专题6 2022年高考“复数和平面向量”专题命题分析

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专题6 2022年高考“复数和平面向量”专题命题分析
专题6  2022年高考“复数和平面向量”专题命题分析
    2022年高考中的“复数”和“平面向量”试题注重基础知识和基本技能的考查，能体现考生对解题经验与方法的积累程度，考查了考生的“数学运算”与“直观想象”素养的水平．复数与平面向量各有一题，均以填空或选择的形式出现，除浙江卷、上海复数题每题为4分外，其余试卷每题均为5分．
一．考查的内容与方式
复数整体分布
卷别与题号
情境水平
考查知识
关键能力
核心素养
难度
全国甲卷·理1
熟悉情境
复数运算
运算求解
数学运算
容易题
全国甲卷·文3
熟悉情境
复数运算与复数的模
运算求解
数学运算
容易题
全国乙卷·理2
熟悉情境
复数运算与复数相等
运算求解
数学运算
容易题
全国乙卷·文2
熟悉情境
复数运算与复数相等
运算求解
数学运算
容易题
新高考Ⅰ·2
熟悉情境
复数运算与复数相等
运算求解
数学运算
容易题
新高考Ⅱ卷·2
熟悉情境
复数运算
运算求解
数学运算
容易题
上海卷·1
熟悉情境
复数运算
运算求解
数学运算
容易题
北京卷·2
熟悉情境
复数运算与复数的模
运算求解
数学运算
容易题
天津卷·10
熟悉情境
复数运算与复数的模
运算求解
数学运算
容易题
浙江卷·2
熟悉情境
复数运算与复数相等
运算求解
数学运算
容易题

       试题均为熟悉情境，与教材例题、练习题、习题、复习参考题保持一致，符合课标要求，均考查数学运算素养，其难度均为“容易题”
纵观2022年高考复数的考查内容，主要考查了复数代数表示的四则运算，两个复数相等的含义以及复数模的求法，题目均为熟悉情境和简单运算，按《课标》对数学核心素养的水平的划分，均为数学运算素养的水平一的要求．
平面向量题目的整体分布
卷别与题号
情境水平
知识要点
关键能力
核心素养
难度
全国甲卷·理13
熟悉情境
平面向量数量积运算
运算求解
数学运算
容易题
全国甲卷·文13
熟悉情境
用坐标表示平面向量垂直的条件
运算求解
数学运算
容易题
全国乙卷理·3
熟悉情境
平面向量的数量积运算及性质
运算求解
数学运算
容易题
全国乙卷·文3
熟悉情境
平面向量的坐标运算
运算求解
数学运算
容易题
新高考Ⅰ卷·3
熟悉情境
平面向量线性运算及其几何意义
空间想象
直观想象
容易题
新高考Ⅱ卷·4
熟悉情境
平面向量的夹角与数量积的坐标运算
运算求解
数学运算
容易题
上海卷·11
关联情境
平面向量的运算
运算求解
数学运算
中等题
北京卷·10
关联情境
平面向量的坐标形式的运算及函数的最值问题
空间想象运算求解
数学运算
中等题
天津卷·13
关联情境
平面向量线性运算；用数量积解决平面向量的垂直关系；运用基本不等式求最值
空间想象运算求解
直观想象
中等题
浙江卷17
综合情境
平面向量的运算（“几何形式”或“坐标形式”）；平面几何与平面向量的关系；函数的最值
空间想象运算求解创新意识
直观想象
难题

