山东省德州市宁津县第四实验中学2022-2023学年上学期九年级期中数学试卷 (含答案)

这是一份山东省德州市宁津县第四实验中学2022-2023学年上学期九年级期中数学试卷 (含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

山东省德州市宁津县第四实验中学2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．保护环境，人人有责，下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知关于x的方程（m+3）x2+5x+m2﹣9＝0有一个解是0，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．不确定
3．将抛物线y＝先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线所对应的函数式为（　　）
A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x﹣2）2﹣3
C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2+3
4．若矩形的长和宽是关于x的方程2x2﹣8x+m＝0的两根，则矩形的周长为（　　）
A．8 B．4 C．2 D．6
5．已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于原点的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≤且a≠﹣2 B．a≤ C．a＜且a≠﹣2 D．a＜
7．在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣3）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
9．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为29米的篱笆围成，已知墙长为18米，为方便进入，在墙的对面留出1米宽的门（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为100平方米，根据题意正确的是（　　）

A．x（29﹣2x+1）＝100 B．x（29﹣2x﹣1）＝100
C．x（29﹣2x+1）＝100 D．x（29﹣2x﹣1）＝100
10．如图，已知△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝25°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（　　）

A．65° B．60° C．55° D．50°
11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（　　）

A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤
12．已知点E（x0，y0），F（x2，y2），点M（x1，y1）是线段EF的中点，则x1＝，y1＝．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1（即P，A，P1三点共线，且PA＝P1A），P1关于B的对称点为P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A，B，C为对称点重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2015的坐标是（　　）
A．（0，0） B．（0，2） C．（2，﹣4） D．（﹣4，2）
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
13．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是　 　．

14．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 　 　．
15．如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针旋转到△COD的位置，则旋转角为　 　．

16．如图所示的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线．以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点，则抛物线的解析式是　 　．

17．火车进站刹车后滑行的距离S（米）与滑行的时间t（秒）的函数关系式是S＝30t﹣1.5t2，要使火车刚好停在站台位置上，火车必须在离站台　 　米远处开始刹车．
18．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝　 　度．

三、解答题（本大题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）用适当的方法解方程：
（1）x2﹣3x﹣4＝0；
（2）（x+1）2＝2x+2．
20．（10分）已知抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）试判断△ABC的形状并说明理由．
21．（10分）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；
（2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标；
（3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并标出B2、C2两点的坐标．

22．（12分）如图在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．
（1）求证：AD＝DE；
（2）求∠DCE的度数．

23．（12分）已知某商品的进价是每件40元，现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件．据市场调查反映：销售价每涨1元，每星期要少卖出10件．
（Ⅰ）设每件涨价x元，每星期售出该商品所获利润为y元，写出y与x之间的函数关系式；
（Ⅱ）若商场计划每星期的利润是6160元，每件商品应涨价多少元？
（Ⅲ）每件商品涨价多少元，每星期可获得利润最大？最大利润是多少？
24．（12分）在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．

（1）将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：BE+DF＝EF；
（2）若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M、N（如图②），求证：EF2＝ME2+NF2．

25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴1上是否存在一点M，使MA+MC的值最小？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由．
（3）若点D是抛物线上的一点，且位于直线BC上方，连接CD、BD、AC．当四边形ABDC的面积有最大值时，求点D的坐标及四边形ABDC的面积．


