专题4 2022年高考“三角函数与解三角形”专题解题分析

这是一份专题4 2022年高考“三角函数与解三角形”专题解题分析，共36页。学案主要包含了类题赏析，目标解析，解法分析，试题分析，整体点评等内容，欢迎下载使用。
专题4 2022年高考“三角函数与解三角形”专题解题分析
专题4  2022年高考“三角函数与解三角形”专题命题分析
2022年各套试卷中“三角函数与解三角形”题目，从出题面貌上看，三角函数板块题和过去的高考题一致，未出现创新形式的命题，在模拟卷中常出现的结构不良题未在此板块考查．从内容上，对三角函数有两个层次的分析．客观题：三角函数图象与性质，三角恒等变换主观题：三角形为命题背景显性：三角函数图象与性质、图象变换、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理；隐性：作为数学工具，运用三角函数来解决平面向量、立体几何、解析几何、函数等问题
一．考查的内容与方式
卷别
科别
分布/题型
分值
其他
三角函数
解三角形


课标甲卷
理科
5，11，12/选择题
16/填空题
20
5，12题与其他知识综合

文科
5，7/选择题
16/填空题
15
7，16题分别与理科5，16题相同
课标乙卷
理科
15/填空题
17/解答题
17
与文科17题是姊妹题

文科
8，11/选择题
17/解答题
22
8，11题与其他知识综合
新高考Ⅰ卷
6/单项选择题
18/解答题
17

新高考Ⅱ卷
6/单项选择题9/多项选择题
18/解答题
22

北京卷
5，10/选择题13/双空题
16/解答题
26
10题与其他知识综合
浙江卷
4，6/选择题13/双空题
11/单空题18/解答题
32

上海卷
3/填空题
19/解答题
18

天津卷
9/选择题
16/解答题
20


2022年各套试卷中“三角函数与解三角形”的统计表可知如下特点：1．覆盖了本部分的核心知识；2．题型丰富，但没有开放性试题；3．各套试卷中题量、分值差异较大；4．容易题与中等难度题为主，难题较少．
二．课标要求与典例分析
三角函数是一类最典型的周期函数．本单元的学习，可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性；用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值等性质；探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；利用三角函数构建数学模型，解决实际问题．
内容包括：角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、三角函数应用．
1．关于三角函数的图象与性质
课标要求： ①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α ±，α ±π的正弦、余弦、正切）．
②借助图象理解正弦函数在、余弦函数上、正切函数在 上的性质．
③结合具体实例，了解的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．
例1（新高考全国Ⅰ卷·6）
1．记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ）
A．1 B． C． D．3
命题意图：函数是刻画周期性的重要函数模型，教材对它的研究非常重视．教材中在此处将研究函数的多种方法进行了综合，如运用复合函数的方法、数形结合的方法、整体代换的方法、图象变换的方法，使学生不止对三角函数，更是对整体函数，有了更完整的认识．
求解思路：
①利用周期求参数的值是教材中的常见题，利用教材“探究与发现”中给出的关系求解即可；
②本题稍有变式，与不等式结合只能求得参数的一个取值范围，为此需先根据参数b的几何意义确定其值，再依据对称中心的代数特征得到关于的关系式，进而求解．
关键点：条件“的图像关于点中心对称”的反复使用．
命题评价：试题情境源于教材．题源：普通高中教科书数学第一册
①“5.6函数”中，刻画筒车、摩天轮运动规律的函数；
②习题5.6第7题（筒车问题）中所涉及的函数是型；
③“5.7三角函数的应用”的例1（气温变化问题）、例2（潮汐现象问题）中是依据此类函数图象的特征解决实际问题．
难易度：思路易得，有一定综合性．
例2 （新高考全国Ⅱ卷·9）
2．已知函数的图像关于点中心对称，则（    ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
例3 （课标甲卷理科·11）
3．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【类题赏析】以函数为背景的高考题较多，如2019年全国Ⅲ卷理科卷第12题，在选项设置上也运用了极值的概念，还有的高考题运用函数的和、差、分段设计出更为复杂的函数，如2019年全国Ⅰ卷理科第11题中的函数，但本质依然是考查三角函数的周期性、奇偶性、单调性等问题，充分运用分类讨论、数形结合的数学方法研究函数，对运用函数的观点理解、研究函数要求更高．如：1.（2019年课标Ⅲ卷理·12）
4．设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
（2019年课标全国Ⅱ卷·9）
5．下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
例4  （乙卷理科·15）
6．记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
例5  （课标乙卷文科·8）
7．如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ）

