2023-2024学年山东省德州市宁津第一实验中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省德州市宁津第一实验中学九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  使二次根式有意义的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各曲线表示的与的关系中，是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列方程是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下面四组数，其中是勾股数组的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5.  已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，矩形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，按以下步骤作图：
分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点；
作直线交于点；
以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，．
若，则的长为(    )
 

A.
B.
C.
D.

8.  甲、乙二人在相同条件下各射靶次，每次射靶成绩如图所示，经计算得，，，则下列结论中不正确的是(    )

A. 甲、乙的总环数相等 B. 甲的成绩稳定
C. 甲、乙的众数相同 D. 乙的发展潜力更大

9.  如图，菱形的周长为，对角线、相交于点，是的中点，连接，则线段的长等于(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图所示的计算程序中，与之间的函数关系所对应的图象应为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  把一元二次方程化为一般形式为______．

12.  一个样本为，，，，，，，已知这个样本的众数为，平均数为，则这组数据的中位数为______．

13.  如图，、是平行四边形的对角线上的点，要使四边形是平行四边形，还需添加的一个条件是______只需添加一个正确的即可．

14.  如图，根据函数图象回答问题：方程组的解为______．

15.  如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰处架设一条缆车线路到另一山峰处，若在处测得，两山峰的底部相距米，则缆车线路的长为______ 米．

三、解答题（本大题共5小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
分解因式：；
解方程：
；
．

17.  本小题分
某同学上学期的数学历次测验成绩如下表所示：

该同学上学期次测验成绩的众数为______，中位数为______；
该同学上学期数学平时成绩的平均数为______；
该同学上学期的总成绩是将平时测验的平均成绩、期中测验成绩、期末测验成绩按照：：的比例计算所得，求该同学上学期数学学科的总评成绩结果保留整数．

18.  本小题分
已知一次函数的图象经过，两点．
求这个一次函数的解析式；
设图象与轴、轴交点分别是、，求点、的坐标．

19.  本小题分
如图所示，是矩形的对角线的交点，，．
求证：．
若，，求矩形的面积．

20.  本小题分
如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，以为边在第二象限内作正方形．
求正方形的面积；
求点，的坐标；
在轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

2.【答案】 

【解析】解：由函数定义可知：作垂直轴的直线，在左右平移的过程中看是否与函数图象只会有一个交点，若只有一个交点，则是函数，否则不大；
其中选项A、、均可能会有个交点，故错误，不符合题意，而选项D中只会有一个交点，符合题意，
故选：．
根据函数的定义“对于每一个确定的值，存在确定的唯一的值与之对应”进行判断即可．
本题主要考查了函数的定义和图象，理解对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应是解答本题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：、当时，不是一元二次方程，故A错误；
B、不是整式方程，故B错误；
C、是一元一次方程，故C错误；
D、是一元二次方程，故D正确；
故选：．
根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．

4.【答案】 

【解析】解：、，能构成勾股数，故正确；
B、，，，不是正整数，所以不是勾股数，故错误；
C、，不能构成勾股数，故错误；
D、，不能构成勾股数，故错误．
故选：．
根据勾股数的定义：有、、三个正整数，满足的三个数，称为勾股数．由此判定即可．
此题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．

5.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
解得，，，
则，
故选：．
根据非负数的性质列出算式，求出、的值，根据乘方法则计算即可．
本题考查的是非负数的性质，掌握非负数之和等于时，各项都等于是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
故可得，

点为，．
故选：．
在中利用勾股定理求出，继而得出的长，结合数轴的知识可得出点表示的数．
此题考查了勾股定理及数轴轴的知识，属于基础题，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键，难度一般．

7.【答案】 

【解析】【分析】
根据作图得到是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质即可得到答案．
【解答】
解：由作图可知，是的垂直平分线，
，，
以点为圆心，长为半径画弧，交于点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
故选：．
【点评】
本题考查尺规作图中的相关计算问题，解题的关键是根据作图得到是等腰直角三角形．

8.【答案】 

【解析】解：、甲的总环数；乙的总环数
甲、乙的总环数相等
B、甲的成绩稳定．
C、由图可知：甲中出现次数最多，一共出项次，
甲的众数为；乙中出现次数最多，一共出项次，
乙的众数为甲、乙的众数不相同
D、因为乙超过环的次数多，所以乙的发展潜力更大．
故选：．
分别求出甲、乙的总环数，以及众数就可以解决．
主要考查众数、平均数和方差的定义与应用．同时要注意：对于一组数据而言，方差越大，波动性越大，反之也成立．

