2022-2023学年宁夏石嘴山市平罗县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年宁夏石嘴山市平罗县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的几何原理是( )
A. 两点之间线段最短B. 垂线段最短C. 两定确定一条直线D. 三角形的稳定性
2.下列运算中正确的是( )
A. B. C. D.
3.下列命题中，是假命题的是( )
A. 一个锐角与一个钝角的和等于平角B. 全等三角形的面积相等
C. 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直D. 对顶角相等
4.在 ，，，， 分式的个数有个．( )
A. B. C. D.
5.一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的内角和是( )
A. B. C. D.
6.若点与点关于轴对称，则的值为( )
A. B. C. D.
7.仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明画出的依据是( )
A. B. C. D.
8.如图，的面积为，点，，分别为，，的中点，则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.约分： ______ ．
10.当______时，．
11.在线段、角、圆、长方形、梯形、三角形、等边三角形中，是轴对称图形的有______个．
12.若，，则 ______ ．
13.分式的最简公分母为______ ．
14.如图，已知是的高，分，，，求的度数为______ ．
15.如图，是正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有______ 种选择．
16.如图，在中，是高和的交点，且，已知，，则的长为______．
三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
因式分解：．
18.本小题分
解方程：．
19.本小题分
已知在平面直角坐标系中位置如图所示．
画出向下平移个单位得到的；
画出关于轴对称的．
20.本小题分
如图，点在内，点、分别是点关于、的对称点，且交、相交于点，若的周长为，求的长．
21.本小题分
先化简，再求值：，其中．
22.本小题分
如图，在中，．
尺规作图，作线段的垂直平分线分别交、于、两点，不写作法，保留作图痕迹；
在的情况下，连接，若，求的度数．
23.本小题分
如图，已知于，于，，相交于点，若求证：
≌；
平分．
24.本小题分
下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式第一步
第二步
第三步
第四步
回答下列问题：
该同学第二步到第三步运用了因式分解的______．
A、提取公因式
B.平方差公式
C、两数和的完全平方公式
D.两数差的完全平方公式
该同学因式分解的结果是否彻底______填“彻底”或“不彻底”
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______．
请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
25.本小题分
问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半即：如图，在中，，，则探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．
如图，作边上的中线，证明：
为等边三角形；
．
如图，是的中线，点是边上任意一点，连接，作等边，且点在的内部，连接试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．
26.本小题分
某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为万元，今年销售额只有万元．
今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为元，乙种电脑每台进价为元，公司预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种电脑共台，有几种进货方案？
如果乙种电脑每台售价为元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金元，要使中所有方案获利相同，值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
答案和解析
1.【答案】
解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选D．
用窗钩固定窗户，显然是运用了三角形的稳定性．
本题考查了三角形的稳定性，注意能够运用数学知识解释生活中的现象．
2.【答案】
解：、，故原计算错误，不符合题意；
B、，故原计算错误，不符合题意；
C、，故原计算错误，不符合题意；
D、，故原计算正确，符合题意；
故选：．
根据同底数幂乘除法法则，幂的乘方法则及合并同类项法则依次计算判断即可．
此题考查了整式的计算，正确掌握同底数幂乘除法法则，幂的乘方法则及合并同类项法则是解题的关键．
3.【答案】
解：、一个锐角与一个钝角的和不一定等于平角，故原命题错误，是假命题，符合题意；
B、全等三角形的面积相等，正确，是真命题，不符合题意；
C、互为补角的两个角的平分线互相垂直，正确，是真命题，不符合题意；
D、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意．
故选：．
利用平角的定义、全等三角形的性质、互补的性质及对顶角的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关定义及性质，难度不大．
4.【答案】
解：， 是分式，
故选：．
根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案．
本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式，注意是整式不是分式．
5.【答案】
【解析】根据多边形的外角和是求出该多边形的边数，再用多边形的内角和公式求出多边形的内角和即可．
本题考查了多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
解：该多边形的边数为，
．
故选：．
6.【答案】
解：点与点关于轴对称，
，，
解得，，
则．
故选：．
直接利用关于轴对称点的性质横坐标不变，纵坐标互为相反数得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确掌握对称点坐标特点是解题关键．
7.【答案】
解：由作法易得，，，
在与中，
，
≌，
全等三角形的对应角相等．
故选：．
由作法易得，，，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的对应角相等是正确解答本题的关键．
8.【答案】
解：如图所示，连接，
是的中点，
，
是的中点，
，
同理可得，
，
，
，
故选B．
根据三角形中线平分三角形面积，先证明，再证明即可得到答案．
本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
9.【答案】
解：；
故答案为：．
根据分式的基本性质解答即可．
本题考查了分式的约分，属于基础题型，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
10.【答案】
解：当时，，
解得：．
故答案为：．
直接利用零指数幂：，进而得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质，正确掌握零指数幂的性质是解题关键．
11.【答案】
解：线段、角、圆、长方形、等边三角形是轴对称图形，
梯形和三角形不一定是轴对称图形，
故答案为：．
根据轴对称图形的概念判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
12.【答案】
解：，，
，
故答案为：．
根据同底数幂逆运算进行求解即可．
本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟知同底数幂乘法运算法则为：底数不变，指数相加；是解本题的关键．
13.【答案】
解：分式的最简公分母为，
故答案为：．
先确定最简公分母的系数，再取各分母的所有因式的最高次幂的积，即可得到答案．
本题考查的是最简公分母的确定，掌握“最简公分母的含义”是解本题的关键．
14.【答案】
解：，，
，
分，
，
．
故答案为：．
利用三角形外角性质求出，根据平分，可知，再利用外角的性质，可求得的度数．
本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质是解题关键．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
15.【答案】
解：如图所示：
灰色正方形位置都能使此图形是轴对称图形，
故答案为：．
利用轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．即可得出符合题意的答案．
本题主要考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是正确把握轴对称图形的定义．
16.【答案】
解：，，
，
又，
≌，
，
又，
，
故答案为：．
根据证明≌，得出，再根据即可得出结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】解：