A． B． C． D．
命题意图：直观想象；数学运算；分析问题、解决问题能力．
考向：考查的是研究基本初等函数的方法，是对一般观念的考查，具体的载体是教科书中关于幂函数、指数函数和对数函数图象与性质研究中用到的方法．
同类题：课标甲卷理科第5题
题源：2017年课标Ⅰ卷文科第8题、Ⅲ卷文科第7题、2019年课标Ⅰ卷文理科第5题等，2008年江西文理第10题有一定难度，再往前推，在2003年、2005年还考查过绘制三角函数图象的题目．
例6  （课标乙卷文科·11）
8．函数在区间的最小值、最大值分别为（    ）
A． B． C． D．
例7  （课标甲卷理科·12）
9．已知，则（    ）
A． B． C． D．
考向：本题表面看是三角函数试题，但其求解方法却是利用导数研究函数的性质，因此关键是构造函数．本题出题的思路新颖，使用的方法本质一致，但需要构造函数，且需要多个方法综合应用才能求解，属于难题，体现了综合性与创新性．
同类题：1.（全国新高考Ⅰ卷第7题）
10．设，则（    ）
A． B． C． D．
2021乙卷理12．
11．设，，．则（    ）
A． B． C． D．
2．关于三角恒等变换：找到隐藏的杀手锏
三角恒等变换一直是三角函数中的基本题型之一，除考查三角函数公式的灵活运用以外，更多的是对学生逻辑推理素养的考查．如2021年新高考Ⅰ卷第6题，2019年江苏卷第13题，都是有较大区分度的三角恒等变换的小题．其区分在不只是能不能解决这个问题，还体现在用什么方法解决．如2019年江苏卷第13题，考生易观察出所求角是已知角与的和，但要更好的解决此题还需运用的关系，求出，的值，这对考生观察角的变换、三角函数公式结构的变换都有较高要求．
课标要求： ①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.
②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）.
例8  （新高考全国Ⅱ卷理科·6）
12．若，则（    ）
A． B．
C． D．
【目标解析】
知识层面：两角和差的正余弦公式、同角三角函数的商数关系．
方法层面：整体代换思想．
素养层面：逻辑推理、数学运算等核心素养．
【解法分析】
在人教版教材中指出：“因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式．”本题中抓住对“”这个已知角的考察，得到以下两种解法．
若对常数“”运算化简，可得方法（一）；
由已知得：，
化简得：，所以．
若保留并构造出“”，可得方法（二）：
由已知得：，则，
所以，，所以，，
则．
同类题：
（2021年全国新课标Ⅰ卷·6）
13．若，则（    ）
A． B． C． D．
（2019年江苏卷·13）
14．已知，则的值是_____.
3．关于解三角形：多姿多彩的化简迷人眼
高考中的“三角函数与解三角形”的解答题多以三角形作为命题背景，重点考查以正弦定理、余弦定理为工具计算求解三角形的边角关系，突出的核心素养的考查是运算能力，基本历年皆有．但“数学运算”并不是简单的数学计算能力，主要是对运算对象、运算法则、运算思路、运算方法的理解、掌握、探究和选择，如2019年课标Ⅰ卷·理17，主要考查通过化归转化思想对正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式的灵活应用，也体现了新课标对“数学运算”素养的考查方向：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果．
课标要求：①会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用．
②借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理．
③能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题．
例9  （2022年新高考Ⅱ卷·18）
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【试题分析】
平时教学对求出三角形中独立的边、角，学生训练较多，难度不大，但如问题（1）中，求面积不是一定需要求出单独的基本量，知道ac整体的值也可，这就弱化了条件，也就需要学生在分析时，结合已知的公式寻找这一结构特质，对学生的思维有一定要求．同样问题（2）中的条件结构可联想到正弦定理，但也需要整体考虑．在解三角形中，需要三个独立条件，如果缺失条件，往往需要运用整体结构求值．可见，解三角形中，除了对独立公式熟悉以外，对未知量的个数、方程的个数的观察，尤为重要，这决定了是求出的边、角，还是求出整体的值；是可求值，还是需运用函数分析．今年全国乙卷理科第17题，也是运用了这样的思路，整体求出边的和，从而求出三角形的周长，而2021年全国新高考Ⅰ卷第19题也体现了这样的思维，难度更大．
