陕西省实验中学2023届高三上学期第四次模拟考试理科数学试题及答案

这是一份陕西省实验中学2023届高三上学期第四次模拟考试理科数学试题及答案，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
陕西省实验中学2023届高三上学期第四次模拟考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知i是虚数单位，复数，则复数的虚部为（    ）A． B． C． D．2．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．3．的展开式中的系数为A．10 B．20 C．40 D．804．已知，，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（    ）A．相交 B．外切 C．内切 D．相离5．若，则（    ）A． B． C． D．6．如图，在正方体中，点E，F分别是棱，的中点，点G是棱的中点，则过线段AG且平行于平面的截而图形为（    ）A．等腰梯形 B．三角形 C．正方形 D．矩形7．函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．8．某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）之间的关系为：（其中，是正常数）.已知经过1h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤60%的污染物需要的时间最接近（    ）（参考数据：）A．3h B．4h C．5h D．6h9．在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（    ）A． B． C． D．10．某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为（    ）A．24 B．36 C．60 D．24011．已知双曲线C:，过右焦点F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为点A，与C的另一条渐近线交于点B，若，则C的离心率为（      ）A．2 B． C． D．12．已知，其中为自然对数的底数，则（    ）A． B．C． D． 二、填空题13．若，则__________．14．若直线是曲线和的公切线，则实数的值是______.15．已知抛物线上有两动点，，线段的中点到轴距离的是2，则线段长度的最大值为______. 三、双空题16．中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳马”的内切球表面积为_________，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为________． 四、解答题17．某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了60名男生和60名女生，通过调查得到如下数据：60名女生中有10人课间经常进行体育活动，60名男生中有20人课间经常进行体育活动.(1)请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联； 课间不经常进行体育活动课间经常进行体育活动合计男   女   合计    (2)以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列、数学期望和方差. 附表：0. 10. 050. 010. 0050. 0012. 7063. 8416. 6357. 87910. 828 附：，其中.18．已知是数列的前项和，已知目，(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.19．如图，在四棱锥中，，，，是棱的中点，且平面(1)证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值.20．已知椭圆C：的离心率为，的面积为2.(I)求椭圆C的方程；(II)设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q.求证:△BPQ为等腰三角形.21．已知函数的极值为．(1)求p的值，并求的单调区间；(2)若，证明：．22．在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）．(1)写出曲线的普通方程；(2)设为曲线上的一点，将绕原点逆时针旋转得到．当运动时，求的轨迹．23．已知函数 .(1)若，求函数的定义域；(2)若，求证:.
参考答案：1．B【分析】根据复数运算法则即可得到答案.【详解】因为,所以复数的虚部为.故选：B.2．C【分析】根据集合的表示求得集合，按照集合的并集运算即可.【详解】解：由已知有，所以.故选：C.3．C【详解】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得令,则所以故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．4．B【分析】由题意求出动点的轨迹方程,再由两圆圆心距与半径的关系判断.【详解】设,由题意可知,整理得,点的轨迹方程为,其图形是以为圆心，以2为半径的圆，而圆的圆心坐标为,半径为1,可得两圆的圆心距为3,等于,则动点的轨迹与圆的位置关系是外切.故选：B.5．D【分析】通过化弦为切得，代入数据即可.【详解】由已知可得,则则故选：D.6．A【分析】利用平行作出截面图形，即可判断形状.【详解】取BC中点H，连接AH，GH，，.如下图所示：由题意得，.又平面，平面，平面，同理平面.又，平面，平面平面，故过线段且与平面平行的截面为四边形，显然四边形为等腰梯形.故选：A7．A【分析】根据函数的奇偶性以及特殊点的函数值求得正确答案.【详解】，所以的定义域为，，所以是奇函数，图象关于原点对称，排除BD选项.，排除C选项，所以A选项正确.故选：A8．B【分析】由题意可得，进而利用指数与对数的关系可得，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可【详解】由题意可知，所以，设过滤60%的污染物需要的时间为，则，所以，所以，比较接近4.故选：B9．B【分析】设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．【详解】如图所示：设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为．设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以．故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件对应的区域面积，即可顺利解出．