山东省德州市宁津县第四实验中学2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共48分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．保护环境，人人有责，下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．已知关于x的方程（m+3）x2+5x+m2﹣9＝0有一个解是0，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．不确定
【分析】方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x＝0代入原方程即可求得m的值．
【解答】解：把x＝0代入原方程得m2﹣9＝0；
解得：m＝±3
故选：C．
3．将抛物线y＝先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线所对应的函数式为（　　）
A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x﹣2）2﹣3
C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2+3
【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【解答】解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线y＝先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是y＝（x﹣2）2﹣3．
故选：B．
4．若矩形的长和宽是关于x的方程2x2﹣8x+m＝0的两根，则矩形的周长为（　　）
A．8 B．4 C．2 D．6
【分析】设矩形的长为a，宽为b，根据一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝4，即可得到答案．
【解答】解：设矩形的长为a，宽为b，
∵矩形的长和宽是关于x的方程2x2﹣8x+m＝0的两根，
∴a+b＝﹣＝4，
∴矩形的周长为2（a+b）＝2×4＝8，
故选：A．
5．已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于原点的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先确定出点M在第三象限，然后根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数列出不等式组，然后求解得到m的取值范围，从而得解．
【解答】解：∵点M（1﹣2m，m﹣1）关于原点的对称点在第一象限，
∴点M（1﹣2m，m﹣1）在第三象限，
∴，
解不等式①得，m＞，
解不等式②得，m＜1，
所以，m的取值范围是＜m＜1，
在数轴上表示如下：．
故选：C．
6．关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≤且a≠﹣2 B．a≤ C．a＜且a≠﹣2 D．a＜
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+2≠0且△≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴△≥0且a+2≠0，
∴（﹣3）2﹣4（a+2）×1≥0且a+2≠0，
解得：a≤且a≠﹣2，
故选：A．
7．在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数y＝﹣mx+n2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝x2+m的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；
B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选：D．
8．已知A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣3）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】根据二次函数的性质可以判断y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣3）2+k，﹣1＜0，
∴当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小，
∵抛物线y＝﹣（x﹣3）2+k的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3），
|﹣1﹣3|＝4，|1﹣3|＝2，|4﹣3|＝1，
∴y1＜y2＜y3，
故选：A．
9．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为29米的篱笆围成，已知墙长为18米，为方便进入，在墙的对面留出1米宽的门（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为100平方米，根据题意正确的是（　　）

A．x（29﹣2x+1）＝100 B．x（29﹣2x﹣1）＝100
C．x（29﹣2x+1）＝100 D．x（29﹣2x﹣1）＝100
【分析】设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则这个苗圃园平行于墙的一边长为（29﹣2x+1）米，根据矩形的面积公式结合苗圃园的面积为100平方米，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则这个苗圃园平行于墙的一边长为（29﹣2x+1）米，
根据题意得：x（29﹣2x+1）＝100，
故选：A．
10．如图，已知△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝25°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（　　）

A．65° B．60° C．55° D．50°
【分析】由△ABD经旋转后到达△ACE的位置，而AB＝AC，根据旋转的性质得到∠BAC等于旋转角，即旋转角等于60°．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△ABD经旋转后到达△ACE的位置，
∴∠BAC等于旋转角，即旋转角等于60°．
故选：B．
11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（　　）

A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤
【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，得到b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x＝1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把ax12+bx1＝ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，然后把b＝﹣2a代入计算得到x1+x2＝2．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以④错误；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，所以⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
故选：C．
12．已知点E（x0，y0），F（x2，y2），点M（x1，y1）是线段EF的中点，则x1＝，y1＝．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1（即P，A，P1三点共线，且PA＝P1A），P1关于B的对称点为P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A，B，C为对称点重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2015的坐标是（　　）
A．（0，0） B．（0，2） C．（2，﹣4） D．（﹣4，2）
【分析】设P1（x，y），再根据中点的坐标特点求出x、y的值，找出规律即可得出结论．
【解答】解：设P1（x，y），
∵点P（0，2）关于A的对称点为P1，即A是线段PP1的中点，
∵点A（1，﹣1），
∴＝1，＝﹣1，解得x＝2，y＝﹣4，
∴P1（2，﹣4）．
同理可得，P1（2，﹣4），P2（﹣4，2），P3（4，0），P4（﹣2，﹣2），P5（0，0），P6（0，2），P7（2，﹣4），…，…，
∴每6个坐标循环一次．
∵＝335…5，
∴点P2015的坐标是（0，0）．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
13．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是　﹣3＜x＜1　．

【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
14．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 　300（1+x）2＝363　．
【分析】可先表示出第一年的产量，那么第二年的产量×（1+增长率）＝363，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：第一年的产量为300×（1+x），
第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为300×（1+x）×（1+x），
则列出的方程是300（1+x）2＝363．
故答案是：300（1+x）2＝363．
15．如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针旋转到△COD的位置，则旋转角为　90°　．

