陕西省榆林市2023届高三下学期第四次模拟检测理科数学试卷+答案

这是一份陕西省榆林市2023届高三下学期第四次模拟检测理科数学试卷+答案，共14页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上，本试卷主要考试内容，)9的展开式中含x3项的系数为等内容，欢迎下载使用。

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榆林市2022～2023年度第四次模拟考试
数学试题(理科)
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。
2．请将各题答案填写在答题卡上。
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合P＝{－2，2}，集合Q＝{－1，0，2，3}，则P∪Q＝( )
(A)[－2，3]
(C){2}
(B){－2，－1，0，2，3}
(D){－2，－1，0，3}
2．复数z＝(1－i)(3＋i)，则复数z在复平面内对应的点位于( )
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
3．双曲线－＝1的一条渐近线方程为( )
(A)3x－4y＝0
(B)4x－3y＝0
(C)x＋2y＝0
(D)2x－y＝0
4．若tan(α＋)＝，则tanα＝( )
(A)－
(B)
(C)－
(D)
5．若函数f(x)＝x2－e(a∈R)，若f(x)的图象在x＝0处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则a＝( )
(A)
(B)2
(C)±2
(D)±
6．将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变)，所得图象的一条对称轴为x＝( )
(A)
(B)
(C)
(D)
7．已知a＝log3，b＝0.30.5，c＝0.5，则( )
(A)c＜b＜a
(B)c＜a＜b
(C)a＜b＜c
(D)b＜c＜a
8．(5x2＋)9的展开式中含x3项的系数为( )
(A)C·53·86
(B)C·54·85
(C)C·52·87
(D)C·55·84
9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，CD的中点，则异面直线MN与BC1所成角的余弦值为( )
(A)
(B)
(C)
(D)

10．某学校举行了一次航天知识竞赛活动，经过班级初选后一共100名学生参加学校决赛，把他们的成绩(满分100分)分成[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]共五组，并得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40．分析样本数据后，发现学生的竞赛分数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差．若某学生的成绩高于79.9即给该学生颁发优胜奖杯，则估计此次竞赛获得优秀奖杯的人数为(结果根据四舍五入保留到整数位)( )
参考数据：随机变量X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0. 9545，≈10.9．
(A)15
(B)16
(C)34
(D)35

11．已知球O的内接三棱锥P－ABC的体积为6，且PA，PB，PC的长分别为6，3，2，则三棱锥A－BOC的体积为( )
(A)2
(B3
(C)4
(D)6
12．已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且g(x)＝2f(x＋1)－2，2f(x)＋g(x－3)＝2．若y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称，且f(1)＝3，现有四个结论：①g(0)＝4；②4为g(x)的周期；③g(x)的图象关于点(2，0)对称；④g(3)＝0．其中结论正确的编号为( )
(A)②③④
(B)①③④
(C)①②④
(D)①②③
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量a＝(3，2)，b＝(λ，－4)，若a⊥(a－b)，则λ＝ ▲ ．
14．中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．张三和李四下棋，张三获胜的概率是，和棋的概率是，则张三不输的概率为 ．
15．已知抛物线C：y2＝4x的顶点为O，经过过点A，且F为抛物线C的焦点，若|AF|＝3|OF|，则△OAF的面积为 ．
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝2sinB，则A＝ ▲ ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(12分)已知等差数列{an}中，a1＋a5＝7，a6＝．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{}的前n项和为Sn．




18．(12分)推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择．某社区开展有关垃圾分类的知识测试．已知测试中有A，B两组题，每组都有4道题目，甲对A组其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道题做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．甲对B组每道题做对的概率为0.6，甲可以选择从A组中任选2道题或从B 组中任选2道题．
(1)若甲选择从A组中任选2道题，设X表示甲答对题目的个数，求X的分布列和期望；
(2)以答对题目数量的期望为依据，判断甲应该选择哪组题答题．








19．(12分)在如图所示的三棱锥D－ABC中，已知AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，2AB＝AC＝AD＝4，E为AB的中点，F为AC的中点，G为CD的中点．
(1)证明：AD∥平面EFG．
(2)求平面BCD与平面EFG夹角的余弦值．





20．(12分)已知函数f(x)＝x2－3ax＋2a2lnx，a≠0．
(1)讨论f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有3个零点，求a的取值范围．





21．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2．
(1)求椭圆C的方程．
(2) P为第一象限内椭圆C上一点，直线PF1，PF2与直线x＝5分别交于A，B两点，记△PAB和△PF1F2的面积分别为S1，S2，若＝，求|AB|．