同类题：1．（2022年全国乙卷理·13）
16．记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
同类题：2
（2022年全国甲卷文、理·16）
17．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
（2019年新课标Ⅰ卷理·17）
18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
例10 （2022年新高考Ⅰ卷·18）
19．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【试题分析】考查变换方向：
角度一：角的变换．条件等式的左边是角A，而右边是B的二倍角，从这个角度想到将右边的二倍角展开，而为使分母简单，可选择这个公式，从而达到化简的目的．
角度二：次数的变换．等式的右边是角B的二倍角，可以理解为是角B的三角函数的二次式，运用二倍角公式可以升次降角，达到化简的目的，而将右边等式化简后，分式化为整式，也是从三角函数次数进行考虑的．从这个角度来看，等式的左边也可以将角A看成是的倍角进行展开．
角度三：函数名的变换．在问题（1）中，等式右边化为后，也可以化为．如果走这个途径，就需要将左边等式化为正切．
角度四：“1”的变换．在三角函数中，经常使用将常数“1”转化为“”、“”．
条件转化为或后，也是运用方程思想得到角之间的等量关系．考虑关系，这是不同名的三角函数且还有符号问题，则将转化为，
则得．而忽略角的范围是学生解三角方程最易错的地方．
因为B，，所以，，则，，且，
所以．考虑则更简单，因为等式两边是同名函数，只要分析角的范围即可．
这类变换题型在各版本教材中都有所体现，如在人教版教材《必修一》P226 5.5.2练习1即为“求证：．”在苏教版教材《必修二》P67习题10.2题6也有等式“”的证明．回归教材，吃透教材，才是平时教学的要点．
问题（2）中，“求的最小值”就需要运用函数思想．运用函数思想解题时，首先选择自变量，减少问题中变量的个数，转化为自变量的表示．如题中，就需将边a，b，c，转化为角A，B，C的正弦，再将角A、C转化为B表示，使所求式转化为角B的函数．其次和三角函数相关的函数，主要有两类：一类是三角函数的齐次函数，转化目标为的形式；另一类是三角函数的非齐次形式，主要将三角函数化为同名三角函数后，换元解决，问题（2）即是第二类的情况，将换元后转化为了分式型函数．综上分析，没有解题的全局观，是做不好此类综合题的．
【类题赏析】
三角函数的综合题，是将三角函数中三大板块知识综合考查，渗透方程与函数思想、整体思想等数学思想方法的考查，对逻辑推理、数学运算等核心素养的要求较高．如2019年课标Ⅲ卷理·18中，对条件的理解成为解题关键，运用整体代换思想解题是本题的突破路径．
（2019年全国新课标Ⅲ卷·18）
20．的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
4．关于解三角形中的最值问题：另辟蹊径巧求解
题11  （课标甲卷文、理科·16）
21．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
命题意图：数学运算，直观想象
命题评价：本题有多种不同的求解思路，有助于不同思维特征学生选用不同的方法求解，考查学生基于对运算对象的不同理解选择不同的求解办法，即考查数学运算、直观想象核心素养.2016年课标Ⅱ卷文15理13题也可以采用类似的方法求解．此外，北京卷的第10题已知条件中有直角三角形，据此可以建立坐标系，将题目中点的坐标表示出来，达到消元的目的，转化为函数值域问题求解．此外，该题也可以用基底法求解，但是书写较繁琐．也充分考查了学生的数学运算素养．这两道题目都属于较难题．
三．命题的形式与特点分析
1．试题载体轮回变化，注重对“四基”的考查
重点内容重点考查，今年的试题依然体现了此特点．
各类试卷中考查三角函数图象与性质的试题以小题为主，22道小题中约四分之三都是考查三角函数图象与性质的题目．且多数题目的求解方法都是传统的，在教材中、在往年的高考题中都能找到其影子，比如课标甲卷文科第5题、理科第11题，乙卷理科第15题，新高考Ⅰ卷第6题，北京卷第5题、第13题，浙江卷第6题，等等．
考查解三角形的试题，以大题为主，各套试卷中共计8道，有个别题目是与三角恒等变换的综合，如新高考Ⅰ卷第18题，天津卷第16题．还有3道考查解三角形的小题．这些题目的解法多数也是以传统解法为主．
单独考查三角恒等变换的试题只有2道，即新高考Ⅱ卷第6题，浙江卷第13题，主要考法是融在其他问题的求解中，作为基本工具．