【分析】根据旋转的性质，对应边的夹角∠BOD即为旋转角，问题得解．
【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，
∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角，
∴旋转的角度为90°．
故答案为：90°．
16．如图所示的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线．以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点，则抛物线的解析式是　y＝﹣x2+x　．

【分析】根据题意可知抛物线经过点（0，0）、（12，0）、（6，4），然后利用待定系数法求解即可．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax（x﹣12），将点（6，4）代入得：﹣36a＝4．
解得：a＝﹣．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x．
故答案为：y＝﹣x2+x．
17．火车进站刹车后滑行的距离S（米）与滑行的时间t（秒）的函数关系式是S＝30t﹣1.5t2，要使火车刚好停在站台位置上，火车必须在离站台　150　米远处开始刹车．
【分析】火车停下时，也就是滑行最远时，即在本题中需求出s最大．
【解答】解：由题意，
s＝30t﹣1.5t2
＝﹣1.5t2+30t
＝﹣1.5（t2﹣20t+100﹣100）
＝﹣1.5（t﹣10）2+150，
∴火车必须在离站台150，
故答案为150．
18．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝　20　度．

【分析】根据旋转的性质可得AB＝AB′，∠BAB′＝40°，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠ABB′，再利用直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，
∴AB＝AB′，∠BAB′＝40°，
在△ABB′中，∠ABB′＝（180°﹣∠BAB′）＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠AC′B′＝∠C＝90°，
∴B′C′⊥AB，
∴∠BB′C′＝90°﹣∠ABB′＝90°﹣70°＝20°．
故答案为：20．
三、解答题（本大题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）用适当的方法解方程：
（1）x2﹣3x﹣4＝0；
（2）（x+1）2＝2x+2．
【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）因式分解得 （x+1）（x﹣4）＝0，
于是得x+1＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4；
（2）（x+1）2＝2x+2．
移项得 （x+1）2﹣2（x+1）＝0，
因式分解得 （x+1）（x+1﹣2）＝0，
于是得 x+1＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝1．
20．（10分）已知抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）试判断△ABC的形状并说明理由．
【分析】（1）利用顶点式直接得出顶点坐标A即可，令x＝0，得出与y轴交点B，利用对称性过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C；
（2）利用三角形的面积计算公式求得答案即可；
（3）分别求得AB、BC、AC，进一步利用勾股定理逆定理判定即可．
【解答】解：如图，

（1）抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A（5，0），
由x＝0，则y＝5，抛物线与y轴交，点B为（0，5），
因为对称轴为直线x＝5，所以点C的坐标为（10，5）；
（2）S△ABC＝×10×5＝25；
（3）AB＝AC＝5，BC＝10，
∵AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
21．（10分）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；
（2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标；
（3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并标出B2、C2两点的坐标．

【分析】（1）根据网格结构找出点B、C的对应点B1、C1的位置，然后与点A顺次连接即可；
（2）以点B向右3个单位，向下5个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出点A、C的坐标即可；
（3）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．
【解答】解：（1）△AB1C1如图所示；

（2）如图所示，A（0，1），C（﹣3，1）；

（3）△A2B2C2如图所示，B2（3，﹣5），C2（3，﹣1）．

22．（12分）如图在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．
（1）求证：AD＝DE；
（2）求∠DCE的度数．

【分析】（1）证明三角形ADE是等边三角形即可得出AD＝DE；
（2）由四边形的内角和为360°即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴三角形ADE是等边三角形，
∴AD＝DE；
（2）由（1）知∠AEC＝120°，∠DAE＝60°，
又∵∠ADC＝90°，
∴∠DCE＝360°﹣∠ADC﹣∠DAE﹣∠AEC＝360°﹣90°﹣120°﹣60°＝90°．

