第17讲 相似常见模型之母子三角形（原卷版+解析）

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第17讲 相似常见模型之母子三角形
【知识点睛】
其中：
∠A是公共角
AB是公共边
BD与BC是对应边
当∠ABD=∠ACB时
△ABD∽△ACB
性质：

一般母子型：



联系应用：
切割线定理：如图，PB为圆O切线，B为切点，
则：△PAB∽△PBC
得：

在Rt△ACB与Rt△ADC中，当∠ABC=∠ACD时，有
Rt△ACB∽Rt△ADC∽Rt△CDB
射影定理：


特殊母子型——射影定理




☆：有关射影定理图形常见的三个应用方向：
1. 等积法（求斜边上的高）
2. 同角的余角相等（得∠A=∠BCD）
3. 射影定理
在圆中因为直径所对圆周角=90°，转化得此图形，进而利用以上3个结论！
☆：“母子△”与“阿氏圆”
阿氏圆的基本原理就是构造母子三角形，之后再结合两点之间线段最短求解最后结果。





母子相似证明题一般思路方法：
①　 由线段乘积相等转化成线段比例式相等；
②　 分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；
③　 第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；
④　 第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第三步；
【类题训练】
1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（　　）

A．AC2＝AD•AB B．CD2＝CA•CB C．CD2＝AD•DB D．BC2＝BD•BA
【分析】直接根据射影定理对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴AC2＝AD•AB，CD2＝DA•DB，BC2＝BD•BA．
故选：B．
2．如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，使得△ADB∽△ABC，下列不正确的是（　　）

A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C． D．
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可．
【解答】解：A、若∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意；
B、若∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意；
C、若，其夹角不相等，则不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意；
D、若，∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD＝4，BD＝8，则CD的长为（　　）

A．4 B．4 C．4 D．
【分析】证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠B＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝，即＝，
解得：CD＝4，
故选：A．
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E为斜边AB的中点，则＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】利用相似三角形的判定与性质得到∠BCD＝∠A＝22.5°，利用三角形的外角的性质得到∠CED＝45°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AE＝CE＝BE＝AB，设CD＝DE＝x，则CE＝，AD＝（+1）x，代入化简即可得出结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝3∠BCD，
∴∠BCD＝22.5°，∠ACD＝67.5°．
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴△BCD∽△BAC，
∴∠BCD＝∠A＝22.5°．
∵∠ACB＝90°，E为斜边AB的中点，
∴AE＝CE＝BE＝AB．
∴∠ECA＝∠A＝22.5°，
∴∠CED＝∠A+∠ECA＝45°，
∵CD⊥AB，
∴CD＝DE．
设CD＝DE＝x，则CE＝，
∴AE＝x，
∴AD＝AE+DE＝（+1）x，
∴＝+1．
故选：B．
5．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点EF，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①AE＝FC；②∠PDE＝15°；③；④DE2＝PF•FC．其中正确的为（　　）

A．①②③ B．①③ C．②③④ D．①②④
【分析】由△BPC是等边三角形，得AE＝，而BE＝CF，故①正确；由PC＝BC＝CD，∠PCD＝90°﹣60°＝30°，可判定②正确；由△FDN∽△CHB，得，由△BHC与△DHC同高，可知，则判定③错误，由△PED∽△DEB，得，则ED2＝PE•BE，可判定④正确．
【解答】解：∵△BPC为等边三角形，
∴PB＝PC，∠PBC＝∠PCB＝60°，
∵FE∥BC，
∴△FEP∽△CPB，
又∵PB＝PC，
∴PE＝PF，
∴FC＝EB，
∵∠PBC＝60°，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝30°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝30°，
∴AE＝，
又∵BE＝FC，
∴AE＝，
故①正确；
∵PC＝BC＝CD，∠PCD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DPC＝∠PDC＝＝75°，
∴∠PDE＝∠ADC﹣∠PDC＝90°﹣75°＝15°，
故②正确；
∵FD∥BC，
∴△FDN∽△CHB，
∴，
又∵△BHC与△DHC同高，
∴，
又∵，F不是AD中点，
∴≠，
∴，
故③错误；
∵∠EPD＝180°﹣∠EPF﹣∠DPC＝180°﹣60°﹣75°＝45°＝∠ADB，
∠PED＝∠PED，
∴△PED∽△DEB，
∴，
∴ED2＝PE•BE，
又∵PE＝PF，BE＝FC，
∴DE2＝PF•FC，
故④正确，
故选：D．
（多选）6．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（　　）

A．4.8秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒
【分析】根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB，可求运动的时间是3秒或4.8秒．
【解答】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x秒，
①若△ADE∽△ABC，则AD：AB＝AE：AC，
即x：6＝（12﹣2x）：12，
解得：x＝3；
②若△ADE∽△ACB，则AD：AC＝AE：AB，
即x：12＝（12﹣2x）：6，
解得：x＝4.8；
综上所述：当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒，
故选：AC．
（多选）7．如图，AB是⊙O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，若添加一个条件使△ADC与△ABD相似，则可添加下列条件中的（　　）

A．＝ B．AD＝DE C．AB∥DE D．AD2＝BD•CD
【分析】根据相似三角形的判定方法可知，只要添加B，D，两三角形就相似．
【解答】解：在△ADC和△ADB中，当AD＝DE时，∠DAB＝∠E，
∵∠E＝∠B，
∴∠DAC＝∠B
∵∠ADC＝∠ADB，
∴△ADC∽△BDA，
另外当AD2＝BD•CD时，则有＝，
∵∠ADC＝∠ADB，
∴△ADC∽△BDA，
故选：BD．