10．C【分析】分两种情况分类计算，一种是基地只有甲同学在，另外一种是A基地有甲同学还有另外一个同学也在，两种情况相加即可.【详解】当基地只有甲同学在时，那么总的排法是种；当A基地有甲同学还有另外一个同学也在时，那么总的排法是种；则甲同学被安排到A基地的排法总数为种.故选：C11．C【分析】结合点到直线的距离公式、角平分线的性质求得，进而求得离心率.【详解】右焦点，一条渐近线为，到的距离为，即，由于，所以，由于，由正弦定理得，而，所以，所以.故选：C12．B【分析】观察，发现都含有，把换成，自变量在或其子集范围内构造函数，利用导数证明其单调性，比较的大小.【详解】令，，令，，当时，，单调递增，又，所以，又，所以，在成立，所以即，令，，在为减函数，所以，即，令，，在为减函数，所以，即，所以，成立，令，则上式变为，所以所以，所以.故答案为：B.【点睛】比较大小题目，是高考的热点，也是难点，通过观察和构造函数是基本的解题要求，难点在于构造后的证明，需要平时多积累常见的结论，达到深入理解，举一反三，融会贯通.13．##0.5【分析】利用辅助角公式得即可求出即可求解.【详解】因为,所以 即，所以，所以故答案为: .14．1【分析】设直线与曲线分别相切于点,利用导数求出曲线在点处的切线方程,以及曲线在点处的切线方程,可得出关于的方程组,解出这两个量的值,即可求得的值.【详解】设直线与曲线分别相切于点,对函数求导得,则，曲线在点处的切线方程为,即,对函数求导得,则,曲线在点处的切线方程为,即,所以，化简可得，故答案为：1.15．5【分析】根据椭圆定义及三角形三边关系得，再结合梯形中位线性质即可得到最值.【详解】设抛物线的焦点为,点在抛物线的准线上的投影为,点在直线上的投影为,线段的中点为,点到轴的距离为2,则,当且仅当,即、、三点共线时等号成立，所以的最大值为5.故答案为：5.16．          ##【分析】因为内切球的球心到几何体每个面的距离相等，利用半径，几何体表面面积，几何体体积之间的关系，可以求出半径；建立空间直角坐标系，由第一空可得内切球球心坐标，将几何体补全成长方体可得外接球球心坐标，计算两点间距离.【详解】如图，为正方形，设垂直于平面，由题，，因为，，所以平面ADP，所以，为直角三角形，由题，，四棱锥表面积，体积，设内切球半径为r，则，得，内切球表面积为；以DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，因为内切球半径，所以内切球球心，因为该四棱锥可以补全为棱长分别为3，3，4的长方体，所以外接球球心，两点间距离.故答案为：；17．(1)表格见解析，有关联(2)分布列见解析，数学期望为1，方差为 【分析】（1）计算卡方，根据独立性检验方法求解即可；（2）根据二项分布的分布列与数学期望和方差公式求解即可【详解】（1）零假设为：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关，依题意，列出列联表如下： 课间不经常进行体育活动课间经常进行体育活动合计男402060女501060合计9030120 ，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0. 05（2）由题意得，经常进行体育活动者的频率为，所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4，由题意得，所以，，，，，，的分布列为：01234 的数学期望为，的方差为.18．(1)，.(2)，其中. 【分析】对于（1），先由可得表达式，再由，其中.可得的通项公式；对于（2），由（1）可得，则，据此可得数列的前项和.【详解】（1）由题，又由，.可得，.故.则当，时，.又时，，故数列的通项公式是，.（2）由（1）可知，，则.则当为偶数时，.当为奇数时，.综上：，其中.19．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取中点，连接，，，证明故面，，得到答案.（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，得到平面法向量和平面法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】（1）取中点，连接，，，，面，面，故面，面，，面面，平面平面，平面平面，故.，，，，故，，是中点，故，，平面，故面，，故面.（2）如图所示以为轴建立空间直角坐标系，，，，，，，设平面法向量为， ，取，，设平面法向量为，，取，，，设二面角的平面角为，.20．(I)；(II)证明见解析【解析】(I)运用椭圆离心率公式和三角形面积公式，结合的关系，解方程可得，从而得到椭圆方程(II) 设，直线的直线方程为直线的直线方程为，联解求出点坐标，同理求出坐标，,，只需证明,利用作差法可证明.【详解】(I)由题意得，解得，故椭圆的方程为.(II)由题意得,设点，则有，又直线的直线方程为，直线的直线方程为，，解得，点的坐标为.又直线的直线方程为，直线的直线方程为.，解得，点的坐标为.，. ，，，△BPQ为等腰三角形.【点睛】圆锥曲线中的几何证明问题多出现在解答题中，难度较大，多涉及线段或角相等以及位置关系的证明等. 通常利用代数方法，即把要求证的等式或不等式用坐标形式表示出来，然后进行化简计算等进行证明21．(1)；单调减区间为，单调增区间为；(2)证明见解析. 【分析】（1）根据极值点处导数为零，以及函数的极值，列出方程求得参数；再利用导数判断函数单调性即可；（2）构造函数，根据其单调性，通过证明，即可证明结果.【详解】（1）设的极值点为，，则，解得，，经检验，时满足题意．所以，，当时，，当时，，所以的单调减区间为，单调增区间为．（2）不妨设，因为，由（1）知，，．设函数，，则，所以在上单调递减，所以，即，所以，即．又，，所以，即．由，得，又，所以所以，即，得证．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数由函数极值求参数，以及利用导数求函数单调性和证明不等式；第二问处理的关键是如何逆向思考，得到构造的思路，属综合困难题.22．(1)(2) 【分析】(1)由参数方程消去参数方程可得其普通方程；(2) 设，则，将的直角坐标代入对应的直角坐标方程可得其极坐标，再将其化为直角坐标方程可得.【详解】（1）∵，∴曲线的普通方程为；（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设，则，则点的直角坐标为，∴∴，∴，即，∴点的轨迹方程为．23．(1)(2)证明见解析 【分析】(1) 若，则函数，要使函数有意义，则对数的真数大于零，解不等式即可求解；(2先利用柯西不等式和实数的取值范围得到，然后整理变形，再根据对数的单调性即可证明.【详解】（1）若，则函数，要使函数有意义，则有，即 ，所以 ，所以 ， 得，所以函数 的定义域为.（2）由柯西不等式， 得 由 ， 得， 所以，所以 ，所以 ， 即.