(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x＋y＝5，圆M以(3，0)为圆心且与l相切．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆M的极坐标方程；
(2)若射线θ＝α(0＜α＜，ρ＞0)与圆M交于点A，B两点，且＋＝，求直线AB的直角坐标方程．










23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋2|的最小值为M．
(1)解关于x的不等式f(x)＜M＋|2x＋2|；
(2)若正数a，b满足a2＋2b2＝M，求2a＋b的最大值．













榆林市2022～2023年度第四次模拟考试
数学试题解析(理科)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合P＝{－2，2}，集合Q＝{－1，0，2，3}，则P∪Q＝( )
(A)[－2，3]
(C){2}
(B){－2，－1，0，2，3}
(D){－2，－1，0，3}
【答案】B
【解析】因为集合P＝{－2，2}，集合Q＝{－1，0，2，3}，所以P∪Q＝{－2，－1，0，2，3}，故选(B)．
2．复数z＝(1－i)(3＋i)，则复数z在复平面内对应的点位于( )
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
【答案】D
【解析】因为z＝(1－i)(3＋i)＝4－2i，所以复数z在复平面内对应的点位于第四象限，故选(D)．
3．双曲线－＝1的一条渐近线方程为( )
(A)3x－4y＝0
(B)4x－3y＝0
(C)x＋2y＝0
(D)2x－y＝0
【答案】D
【解析】令－＝0，可得：2x±y＝0，故选(D)．
4．若tan(α＋)＝，则tanα＝( )
(A)－
(B)
(C)－
(D)
【答案】A
【解析】
解法1：因为tan(α＋)＝＝＝，所以tanα＝－，故选(A)．
解法2：tanα＝tan(α＋－)＝＝－，故选(A)．
5．若函数f(x)＝x2－e(a∈R)，若f(x)的图象在x＝0处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则a＝( )
(A)
(B)2
(C)±2
(D)±
【答案】D
【解析】f(x)＝x2－e，f '(x)＝2x＋ae，所以f '(0)＝a，f (0)＝－1，f(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝ax－1，所以该切线与坐标轴围成三角形的面积×1×＝1，解得：a＝±，故选(D)．
6．将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变)，所得图象的一条对称轴为x＝( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】C
【解析】
解法1：将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位长度，得到的是函数y＝cos2(x－)＝cos(2x－)，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的，得到的是函数y＝cos(4x－)，令4x－＝kπ(k∈Z)，解得：x＝＋(k∈Z)，故选(C)．
解法2：函数y＝cos2x的一条对称轴为x＝0，将其向右平移个单位长度，再将横坐标缩小到原来的，可得：x＝，故选(C)．
7．已知a＝log3，b＝0.30.5，c＝0.5，则( )
(A)c＜b＜a
(B)c＜a＜b
(C)a＜b＜c
(D)b＜c＜a
【答案】C
【解析】因为a＝log3∈(0，0.5)，b＝0.30.5∈(0.5，1)，c＝0.5∈(1，2)，所以a＜b＜c，故选(C)．
8．(5x2＋)9的展开式中含x3项的系数为( )
(A)C·53·86
(B)C·54·85
(C)C·52·87
(D)C·55·84
【答案】B
【解析】(5x2＋)9的展开式中含x3项为C(5x2)4()5＝C·54·85x3，故选(B)．
9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，CD的中点，则异面直线MN与BC1所成角的余弦值为( )
(A)
(B)
(C)
(D)

【答案】A
【解析】取B1C1的中点E，连结ME，EN，则平面ME∥CC1，所以∠EMN即为异面直线MN与BC1所成角，在△EMN中，M N＝EN＝，ME＝，cos∠EMN＝＝，故选(A)．
10．某学校举行了一次航天知识竞赛活动，经过班级初选后一共100名学生参加学校决赛，把他们的成绩(满分100分)分成[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]共五组，并得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40．分析样本数据后，发现学生的竞赛分数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差．若某学生的成绩高于79.9即给该学生颁发优胜奖杯，则估计此次竞赛获得优秀奖杯的人数为(结果根据四舍五入保留到整数位)( )
参考数据：随机变量X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0. 9545，≈10.9．
(A)15
(B)16
(C)34
(D)35

