2022届陕西省西安中学高三上学期期中理科数学试题（word版含答案）

西安中学2021—2022学年度第一学期期中考试

高三数学(理科)试题

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在低小题诒出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 设复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点所在的象限为（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 给出如下四个命题：

①若“ p且”为假命题，则p、q均为假命题；

②命题若a > b ，则”的否命题为“若，则”；

③的否定是；

④“ a = 1 "是“函数的最小正周期为”的充要条件；

其中正确的命题的个数是（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

4. 已知数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，满足，则（    ）

A. 35 B. 40 C. 45 D. 50

5. 下列函数中，是偶函数且在区间(0，+)上单调递减的函数是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 某经济开发区经过五年产业结构调整和优化，经济收入比调整前翻了两翻，为了更好的了解该开发区的经济收入变化情况，统计了该开发区产业结构调整前后的经济收入构成比例，得到如图所示的饼状图，则下列选项正确的是（    ）

①产业结构调整后节能环保的收入与调整前的总收入一样多

②产业结构调整后科技研发的收入增幅最大

③产业结构调整后纺织服装收入相比调整前有所降低

④产业结构调整后食品加工收入超过调整前纺织服装的收入

A. ②③ B. ③④ C. ①②③ D. ①②④

7. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征，函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 已知，则=（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数，有两个相邻的极值点分别为和，为了得到函数的图象，只需将图象

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度

C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

10. 实数中的最大值和最小值分别为（    ）

A ， B. ， C. ， D.

11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若，且，则面积的最大值是

A.  B.  C.  D.

12. 如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，．若有，则在正方形的四条边上，使得成立的点有（    ）个．

A. 2 B. 4 C. 6 D. 0

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.

13. 已知向量，，若与垂直，则m=______

14. 设.则值为______

15. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问毕业会考数学成绩，老师说：“你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，”看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则可以知道自己成绩的同学是________.

16. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______.

三解答题:木大题共6小题，一共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算陟骤

17. 在直角坐标系中，圆C的参数方程(为常数)，以O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线的极坐标方程是，射线：与圆C的交点为，与直线的交点为，求线段的长.

18. 已知函数．

求函数的单调减区间；

将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．

19. 已知函数，.

（1）解不等式；

（2）对于，使得成立，求的取值范围.

20. 在锐角三角形ABC中，分别为角A，B，C的对边，且.

(1)求角C；

(2)若，求的周长的取值范围.

21. 2020年10月16日，是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC-801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如下表：

为了解该产品经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：

（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件，求事件发生的概率；

（2）若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值的件数的分布列及数学期望；

（3）若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表：

试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：，）.

22. 已知函数f(x)，g(x)＝lnx－1，其中e为自然对数底数．

（1）当x＞0时，求证：f(x)≥g(x)＋2；

（2）是否存在直线与函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象均相切？若存在，这样的直线最多有几条？并给出证明．若不存在，请说明理由．

西安中学2021—2022学年度第一学期期中考试

高三数学(理科)试题

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在低小题诒出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

2. 设复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点所在的象限为（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

3. 给出如下四个命题：

①若“ p且”为假命题，则p、q均为假命题；

②命题若a > b ，则”的否命题为“若，则”；

③的否定是；

④“ a = 1 "是“函数的最小正周期为”的充要条件；

其中正确命题的个数是（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

4. 已知数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，满足，则（    ）

A. 35 B. 40 C. 45 D. 50

【答案】C

5. 下列函数中，是偶函数且在区间(0，+)上单调递减的函数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

6. 某经济开发区经过五年产业结构调整和优化，经济收入比调整前翻了两翻，为了更好的了解该开发区的经济收入变化情况，统计了该开发区产业结构调整前后的经济收入构成比例，得到如图所示的饼状图，则下列选项正确的是（    ）

①产业结构调整后节能环保的收入与调整前的总收入一样多

②产业结构调整后科技研发的收入增幅最大

③产业结构调整后纺织服装收入相比调整前有所降低

④产业结构调整后食品加工的收入超过调整前纺织服装的收入

A. ②③ B. ③④ C. ①②③ D. ①②④

【答案】D

7. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征，函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

8. 已知，则=（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

9. 已知函数，有两个相邻的极值点分别为和，为了得到函数的图象，只需将图象

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度

C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

【答案】C

10. 实数中的最大值和最小值分别为（    ）

A. ， B. ， C. ， D.

【答案】A

11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若，且，则面积的最大值是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

12. 如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，．若有，则在正方形的四条边上，使得成立的点有（    ）个．

A. 2 B. 4 C. 6 D. 0

【答案】B

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.