今年各套试卷中没有考查任意角与弧度制、三角函数定义、绘制三角函数图象、三角函数值域问题、解三角形的实际应用的试题.2005年全国Ⅲ卷文科理科第1题是考查任意角的；2018年北京卷文科第7题、课标Ⅰ卷文科第11题，2021年新高考全国Ⅰ卷第10题等都是直接考查定义的；2017年北京卷理科第12题是考查根据圆的特殊对称性确定三角函数值的；2003年新课程卷文科第20题，2005年全国Ⅰ卷文科第17题等是考查绘制三角函数图象的；2017年课标Ⅱ卷理科第14题、Ⅲ卷文科第6题、2019年课标Ⅰ卷文科第15题等是考查三角函数值域问题的分别是转化为函数的值域或者二次函数等的值域问题；2007年、2009年海南卷、2014年课标Ⅰ卷文科第16题，2021年课标乙卷第9题等是考查解三角形实际应用．
可以看出，命题所选内容主次分明，重点突出，体现了依据课标，回归教材，注重对“三角函数与解三角形”中核心知识、基本方法、基本思想，以及观察、分析、转化等解题思维能力的考查．突出了试题命制思路的连续性、传承性．同时也体现出命题内容选择轮回变化．
2．依据课标，突出函数主题的通性通法的应用
这是2022年本部分试题与往年试题相比一个突出的变化．
函数主题的通性通法主要指两点，一是函数图象与性质研究的基本套路，即不仅要研究函数的基本性质，还要观察图象或者研究函数关系式发现其特殊点，或者观察图象发现特殊点，再利用函数关系进一步分析，比如课标甲卷理科第5题，乙卷文科第8题．一是利用导数研究三角函数综合问题的单调性，比如新高考Ⅱ卷第9题选项D，课标甲卷理科第12题，乙卷文科第11题等．
这种命题导向是要在函数主题的视角下考查三角函数，突出了函数主题通性通法的重要性、普适性．这样的试题在之前的考试中曾经出现过，但与今年的特点不同，比如2016年课标Ⅰ卷文科第12题，2019年课标Ⅰ卷文科、理科第20题等，后两个题目位于20题的位置，自然会想到用导数进行研究，但当试题在其他位置时就要进行方法的选择，在这种选择中考查学生对函数研究方法的理解和灵活应用能力，因此这种变化给出一种信号，即要在函数主题的视角下审视三角函数试题，体现单元的联系性与整体性．
3．挑战僵化思维，突出对分析、转化能力的考查
2022年本部分多道试题，情境都是比较新颖的，比如新高考全国Ⅱ卷理科第6题，给出多个角，将角之间的内在联系隐藏其中；第18题，以面积关系给出条件；课标甲卷文理科第16题中给出一个特殊角120°；理科第12题，比较三个数的大小，需要根据要比较的对象构建不同的求解路径；新高考全国Ⅰ卷第6题，课标甲卷理科第11题，都是考查函数图象变化的题目，需要化动为静求解；北京卷的第10题，与向量结合，提供不同的方法选择；等等．求解时，需要学生认真审题，找到相关的基本知识或基本方法，将题中条件进行化简、转化，不同的转化路径得到的求解方法难易繁杂程度不同，将会给学生形成隐性的区分．这种命题导向，充分体现出打破机械训练，突出考查学生分析、转化，进而求解问题的能力和灵活的思维能力．体现了新时代对创新型人才的要求．
四．复习的思考与建议
1．化简是破解三角部分试题的秘籍
命题是化妆，解题是化简．当你遇到新情境或复杂题目不知所措时，最有效的破解之道就是化简，识别真本，找到思路，如全国新高考Ⅱ卷18题．
化简的基础是公式，包括公式的正用、逆用、变形使用，以及对公式中角的关系灵活搭配，如全国新高考Ⅱ卷6题，全国甲卷文理16题．
三角部分公式多，又互相联系，化简的作用尤为重要．没有思路时，动笔化简，就是尝试、探索，通过化简能沟通、联系发现求解方向，调整思路，选择方法，就会有柳暗花明之惊喜．
养成化简探路的意识、掌握熟练的化简技能，是破解三角试题的秘籍．不同化简路径对应不同的计算求解方案，这也是数学运算素养的体现．
2．函数视角是求解三角试题的高观点
三角函数的试题有三种路径可以回归到函数主题之下．
一是如全国乙卷文8那样，按照函数图象与性质研究的基本方法研究三角函数；
二是如全国乙卷文11，甲卷理12那样，利用导数研究三角函数的综合问题；
三是如新高考全国Ⅱ卷18、全国甲卷文理16等那样，经过消元转化为函数值域或基本不等式问题．
第四，三角函数自身的图象性质当然也是核心，如新高考全国Ⅰ卷6、新高考全国Ⅱ卷9那样．
所以在复习阶段要打通三角函数与幂函数、指数函数、对数函数及导数方法之间的联系，在函数主题的整体观之下审视三角函数试题，形成求解此类问题的方法包，遇到具体问题时，会有一个工具包方便学生进行选择，这就是解题经验的积累与梳理，也是对学生思维灵活性、分析问题能力的培养．
3．用数学探究的方式构建优良的知识结构
要做到如上两点，关键是要通过复习建构三角函数的知识体系，不仅仅是罗列，而是在函数研究一般观念的指导下，建立起三角函数的知识结构图，使得知识互联互通，灵活转化，相互迁移．
这就需要回归数学的真本，按照数学探究的理念，从一个点出发，不断地变式，引发出所有的三角函数知识，使得它们成为一个同源的知识体系，用完整的结构体系培养学生思维的严谨性，消灭易错点，理解每一个知识点的来龙去脉、每一个技能的理论依据、每一种思想的具体载体，掌握每一种方法的使用条件．