       平面向量试题情境程度有差异，主要以向量运算为主，与课标要求保持一致，主要考查数学运算素养和直观想象素养，其难度差异较大
纵观2022年高考中平面向量的考查内容，主要考查了平面向量运算及其几何意义、用向量的数量积判断两个向量的垂直关系，以及平面向量与其它知识、思想方法相关联的问题．其中“全国（甲乙）卷”和“新课标（ⅠⅡ）卷”注重基础知识与基本技能的考查，均是学生较为熟悉的情境，通过简单的运算即可解决的问题，是数学运算或直观想象素养的“水平一”的要求．而四套“地方卷”的相关试题具有一定的创新性，是对学生发现提出问题、分析解决问题能力的考查，是在考查基础知识与基本技能的基础上，强调数学思想方法的运用，例如用函数思想求最值，直观想象与数学运算相结合，运用平面几何知识挖掘图形性质进而与向量相结合．试题均为关联情境或综合情境，是对学生直观想象与数学运算素养的深度考查，这两个素养要达到“水平二”及以上的要求．虽然各试卷间考查内容及素养水平有所差异，但每套试卷与各自的往年试卷相比，基本上是在保持了原来的命题特征的基础上有所创新．
二．课标要求与典例分析
（一）复数
[课标要求]
1．复数是一类重要的运算对象，有广泛的应用．本单元的学习，可以帮助学生通过方程求解，理解引入复数的必要性，了解数系的扩充，掌握复数的表示、运算及其几何意义．
内容包括：复数的概念、复数的运算、*复数的三角表示．
（1）复数的概念
①通过方程的解，认识复数．
②理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．
（2）复数的运算
掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
（3）*复数的三角表示
通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．
[典例分析]
1．以概念为依托，考查应用概念解决问题的能力
2022年高考数学试题中的复数以概念为依托，体现了试题的基础性，要求学生在解答试题的时候，不仅有关的概念要清晰，而且更强调应用概念解决问题的能力．
（全国乙卷理．2）
1．已知，且，其中a，b为实数，则（    ）
A． B． C． D．
2．以运算为载体，考查合理选择运算途径的能力
2022年高考试卷中的复数题目都较为基础，试题均由教材中的例题、练习题、习题或复习参考题“变式”或“嫁接”而成，以考查复数的四则运算为主，不过题目的情境略倾向于单元内关联化，即将复数运算、复数的模、两个复数相等的问题结合在一起进行考查．
（新高考Ⅰ卷．2）
2．若，则（    ）
A． B． C．1 D．2
（全国甲卷·文3）
3．若．则（    ）
A． B． C． D．
（二）平面向量
平面向量既是几何研究的对象，也是代数研究对象．
从几何角度看，向量是有向的线段、可求模长、可求两个向量的线性运算和数量积运算．根据向量这一特点，向量与平面几何有着密切的联系，利用平面几何知识可探究线段的长度、夹角、关系等．而平面向量的基本定理可将向量转化为两个“已知向量”，这为从“关联情境”的视角命题创造了条件，即将平面向量的运算、平面向量的基本定理以及平面几何知识结合起来，考查学生直观想象素养与数学运算素养．
从代数角度看，向量可用坐标表示，运用向量的坐标可对两个向量进行运算、可求两个向量的夹角、可判定两个向量共线与垂直关系、可求向量的模等．这也是常见命题角度，主要考查考生的数学运算素养．
平面向量可设计运动变化的情境，即运动的点、运动的向量、变化的角等，这样可将向量与最值、定值问题相关联，利用函数、基本不等式、三角函数等工具，探究相关的最值问题，这类问题融基础性、综合性、创新性于一体，较为全面地考查考生数学运算素养和直观想象素养，考查学生的逻辑思维能力．
2022年高考试卷中的平面向量题目的设计源于教材又高于教材，有些题目出自于教材中的向量单元，或向量与其他单元之间的关联而成．
[课标要求]
向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁．本单元的学习，可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义；掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及坐标表示、向量的应用．
内容包括：向量概念、向量运算、向量基本定理及坐标表示、向量应用．
（1）向量概念
①通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．
②理解平面向量的几何表示和基本要素．
（2）向量运算
①借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义．
②通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义．
③了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．
④通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．
⑤通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．
⑥会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
（3）向量基本定理及坐标表示
①理解平面向量基本定理及其意义．
②借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
③会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算．
④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．
⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件．
【典例分析】
1．注重平面向量运算，考查数学运算素养
（全国乙卷·理3）
4．已知向量满足，则（    ）
A． B． C．1 D．2
（全国乙卷·文3）
5．已知向量，则（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（上海卷·11）
6．若，且满足，则___________.
（全国甲卷理．13）
7．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
2．注重平面向量运算与平面几何性质相结合，考查数学运算和直观想象素养
回归“基本运算”
（新高考全国Ⅱ卷·4）
8．已知向量，若，则（    ）
A． B． C．5 D．6
回归“基本图形”
（新高考全国Ⅱ卷·4）
9．已知向量，若，则（    ）
A． B． C．5 D．6
回归“基本运算”（       ）
（2019北京·理7）
10．设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
回归“基本图形”
（2021新高考Ⅱ·7）
11．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
（浙江卷·17）
12．设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
【思考】1．运动变化——函数；
2．坐标系的建立——简洁美（对称美）；
3．变量个数的选择；
4．最值的代数表现与几何表现形式；
5．复杂问题中的元认知能力的作用：方法调整，解题的意志力，解决问题的信心．
（2021年天津卷）
13．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
3．注重平面向量运算与数学思想方法相结合，考查综合解决问题的能力
（天津卷·14）
14．中，点D是AC的中点，点满足，记，，用，表示______；若，则的最大值为______．