．
【解析】先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18.【答案】解：原方程即：．
方程两边同时乘以，
得．
化简，得 ．
解得：．
检验：时，，即不是原分式方程的解，
则原分式方程无解．
【解析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
此题考查了分式方程的求解方法．此题比较简单，注意转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．
19.【答案】解：根据平移的性质，如图，

即为所求．
根据对称的性质，如图，

即为所求．
【解析】根据平移的性质，即可画出图形；
首先画出各顶点关于轴的对称点，再连线即可画得．
本题考查了平移作图和轴对称作图，熟练掌握和运用平移作图和轴对称作图的方法是解决本题的关键．
20.【答案】解：点是点关于的对称点，
，
是点关于的对称点，
，
的周长，
的周长为，
．
【解析】根据轴对称的性质可知：，，所以线段的长的周长，再根据的周长为，即可得出的长．
此题主要考查了轴对称的性质：对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．
21.【答案】解：



，
当时，原式．
【解析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
22.【答案】解：如图，直线即为所求；
连接，
在中，
，，
．
直线是线段的垂直平分线，
，
，
．
【解析】利用尺规作图作出线段的垂直平分线即可；
连接，先根据等腰三角形的性质求出，再由直线是线段的垂直平分线可得出，故可得出，进而可得出结论．
本题考查的是尺规作图及等腰三角形的性质，根据题意作出的垂直平分线是解题的关键．
23.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌；
≌，
，
，，
平分．
【解析】由题意易得，然后问题可求证；
由可得，然后根据角平分线的判定定理可进行求证．
本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的判定定理，熟练掌握各个性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：；
不彻底；；
设．
．
【解析】【分析】
本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照题干提供的方法和样式解答即可，难度中等．
完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；
还可以分解，所以是不彻底．
按照例题的分解方法进行分解即可．
【解答】
解：运用了，两数和的完全平方公式；
故答案为：；
还可以分解，分解不彻底；
故答案为：不彻底；；
见答案．
25.【答案】证明：，，
，
为边上的中线，
，
是等边三角形；
是等边三角形，
．
，
；
解：．
证明：如图，连接，

，都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
．
，
垂直平分，
．
，
．
【解析】由题意可得，根据度角的直角三角形的性质和为边上的中线可得，进而可得结论；
根据等边三角形的性质和即可证得结论；
连接，根据等边三角形的性质可证得≌，可得，进而可得垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质和等量代换即可得到结论．
本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及线段垂直平分线的性质，正确添加辅助线、证明三角形全等是解题的关键．
26.【答案】解：设今年三月份甲种电脑每台售价元．则：
．
解得：．
经检验，是原方程的根且符合题意．
所以甲种电脑今年每台售价元；
设购进甲种电脑台．则：
．
解得：．
因为的正整数解为，，，，，所以共有种进货方案；
设总获利为元．则：
．
当时，中所有方案获利相同．
此时，购买甲种电脑台，乙种电脑台时对公司更有利．
【解析】求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量去年的销售数量．
关系式为：甲种电脑总价乙种电脑总价．
方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数的系数为即可；对公司更有利，因为甲种电脑每台进价为元，乙种电脑每台进价为元，所以要多进乙．
本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键．