13. 已知向量，，若与垂直，则m=______

【答案】7

14. 设.则的值为______

【答案】

15. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问毕业会考数学成绩，老师说：“你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，”看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则可以知道自己成绩的同学是________.

【答案】乙和丁

16. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______.

【答案】

三解答题:木大题共6小题，一共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算陟骤

17. 在直角坐标系中，圆C的参数方程(为常数)，以O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线的极坐标方程是，射线：与圆C的交点为，与直线的交点为，求线段的长.

【答案】（1）；（2）.

（1）利用，把圆C的参数方程(为参数)化为，即，

∴，即.

（2）设为点P的极坐标，由，解得.

设为点Q的极坐标，由，解得.

∵，∴.∴.

18. 已知函数．

求函数单调减区间；

将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．

【答案】（1）；（2）

函数，

当时,解得：，

因此，函数的单调减区间为．

将函数的图象向左平移个单位，可得的图象，

再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，

，，

的值域为．

19. 已知函数，.

（1）解不等式；

（2）对于，使得成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

解析：（1）由或或，解得或，

∴的解集为.

（2）当时，；.

由题意，得，即，即，

∴，解得.

∴的取值范围是.

20. 在锐角三角形ABC中，分别为角A，B，C的对边，且.

(1)求角C；

(2)若，求的周长的取值范围.

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）根据已知及正弦定理得到，再根据余弦定理可得到结果；

（2）利用正弦定理将周长表示关于内角A的三角函数，最后根据锐角三角形中角的范围及三角函数的性质求解.

【详解】(1)由已知及正弦定理可得，即，则，

因为，所以．

 (2)因为，，所以由正弦定理得，则，

的周长，

在锐角三角形ABC中得，所以

所以，所以，

所以的周长．

21. 2020年10月16日，是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC-801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如下表：

为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：

（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件，求事件发生的概率；

（2）若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值的件数的分布列及数学期望；

（3）若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表：

试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：，）.

【答案】（1）0.973；（2）分布列见解析，；（3）能盈利，当时，每件产品的平均利润达到最大

【详解】（1）设事件的概率为，则由频率分布直方图可得，

1件产品为废品的概率为，

则.

（2）由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，

的频率为；的频率为；

的频率为.

故利用分层抽样抽取的7件产品中，的有4件，的有2件，的有1件.

从这件产品中任取件产品，质量指标值的件数的所有可能取值为，，，

，，，

所以的分布列为

所以.

（3）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润（元）的关系如下表所示（）：

故每件产品的利润.

则，令得，

故当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减.

所以当时，取得最大值，为.

所以生产该产品能够盈利，当时，每件产品的利润取得最大值元.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是读懂频率分布直方图，每个小矩形的面积代表每一组的频率，准确利用分层抽样的特点，计算出质量指标值的有件，第三问的关键是读懂题意，求出每件产品的平均利润与的关系，利用导数求最值.

22. 已知函数f(x)，g(x)＝lnx－1，其中e为自然对数的底数．

（1）当x＞0时，求证：f(x)≥g(x)＋2；

（2）是否存在直线与函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象均相切？若存在，这样的直线最多有几条？并给出证明．若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）存在两条，证明见解析.

【解析】

【分析】（1）首先设，，利用导数求出单调区间得到，即证.

（2）首先设直线与切于，与切于，，利用导数几何意义得到切线，又因为切线又与相切，整理得到，设，再利用导数判断函数的零点即可证明有两条直线与函数及的图象均相切.

【详解】（1）设，，

.

因为在为增函数，且，

所以，，为减函数，

，，为增函数.

所以，，即证.

（2）设直线与切于，

与切于，.

，，，

所以切线为.

因为，即，即.

又因为，

将，代入，

得：，整理得.

设，，

因为在为增函数，且时，，

所以，，为减函数，

，，为增函数.

，

又因为，

，

所以在上有两个零点，

即方程有两个根，

所以有两条直线与函数及的图象均相切.