（北京·10）
15．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
（2020浙江17）
16．设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．
三．核心素养解读与举例
水平
直观想象
数学运算
水平一
能够在熟悉的数学情境中，运用研究图形与图形、图形与数量的关系的基本方法，借助图形性质解决简单的数学问题．例如，在判断函数零点的情境中，能够直接运用图象判断零点个数以及零点所在区间．
能够在熟悉的数学情境中，根据问题的特征建立合适的运算思路，基本解决问题．例如，在指数与对数运算情境中，能直接求值．
水平二
能够在关联的情境中，扎实地运用研究图形与图形、图形与数量的关系的基本方法，借助图形性质探索数学规律，解决数学问题．借助直观想象对数学问题进行直观表达，形成思路解决问题．例如，在判断方程根的个数的情境中，能将方程化归为两个熟悉的函数，运用函数图象判断交点个数．
能够在关联的情境中，把问题转化为运算问题．能够针对运算问题，合理选择运算方法、设计运算程序，解决问题．例如，在指数与对数运算情境中，能根据图象估算运算结果，并能结合要求缩小误差范围．
水平三
能够在综合的情境中，熟练运用研究图形与图形、图形与数量的关系的基本方法，借助图形性质探索数学规律，解决数学问题．借助直观想象对复杂的数学问题进行直观表达，反映数学问题的本质，形成思路解决问题．例如，在判断含有参数的方程根的个数的情境中，能通过适当的转化化归为两个含有参数的函数，能运用分类讨论的数学思想方法，结合函数图象判断交点个数．
能够在综合的情境中，把问题转化为运算问题．运用程序化思想，熟练准确地选择运算方法、设计运算程序，解决问题．例如，在利用导数研究函数性质的问题情境中，能够通过运算、放缩、代换等数学方法判断较复杂的导函数的符号．

17．在四边形ABCD中，，，求四边形ABCD的面积．
2020年天津卷第15题——数学运算素养与直观想象素养
18．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

（全国乙卷．3）
19．已知向量满足，则（    ）
A． B． C．1 D．2
（人教A版《数学·必修第二册》第53页第12题）
20．如图，在中，已知，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，求的余弦值.