23．（12分）已知某商品的进价是每件40元，现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件．据市场调查反映：销售价每涨1元，每星期要少卖出10件．
（Ⅰ）设每件涨价x元，每星期售出该商品所获利润为y元，写出y与x之间的函数关系式；
（Ⅱ）若商场计划每星期的利润是6160元，每件商品应涨价多少元？
（Ⅲ）每件商品涨价多少元，每星期可获得利润最大？最大利润是多少？
【分析】（Ⅰ）由销售价每涨1元，每星期要少卖出10件知每星期实际可卖出（300﹣10x）件，再根据总利润＝每件利润×销售量可得函数解析式；
（Ⅱ）结合所得函数解析式及y＝6160建立关于x的方程，解之可得答案；
（Ⅲ）将函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）销售价每涨1元，每星期要少卖出10件，
∴每星期实际可卖出（300﹣10x）件，
y＝（60﹣40+x）（300﹣10x）
＝﹣10x2+100x+6000；

（Ⅱ）根据题意，得：﹣10x2+100x+6000＝6160，
整理，得：x2﹣10x+16＝0，
解得x1＝2，x2＝8，
答：若商场计划每星期的利润是6160元，每件商品应涨价2元或8元；

（Ⅲ）y＝﹣10x2+100x+6000＝﹣10（x﹣5）2+6250，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝5时，y取得最大值6250，
答：每件商品涨价5元，每星期可获得利润最大，最大利润是6250元．
24．（12分）在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．

（1）将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：BE+DF＝EF；
（2）若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M、N（如图②），求证：EF2＝ME2+NF2．

【分析】（1）由旋转的性质得出AG＝AF，BG＝DF，∠GAF＝90°，∠BAG＝∠DAF，证出∠GAE＝∠EAF，由SAS可得出△AEG≌△AEF即可证得BE+DF＝EF；
（2）连接GM，由正方形的性质和已知条件得出BE＝DF，得出BG＝DF＝BE＝BF，得出∠BMG＝45°，因此∠EMG＝90°，由勾股定理得出EG2＝MG2+ME2＝NF2+ME2，再由EG＝EF，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，
∴AG＝AF，BG＝DF，∠GAF＝90°，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝90°﹣45°＝45°，
即∠GAE＝∠EAF，
在△AEG和△AEF中，
，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴GE＝EF，
∵GE＝BE+GB＝BE+DF，
∴BE+DF＝EF；
（2）延长CB到G使得BG＝DF，连接AG，GM，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°，
∵∠CEF＝45°
∴CE＝CF，DF＝DN，BM＝BE，
∵BC＝CD，
∴BE＝DF，
∵BG＝DF，
∴BG＝DF＝BE＝BM＝DN，
∴∠BMG＝45°，∠FDN＝45°，
∵∠EMB＝45°，
∴∠EMG＝90°，
∴MG＝BM，NF＝DF，
∴MG＝NF，
∴EG2＝MG2+ME2＝NF2+ME2，
∵△AEG≌△AEF，
∴EG＝EF，
∴EF2＝ME2+NF2．

25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴1上是否存在一点M，使MA+MC的值最小？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由．
（3）若点D是抛物线上的一点，且位于直线BC上方，连接CD、BD、AC．当四边形ABDC的面积有最大值时，求点D的坐标及四边形ABDC的面积．

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）BC与直线l的交点即为点M，求出直线BC的解析式，当x＝时，即可求M（，）；
（3）过D点作DE∥y轴交BC于点E，设D（t，﹣t2+t+2），则E（﹣t+2），则S△BCD＝﹣t2+4t，从而得到S四边形ABCD﹣（t﹣2）2+9，当t＝2时，四边形ABDC的面积有最大值9，此时D（2，3）．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+2；
（2）存在点M，使MA+MC的值最小，理由如下：
∵点A与点B关于对称轴l对称，
∴BC与直线l的交点即为点M，
∵MA＝BM，
∴MA+MC＝MB+MC≥BC，
当B、C、M三点共线时，MA+MC的值最小，
令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
当x＝时，y＝﹣×+2＝，
∴M（，）；
（3）∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
∴AB＝5，OC＝2，
∴S△ABC＝5×2＝5，
过D点作DE∥y轴交BC于点E，
设D（t，﹣t2+t+2），则E（﹣t+2），
∴DE＝﹣t2+2t，
∴S△BCD＝4×（﹣t2+2t）＝﹣t2+4t，
∴S四边形ABDC＝﹣t2+4t+5＝﹣（t﹣2）2+9，
∴当t＝2时，四边形ABDC的面积有最大值9，
此时D（2，3）．