【答案】B
【解析】由题意：第三组的频率为0.4，第四组的频率为0.15，所以μ＝50×0.1＋60×0.25＋70×0.4＋80×0.15＋90×0.1＝69；σ2＝(50－69)2×0.1＋(60－69)2×0.25＋(70－69)2×0.4＋(80－69)2×0.15＋(90－69)2×0.1＝119，σ≈10.9，P(X＞79.9)＝≈0.15865，此次竞赛获得优秀奖杯的人数为：100×0.15865≈16，故选(B)．
11．已知球O的内接三棱锥P－ABC的体积为6，且PA，PB，PC的长分别为6，3，2，则三棱锥A－BOC的体积为( )
(A)2
(B3
(C)4
(D)6
【答案】B
【解析】VP－ABC＝VC－PA B≤××PA×PB×PC＝6，所以PA，PB，PC互相垂直，而O为三棱锥P－ABC的外接球球心，所以VA－BOC＝VO－ABC＝VD－ABC＝VP－ABC＝3，故选(B)．

12．已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且g(x)＝2f(x＋1)－2，2f(x)＋g(x－3)＝2．若y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称，且f(1)＝3，现有四个结论：①g(0)＝4；②4为g(x)的周期；③g(x)的图象关于点(2，0)对称；④g(3)＝0．其中结论正确的编号为
( )
(A)②③④
(B)①③④
(C)①②④
(D)①②③
【答案】C
【解析】因为f(x)，g(x)的定义域均为R，g(x)＝2f(x＋1)－2，f(1)＝3，所以g(0)＝2f(1)－2＝4，①正确；又因为2f(x)＋g(x－3)＝2，所以2f(x＋1)＋g(x－2)＝2，g(x)＝－g(x－2)，即：g(x)＝g(x－4)，故4为g(x)的周期，②正确；因为y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称，2f(x)＋g(x－3)＝2，所以g(x－3)＝g(x＋1)关于直线x＝1对称，g(x)关于直线x＝2对称，③错误；而g(3)＝－g(1)＝g(1)，所以g(3)＝g(1)＝0，④正确，故选(C)．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量a＝(3，2)，b＝(λ，－4)，若a⊥(a－b)，则λ＝ ▲ ．
【答案】7
【解析】因为a⊥(a－b)，所以(a－b)•a＝0，即：a•b＝a2，3λ－8＝13，λ＝7．
14．中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．张三和李四下棋，张三获胜的概率是，和棋的概率是，则张三不输的概率为 ．
【答案】
【解析】P＝＋＝．
15．已知抛物线C：y2＝4x的顶点为O，经过过点A，且F为抛物线C的焦点，若|AF|＝3|OF|，则△OAF的面积为 ．
【答案】
【解析】设A(x0，y0)，则|AF|＝x0＋1＝3|OF|＝3，x0＝2，|y0|＝，故△OAF的面积＝|y0|＝．
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝2sinB，则A＝ ▲ ．
【答案】
【解析】因为sinC＝2sinB，所以c＝2b，又因为a2－b2＝3bc，所以cosA＝＝＝－，A＝．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(12分)已知等差数列{an}中，a1＋a5＝7，a6＝．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{}的前n项和为Sn．
【解析】(1)因为a1＋a5＝2a3＝7，所以a3＝，而a6＝，所以{an}的公差d＝＝1，an＝a3＋(n－3)d＝；
(2)＝＝2(－)，Sn＝2(－＋－＋…＋－)＝2(－)＝．
18．(12分)推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择．某社区开展有关垃圾分类的知识测试．已知测试中有A，B两组题，每组都有4道题目，甲对A组其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道题做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．甲对B组每道题做对的概率为0.6，甲可以选择从A组中任选2道题或从B 组中任选2道题．
(1)若甲选择从A组中任选2道题，设X表示甲答对题目的个数，求X的分布列和期望；
(2)以答对题目数量的期望为依据，判断甲应该选择哪组题答题．
【解析】(1)记甲选择从A组中任选2道题，选到的2道题都有思路为事件M，只有1道题有思路为事件N，则P(M)＝＝，P(N)＝．X的可能取值为0，1，2．
P(X＝0)＝×(1－)2＋×(1－)×(1－)＝；
P(X＝1)＝×C×(1－)×＋×[×(1－)＋(1－)×]＝；
P(X＝2)＝×()2＋××＝；
X的分布列为：
X
0
1
2
P



EX＝0×＋1×＋2×＝．
(2)设甲从B 组中任选2道题作答，答对题目数量为Y，则Y～B(2，0.6)，EY＝2×0.6＝1.2＞EX＝，故甲应该选择B组题答题．
19．(12分)在如图所示的三棱锥D－ABC中，已知AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，2AB＝AC＝AD＝4，E为AB的中点，F为AC的中点，G为CD的中点．
(1)证明：AD∥平面EFG．
(2)求平面BCD与平面EFG夹角的余弦值．