四．复习的思考与建议
1．以“课标”和“教材”为依据，定位复数复习要点
对于复数的复习，通过分析“课标”“教材”以及往年的高考题，不难发现其重点在于运算，且运算过程呈现程序化的特点，运算步骤较为简洁，运算思路较为明确．在高考复习时需要重点关注两个问题，其一是复数的四则运算，复习难度与教材例题、习题相当即可，不宜增强难度；其二是复数单元内知识的整合，像两个复数相等的条件、复数的模、复数的实部与虚部等内容，《课标》中均要求理解或掌握，它们经常与复数运算相融合进行考查，所以在复习中不能出现知识的“盲区”，每个点均要落实到位．虽然是关联情境，但较为熟悉，难度也不大，教学中可将教材中两个熟悉的情境关联起来，为学生创设复数单元内知识关联的情境，特别是复数运算与其它复数知识的交汇问题，要重点强调，加强练习，达到能熟练解决问题的水平．
从学生表现上看，经常会出现个别学生的复数运算出现错误，这种错误一般都是由运算习惯或心理因素造成的．因此在教学中，要帮助学生养成良好运算习惯，例如采用“边算边验”“整体回顾验证”等方法，提高运算的准确率．教学中要帮助学生理解“为何这样算，如何探索运算思路，怎样设计运算程序”，理解复数运算本质，要加个别学生的指导．
2．强化平面向量的基础知识，形成完整的单元知识结构
（1）深入理解平面向量“几何”形式的运算，注重对平面几何图形性质的挖掘
平面向量的数量积是最重要的向量运算，它是求长度和角度的工具，高考中通常有三种表现形式．其一是对其性质的应用．此类题目通常以“文字题”形式出现，特别是其变形是常见的命题点，教学中不但要对此类问题练习到位还要帮助学生深刻理解该运算公式的由来和运算特点；其二是与平面向量基本定理相关联，即将向量转化后再进行数量积运算，教学中要通过具体实例让学生体会如何“选基底”、如何运用运算法则，体会运算的过程，形成“一般化”的解题思路；其三是利用平面向量的数量积解决两个向量垂直问题，教学中要通过创设适当的情境，增强学生运用数量积解决垂直问题的意识，掌握解决此类问题一般步骤．
向量的加法是最基本的运算，教学中要强化三角形法则、平行四边形法则的应用，学生要理解并熟练运用“首尾相连首尾连”的方法；减法是由加法“衍生”而成，再提炼出减法自身的运算规律，教学中要帮助学生理解减法与加法的关系，学生要理解并熟练运用“共起点，连接终点指向被减”的方法；数乘运算不但能解决共线问题，还与平面几何中“线段的分点”有着密切的关系．教学中要通过具体的典例，让学生理解数乘的意义．将上述三种“线性运算”结合起来是高考的热点问题，教学中要注重创设“正反”两个方面的问题情境，“正向”运算即进行加法、减法、数乘的综合运算，“反向”运算是平面向量的基本定理的应用，即将一个向量转化为两个不共线的向量的组合形式．教学中要让学生经历解题过程，先树立一定能转化的信心，再利用这三种线性运算将其转化．特别要向学生重点强调，解题时会经常运用平面几何知识探究图形的性质，像等腰三角形“三线合一”的性质、平行四边形对角线互相平分、菱形对角线互相垂直等，再与向量运算相合．
平面向量四种运算的复习过程中，要将提高学生直观想象素养作为重要的教学目标，无论是直接运算，还是运算与平面几何的关联，都要让学生体会挖掘几何条件对运算的作用，以及通过向量运算对探究几何性质的作用．教学中要为学生尽可能多地创设一些“几何”情境，使学生养成将向量的几何形式的运算与平面几何相统一的意识，回归题目“原点”，找好基向量，特别要关注平面向量基本定理、向量运算、平面几何三者相关联的问题，可采用“解题——反思”的方法让学生体验其关系及表现形式．
（2）深化运用平面向量“坐标”形式的运算，注重总结求向量坐标的方法
平面向量运算的另一种形式是“坐标”形式，求“向量坐标——运用公式”是该形式的运算程序．此运算的前提是建立适当的直角坐标系，坐标系的建立需要具有良好的直观想象素养．这就要求教学中，让学生辨析不同几何图形的建系方法，特别是分析几何性质中的垂直条件，例如直角三角形，等腰三角形（梯形）底边高线，菱形对角线，多边形中的垂直关系等均是常见的建系关键点．求向量的坐标也是此类问题的难点之一，既需要运算能力，又需要几何直观能力，教学中要重点关注求向量坐标的方法的总结．其一是通过平面几何的知识求点的坐标，这仍然要培养学生的几何直观能力，需要为学生创设适当的情境，利用平面几何知识求线段的长，进而求出点的坐标和向量坐标；其二是通过向量运算求点的坐标，这要培养学生的运算能力，让学生体会运用向量运算求点的坐标的一般步骤．此外对于运算中公式的直接用、变形用均要练习到位，培养学生熟练的运算技能，关注学生运算的准确性，公式应用的灵活性．
