角形， ∴BC= BD= AB．
证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD，
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
推导过程：Rt△ABC中∵∠A＝30°
∴ BC＝ AB
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=15°, CD是腰AB上的高.求证：CD= AB.
证明：∵AB=AC,∠B=15°, ∴∠B=∠ACB=15°， ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30°， ∵∠ADC=90°，∴CD= AC= AB．
如图,在△ABC中,∠B=∠C=60°,点D在AB边上,DE⊥AB,并与AC边交于点E.如果AD=1,BC=6,那么CE等于(　　)
A.5B.4C.3D.2
解析：∵在△ABC中,∠B=∠C=60°,∴∠A=60°, ∴△ABC是等边三角形.∵DE⊥AB,∴∠AED=30°, ∵AD=1,∴AE=2, ∵BC=6,∴AC=BC=6, ∴CE=AC-AE=6-2=4.
含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质.
（2020·恩施州）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB=BC，∠C=30°，∠1=80°，则∠2= .
1.下列条件中,不能得到等边三角形的是(　 　)A.有两个内角是60°的三角形B.三边都相等的三角形C.有一个角是60°的等腰三角形D.有两个外角相等的等腰三角形
2. 三角形三边长分别为a，b，c,它们满足(a-b)2+|b-c|=0,则该三角形是 (　 　)A.等腰三角形B.直角三角形　C.等边三角形D.等腰直角三角形
3.如图,在正方体的两个面上画了两条对角线AB,AC,则∠BAC等于(　 　)A.60°B.75°C.90°D.135°
4.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3．则AC=_____，BC=_______．
5.在△ABC中,AB=AC=10 cm，BD是高，且∠ABD=30°，则CD=________________.
证明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90°∴BC= ∠B=60°，∴BD= ∴BD=
∴∠BCD=30°，
2、如图,AD∥BC,BD平分∠ABC,∠A=120°,∠C=60°,CD=4 cm,求BC的长.
证明:∵AD∥BC,∠A=120°,∴∠A+∠ABC=180°.即∠ABC=180°-∠A=180°-120°=60°,∴∠ABD=∠DBC=30°.∴△BDC是直角三角形(∠BDC=90°).又∵CD=4 cm，∴BC=2CD=2×4=8(cm).
如图:△ABC是等边三角形,点D,E,F分别在BC,AB,CA边延长线上,且BE=AF=CD.求证:△DEF是等边三角形.
证明：∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=∠ABC=60°,AB=AC=BC,∴∠EAF=∠EBD=120°,∵BE=CD,∴BE+AB=BC+CD,即AE=BD,
在△AEF和△BDE中, ∴△AEF≌△BDE(SAS),∴EF=ED,同理可得△AEF≌△CFD,∴EF=FD,∴EF=ED=FD,∴△DEF为等边三角形.
特殊的直角三角形的性质
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半