比如掌握了正弦函数的图象与性质，就可以通过图象变换或者换元掌握其他正弦型函数的图象特征，掌握了静态的正弦函数图象与性质，就可以通过卡边界，化动为静，解决类似2022年甲卷理科第11题的试题等．
这就是探究思想方法的应用，它解决的一类题，而不是一堆题．注重联系中的变化，而不是类型的固化．
4．研究十年的三角真题是融会贯通之道
现在复习资料空前丰富，这就需要教师进行整合，建议研究高考真题，至少通过研究十年的高考真题把握高考命题的历史演进和价值取向，确定复习的方向．甚至可以研究二十年的试题，之前的试题可能有一些不同的考查方式，因为使用不便后来不再用了，但是在新时期会不会经过优化之后再次出现呢？也有可能．比如2020年课标Ⅱ卷理科第2题考点与1998年全国卷文理第6题一致等等．
事实上，只要你静心做完10年至20年的高考题，你就会有许多的感悟，再予以梳理就可以确定你的复习思路．将这些题目与基本知识结构对接，基本上可以形成一种全覆盖，于是“四基”与试题完美对接，概念性知识与程序性知识完美融合，解题助力理解知识，知识的理解助力解题能力的提升，形成良性循环的发展态势．
5．回归课本，设立专题，自然求解是培养学生分析问题能力的捷径
教学思路的转变也是很重要的一个方面，现在教学中常见的是脱离教材、罗列结论、题型加训练，导致的结果是即没有培养了计算能力，也没有培养了思维能力，一遇到新情境题就束手无策，比如课标Ⅰ卷理科2020年、2022年第19题，很多高考120分以上的学生在此类题目上都是一分不得．
其一，是梳理教材，构建专题．比如，针对新高考全国Ⅰ卷6、新高考全国Ⅱ卷9，可设专题“函数的图象与性质”．
第一步，基本知识梳理及关系构建，包括①正弦、余弦函数的图象与性质；②函数的图象与性质；③函数的图象与正弦函数图象的关系．
第二步，基本题型总结及思想提炼，包括①教科书中相关题目整理，并回归基本知识；②高考真题整理，及其与教科书中题目的关系分析，进而回归基本知识．
第三步，新题编制及变式应用，由老师或学生自编题目，在此过程中进一步深化对“四基”的理解．
第四步，类比研究正切函数的图象与性质．
第五步，在函数主题视角下统整三角函数的图象与性质．
其二，是在分析求解问题时，要注重按照数学知识、数学思维自然发展线索设计问题，引导思维，注重转化，建立联系．

参考答案：
1．A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A

2．AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．

3．C
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．
故选：C．

4．D
【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得，结合正弦函数的图像分析得出答案．
【详解】当时，，
∵f（x）在有且仅有5个零点，
∴，
∴，故④正确，
由，知时，
令时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当时，，
若f（x）在单调递增，
则 ，即 ，
∵，故③正确．
故选D．
【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．
5．A
【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．
【详解】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A．



【点睛】
利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数；
6．
【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：

7．A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.

8．D
【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.
【详解】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D

9．A
【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．

10．C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故

11．B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0