（3）深刻挖掘“教材”，梳理单元知识结构图和解题思维导图
通过对高考试题的分析不难发现，高考中的简单题和中等题大多数源于教材，是由教材中题目的变式、嫁接或关联而成的，这些题目一般创设的是单元内知识的关联情境，由此看来，以教材为“蓝本”，熟悉单元知识结构对高考中解题思路的制定是致关重要的，因此教学中要帮助学生梳理单元知识结构图和解题思维导图．
对于平面向量的知识结构，教材是从对一个向量的认识开始，过渡到两个向量的关系与运算，四种运算均具有自身的“几何”形式的特点．将线性运算结合起来就可探究出平面向量的基本定理，利用基本定理可将“陌生向量”分解成两个“已知向量”的线性组合形式．平面向量具有坐标表示形式，根据坐标可对两个向量进行运算，并能求两个向量的夹角、判定两个向量是否共线，垂直等．
当建立起单元整体结构后，还可将教材中的例题、习题以及往年的高考题融入到结构框架之中，分析题目的立意，并与知识结构对号入座，这样学生能很容易地领悟平面向量单元的重点、联结点、以及命题的要点．学生熟悉单元结构后，即可对单元内容轻车熟路，能快速分析题目情境，抽象出数学问题，准确提取解题知识点，从而形成解题思路．
平面向量单元的解题思维导图，是帮助学生快速解决问题的工具．通过对题目情境的分析，学生要准确地选择“基底法”或“坐标法”．利用“基底法”时，主要体现“转换”思想，即将向量转化为“已知向量”，而“已知向量”的模长、夹角等经常运用平面几何中三角形、四边形等相关知识进行推理．利用“坐标法”时，关键在于求向量的坐标，求坐标要也要充分利用好平面几何知识或向量运算的知识．同时上述两种方法经常会设计求“最值”问题，求最值的关键在于找好自变量，进而建立函数、方程或不等式，利用函数或基本不等式等工具求得最值．
教学中为了能让学生形成解题思维导图，可采用“问题串”的方法引导学生逐步建立，即通过辨析不同的问题情境，教师设计“小步子”的问题，引导学生建立起不同问题情境的解题思路，形成经验．教师要帮助学生总结情境的类型，即单一问题情境，单元内部关联情境，与平面几何的关联情境；还可从变量角度可分为无变量，含一个变量，含有两个变量的问题；也从结论上分为直接求值，求最值，求定值等问题．教学中要帮助学生总结解决每类问题的解题策略，不断丰富解题思维导图．
3．挖掘平面向量中蕴含的数学思想方法，发展分析解决问题的能力
平面向量的综合问题中蕴含了转化与化归、函数与方程、数形结合等丰富的数学思想方法．教学中要帮助学生从思想方法的维度来分析问题，也可以开展题后反思活动体会思想方法在平面向量问题的表现形式．例如，在求最值问题中，几何形式的动点可转化为代数形式变量，通过向量的运算形成所求量与变量的关系，即得到待研究的函数，再利用函数知识求得最值．教学时要将理解函数思想的应用作为教学重点，即因变量与哪些变量存在关系，从而正确选择自变量，体会函数思想在解题中的作用．又如，平面向量的运算量有时可能较大，由于平面向量运算均有几何意义，所以运用平面几何的知识往往能解决一些与运算相关的问题，教学中可采用比较解法的简繁来体会数形结合在解决平面向量问题中的应用．再如，与圆相关的问题，可转化为以圆心为起点的向量，体现转化思想．还如，平面向量问题中有时可含有两个变量，有时可根据平面向量基本定理中的“唯一性”，采用方程思想求得变量的值，教学中要让学生体会方程思想的应用；有时是关于两个变量的最值问题，还可采用基本不等式求最值，或转化为几何意义求值，教学中要体验数学方法在平面向量问题中的应用．上述几类问题均是数学思想方法在平面向量中的应用，教学中要强调思想方法与平面向量“为何可以融合”“如何运用数学思想方法”“由何能将两者结合”等问题，让学生进一步体会数学思想方法的作用，教师要多“引导、点拨”，学生要深入“思考、体验”，提高学生解决问题能力．