【解析】(1)因为F为AC的中点，G为CD的中点，所以AD∥GF，又因为AD⊄平面EFG，GF⊂平面EFG，所以AD∥平面EFG；
(2)解法1：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2，0，0)，D(0，0，4)，C(0，4，0)，＝(－2，4，0)，＝(0，4，－4)，＝(－1，2，0)，＝(0，0，2)，设平面BCD的法向量为＝(x，y，z)，由可得：，令y＝1，则＝(2，1，1)，设平面EFG的法向量为＝(x1，y1，z1)，由可得：，令y1＝1，则＝(2，1，0)，cos<，>＝＝，故平面BCD与平面EFG夹角的余弦值为．
解法2：取BD的中点H，连结EH，GH，过点A作AM⊥BC于M，交EF于N，连结DM交GH于O，连结ON，则H∈平面EFG，因为AB⊥AD，AC⊥AD，所以AD⊥平面ABC，AD⊥BC，而AM⊥BC，所以BC⊥平面ADM，又因为BC∥GH，所以GH⊥平面ADM，而平面EFG∩平面BCD＝GH，所以∠MON平即为面BCD与平面EFG所成角，由(1)可得：AD∥平面EFG，平面EFG∩平面ADM＝ON，所以AD∥ON，∠MON＝∠ADM．而AM＝＝，DM＝＝，cos∠ADM＝＝，故平面BCD与平面EFG夹角的余弦值为．
20．(12分)已知函数f(x)＝x2－3ax＋2a2lnx，a≠0．
(1)讨论f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有3个零点，求a的取值范围．
【解析】(1)因为f(x)＝x2－3ax＋2a2lnx，所以f'(x)＝，而a≠0，所以当a＞0时，f(x)的增区间为(0，a)和(2a，＋∞)，减区间为(a，2a)；当a＜0时，f(x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间；
(2)因为f(x)有3个零点，所以a＞0，f(a)＝2a2(lna－)＞0，f(2a)＝2a2(ln2a－2)＜0，解得：e＜a＜，此时f(1)＝－3a＜0，f(6a)＝2a2ln6a＞0，f(x)在(1，a)、(a，2a)和(2a，6a)各有1个零点，共有3个零点，满足题意，所以a的取值范围为(e，)．
21．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2．
(1)求椭圆C的方程．
(2) P为第一象限内椭圆C上一点，直线PF1，PF2与直线x＝5分别交于A，B两点，记△PAB和△PF1F2的面积分别为S1，S2，若＝，求|AB|．
【解析】(1)因为e2＝＝＝1－＝，所以a2＝16，b2＝7，C的方程为：＋＝1．
(2)F1(－3，0)，F2(3，0)，设P(x0，y0)(0＜x0＜4且x0≠3)，＝＝·＝，当x0＜3时，＞1不成立，3＜x0＜4时，＝，解得：x0＝，|y0|＝，此时S1＝|AB|(5－x0)＝|AB|＝S2＝×3|y0|，故|AB|＝．
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x＋y＝5，圆M以(3，0)为圆心且与l相切．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆M的极坐标方程；
(2)若射线θ＝α(0＜α＜，ρ＞0)与圆M交于点A，B两点，且＋＝，求直线AB的直角坐标方程．
【解析】(1)圆M的半径r＝＝，设P(ρ，θ)为圆M上的任意一点，则在△OPM中，由余弦定理可得：2＝ρ2＋9－6ρcosθ，即：ρ2－6ρcosθ＋7＝0，故圆M的极坐标方程为：ρ2－6ρcosθ＋7＝0；
(2)令θ＝α，可得：ρ2－6ρcosα＋7＝0，＋＝＝＝，解得：cosα＝，而0＜α＜，故tanα＝，直线AB的直角坐标方程为y＝x．
23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋2|的最小值为M．
(1)解关于x的不等式f(x)＜M＋|2x＋2|；
(2)若正数a，b满足a2＋2b2＝M，求2a＋b的最大值．
【解析】(1)f(x)＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|(2x－1)－(2x＋2)|＝3，当x＝－1时可取等号，故M＝3，不等式f(x)＜M＋|2x＋2|等价于|2x－1|＜3，解得：－1＜x＜2，故原不等式的解集为(－1，2)；
(2)由柯西不等式可得：(a2＋2b2)[22＋()2]≥(2a＋b)2，即：2a＋b≤，当且仅当a＝4b＝时取等号，故2a＋b的最大值为．