9.【答案】 

【解析】解：菱形的周长为，
，
对角线、相交于点，
，
是的中点，
是的中位线，
．
故选：．
根据菱形的四条边都相等求出，再根据菱形的对角线互相平分可得，然后判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得．
本题考查了菱形的对角线互相平分，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理和性质是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：由题意知，函数关系为一次函数，由可知，随的增大而减小，且当时，，
当时，．
故选：．
先求出一次函数的关系式，再根据函数图象与坐标轴的交点及函数图象的性质解答即可．
本题考查学生对计算程序及函数性质的理解．根据计算程序可知此计算程序所反映的函数关系为一次函数，然后根据一次函数的图象的性质求解．

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
根据一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式为．

12.【答案】 

【解析】【分析】
本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
因为众数为，表示的个数最多，因为出现的次数为二，所以的个数最少为三个，则可设，，中有两个数值为另一个未知数利用平均数定义求得，从而根据中位数的定义求解．
【解答】
解：因为众数为，可设，，未知，
平均数，
解得，
将这组数据按从小到大的顺序排列：、、、、、、，
位于最中间的一个数是，所以中位数是，
故答案为．

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：添加的一个条件为；理由如下：
四边形是平行四边形，
、，
，
，
四边形是平行四边形；
故答案为：答案不唯一．
由平行四边形的判定定理，通过对角线互相平分得出结论．
本题主要考查平行四边形的判定与性质，通过对角线互相平分解题是关键．

14.【答案】 

【解析】解：根据图象知：经过点，
所以，
解得：，
所以解析式为，
当时，，
所以两个函数图象均经过
所以方程组的解为，
故答案为：．
首先观察函数的图象经过点，然后求得值确定函数的解析式，最后求得两图象的交点求方程组的解即可；
此题主要考查一次函数与二元一次方程组，关键是能根据函数图象的交点解方程组．

15.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，
，
，
，
．
在中，
，
设，则，
，
，

米．
故答案为．
过点作，垂足为，由图可看出，三角形为一直角三角形，已知一直角边和一角，则可求斜边．
本题考查了直角三角形的性质和勾股定理．

16.【答案】解：；
；
，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
化系数为，得；
，
，
或，
解得，． 

【解析】按照根式的乘除运算计算即可；
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答；
按照因式分解法解一元二次方程即可．
本题考查了整式的混合运算，二次根式的乘除，因式分解，解一元一次和一元二次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．

17.【答案】      
该同学上学期数学学科的总评成绩为，即该同学总评成绩约为分． 

【解析】解：将次测验的成绩重新排列为、、、、，
该同学上学期次测验成绩的众数为分、中位数为分，
故答案为：、；

该同学上学期数学平时成绩的平均数为，
故答案为：；

见答案
【分析】
将次测验成绩重新排列后，根据众数和中位数的定义求解可得；
将平时测验成绩相加后除以即可得；
根据加权平均数的定义列式计算可得．
本题主要考查众数、中位数和加权平均数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义及加权平均数的计算公式．

18.【答案】解：设一次函数为，
由题意得，
解得，
这个一次函数的解析式为；
当时，，当时，，
解得，
、． 

【解析】把经过的点的坐标代入，求解得到、的值即可得解；
根据一次函数的解析式即可求出点、的坐标．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，需要熟练掌握．

19.【答案】证明：
，，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形是菱形，
，
，且四边形是菱形
，

，
，且
，
 

【解析】由题意可证四边形是平行四边形，通过证明四边形是菱形，可得；
由题意可得，，根据直角三角形的性质可得，，根据矩形的面积公式可求矩形的面积．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用矩形的性质是本题的关键．

20.【答案】解：当时，，
点的坐标为，
；
当时，，
解得：，
点的坐标为，
．
在中，，，，
，
正方形的面积为．
四边形为正方形，
，．
过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示．
，，，
．
在和中，
，
≌，
，，
点的坐标为，即；
同理，可证出：≌，
，，
点的坐标为，即．
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时取得最小值，即的周长最小，如图所示．
点的坐标为，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，解得：，
直线的解析式为．
当时，，
解得：，
点的坐标为．
在轴上存在点，使的周长最小，点的坐标为． 

【解析】利用一次函数图象与坐标轴的交点求出点，的坐标，进而可得出，的长，利用勾股定理可求出的长，再利用正方形的面积计算公式，即可求出正方形的面积；
利用正方形的性质可得出，，过点作轴于点，过点作轴于点，易证≌，≌，再利用全等三角形的性质结合点，所在的位置，即可得出点，的坐标；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时取得最小值，即的周长最小，由点的坐标可得出点的坐标，利用待定系数法可求出直线的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：利用一次函数图象上点的坐标特征及勾股定理，求出的长；利用全等三角形的性质，求出，，，的长；利用两点之间线段最短，找出点的位置．