参考答案：
1．A
【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】

由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得,即
故选:

2．D
【分析】利用复数的除法可求，从而可求.
【详解】由题设有，故，故，
故选：D

3．D
【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】因为，所以，所以．
故选：D.

4．C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.

5．D
【分析】先求得，然后求得.
【详解】因为，所以.
故选：D

6．##
【分析】设，利用数量积定义求出，即可求出.
【详解】因为，所以，设.
由可得：，
两式相除得：.
又，且
解得：.
因为，所以，解得：.
故答案为：.
7．
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．

8．C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,
故选：C

9．C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,
故选：C

10．C
【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.
【详解】∵A､B､C三点不共线,∴
|+|>|||+|>|-|
|+|2>|-|2•>0与
的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C.
【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.
11．A
【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.
12．
【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．
【详解】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：

则,，设,于是，
因为，所以，故的取值范围是.
故答案为：．

13．     1    
【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.
【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，，
，
，

，
所以当时，的最小值为.
故答案为：1；.

14．         
【分析】(1)根据平面向量的基本定理即可求解；(2)根据垂直关系的数量积表示，利用向量的数量积运算律，表示出的余弦值，再利用基本不等式即可求解.
【详解】第一问考查平面向量的基本定理，考查直观想象素养，问题情境较简单，是对基础知识、基本技能的考查．同时新高考Ⅰ卷第3题，是类似的一道选择题，这说明高考注重对平面向量基本定理的考查，以此评价考生的直观想象素养的水平．与课本试题，如图6.3-4，，不共线，且，用，表示．

解：因为，
所以．
观察，你有什么发现？
发现：，即:若三点共线，则,且.
本题中，；
第二问设置了垂直的情境，与平面向量的数量积运算相关联．对于最值问题，以基本不等式为工具，突显问题的综合性．解题时，运用第一问的结论，结合条件中的垂直关系，不难发现运用“基底法”可将相关向量转换成“已知向量”，于是可得，，整理得，即．结合所求的最值问题，需要联想求最值的工具，对于含有两个变量的最值问题，运用基本不等式是首选，由基本不等式得，，当且仅当时，等号成立．于是∠ACB的最大值为．    
故答案为：.
该问将数学中平面向量与不等式单元相融合，充分考查了考生灵活运用知识的技能和理解数学思想方法的能力，这也是本题的创新点与命题的主要意图．由此看来，平面向量的关联情境是高考的热点问题，通过平面向量基本定理将所求向量进行转化，通过向量运算、函数、基本不等式等方法解决相关最值问题是高考的命题导向．
本题融基础性、应用性、综合性、创新性于一体．本题设置的求最值问题情境，既体现了基本不等式的应用，又是对考生求含有两个变量的最值问题的基本活动经验的考查．题目的综合性与创新性在于将平面向量与基本不等式巧妙地结合在一起．考生在解第二问时，首先要提出“如何建立所求角与边的关系”，结合图形与垂直条件，考生可发现其中的等量关系，由于已知条件中没有边之间的关系，考生会提出“用什么知识作为求最值的工具”，通过提取基本活动经验（两个变量），联想到基本不等式，进而求得结果．该过程是考生“四能”的体现，特别是面对“新情境”，发现与提出问题是解题的关键．由此看来，高考经常通过设计具有基础性、应用性、综合性、创新性相结合的题目，考查考生“四基”“四能”．
15．D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，

因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以


，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
        
16．
【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.
【详解】，
，
，

.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
17．
【分析】由，可得四边形为平行四边形，再由，可得四边形为菱形，再利用向量数量积运算性质可得，利用四边形的面积为即可求得
【详解】因为，所以四边形为平行四边形，
因为，
所以四边形为菱形，
对上式两边平方可得，得，
因为，所以，
所以四边形的面积为
18．         
【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.
【详解】，，，

，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：；.
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.
19．C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.

20．
【解析】即为与的夹角，先用将与表示出来，求出以及，，代入公式即可．
【详解】解：∵M，N分别是BC，AC的中点，
.
与的夹角等于.

，
，
，
．
【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量的夹角公式，考查计算能力，是中档题．