8．在△ABC中，AB＝12，AE＝14，BD＝6，BC＝24，且∠BAE＝∠DAC．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）求DE的长．

【分析】（1）利用两组边成比例，夹角相等的两个三角形相似来证明即可；
（2）由相似三角形的性质可得∠BAD＝∠C，结合∠BAE＝∠DAC可证得∠C＝∠CAE，从而可知CE＝AE，利用DE＝BC﹣BD﹣CE计算即可．
【解答】解：（1）证明：∵AB＝12，AE＝14，BD＝6，BC＝24，
∴＝，＝，
∴＝，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA；
（2）∵△ABD∽△CBA，
∴∠BAD＝∠C，
∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴∠C＝∠CAE，
∴CE＝AE＝14，
∴DE＝BC﹣BD﹣CE
＝24﹣6﹣14
＝4．
9．已知：如图，△ABC中，点E在中线BD上，∠DAE＝∠ABD．
求证：（1）AD2＝DE•DB；
（2）∠DEC＝∠ACB．

【分析】（1）由∠DAE＝∠ABD，∠ADE＝∠BDA，根据有两角对应相等的三角形相似，可得△ADE∽△BDA，然后由相似三角形的对应边成比例，即可证得AD2＝DE•DB；
（2）由点E在中线BD上，可得，又由∠CDE＝∠BDC，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得△CDE∽△BDC，继而证得∠DEC＝∠ACB．
【解答】证明：（1）∵∠DAE＝∠ABD，∠ADE＝∠BDA，
∴△ADE∽△BDA．
∴，
即AD2＝DE•DB．

（2）∵D是AC边上的中点，
∴AD＝DC．
∵，
∴，
又∵∠CDE＝∠BDC．
∴△CDE∽△BDC．
∴∠DEC＝∠ACB．
10．已知如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在AB上，且BD2＝BE•BC；
（1）求证：∠BDE＝∠C；
（2）求证：AD2＝AE•AB．

【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，由BD2＝BE•BC，得到，推出△EBD∽△DBC，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）由∠BDE＝∠C，推出∠DBC＝∠ADE，等量代换得到∠ABD＝∠ADE，证得△ADE∽△ABD，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD2＝BE•BC，
∴，
∴△EBD∽△DBC，
∴∠BDE＝∠C；

（2）∵∠BDE＝∠C，
∠DBC+∠C＝∠BDE+∠ADE，
∴∠DBC＝∠ADE，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADE，
∴△ADE∽△ABD，
∴，
即AD2＝AE•AB．
11．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：△APD≌△CPD；
（2）求证：△APE∽△FPA；
（3）如果PE＝4，PF＝5，求线PC的长．

【分析】（1）由菱形的性质得到判定△APD≌△CPD的条件；
（2）由△APD≌△CPD得∠PAE＝∠PCD，即可证明△APE∽△FPA；
（3）由△APE∽△FPA得到＝，再等量代换即可．
【解答】（1）证明：∵ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠ADP＝∠CDP
在△APD和△CPD中，
，
∴△APD≌△CPD（SAS）；
（2）证明：由（1）得△APD≌△CPD，
∴∠PAE＝∠PCD，
又由DC∥FB得：∠PFA＝∠PCD，
∴∠PAE＝∠PFA，
又∵∠APE＝∠APF，
∴△APE∽△FPA；
（3）解：∵△APE∽△FPA，
∴＝，
∴PA2＝PE•PF，
∵PE＝4，PF＝5，
∴PA＝2，
由（1）知△APD≌△CPD，
∴PC＝PA，
∴PC＝2．
12．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为C，CF是⊙O的弦，过点A作AE∥CF，交⊙O于点E，交BC于点B，点D为CF延长线上一点，连接AF、AD，且∠DAF＝∠CAB．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，AD＝，求BE的长．

【分析】（1）要证明AD是⊙O的切线，只要证明∠OAD＝90°即可，先利用直径所对的圆周角是直角，得出∠AFC＝90°，从而得∠FAC+∠ACF＝90°，然后再证明∠DAF＝∠ACD即可；
（2）根据BC是⊙O的切线，切点为C，可得∠ACB＝90°，所以AD∥BC，从而证明四边形DABC是平行四边形，可得AD＝BC＝，根据已知AC是⊙O的直径，想到构造直径所对的圆周角是直角，所以连接CE，最后利用射影定理求出BE即可．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠AFC＝90°，
∴∠FAC+∠ACF＝90°，
∵AE∥CF，
∴∠ACF＝∠CAB，
∵∠DAF＝∠CAB，
∴∠ACF＝∠DAF，
∴∠FAC+∠DAF＝90°，
即∠DAO＝90°，
∵OA是圆O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）连接CE，

∵BC是⊙O的切线，切点为C，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB＝∠DAC＝90°，
∴AD∥BC，
∵AE∥CF，
∴四边形DABC是平行四边形，
∴AD＝BC＝，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∵∠ACB＝∠CEB＝90°，∠B＝∠B，
∴△BCE∽△BAC，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，F为CE的中点，连接BD，DF，BD与AC交于点P．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值；
（3）若∠DPC＝45°，PD2+PB2＝8，求AC的长．

【分析】（1）由圆周角定理得出ADC＝∠CDE＝90°，利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，进而得出答案；
（2）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值；
（3）过点O作OG⊥BD于点G，由垂径定理可得BG＝DG，利用PD2+PB2＝8，可求半径为2，即可求解．
【解答】证明：（1）证明：如图，连接OD，

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝90°，
∵F是EC的中点，
∴DF＝FC，
∴∠FDC＝∠FCD，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵AC⊥CE，
∴∠OCF＝90°，
∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠FCD＝∠OCF＝90°，即DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
（2）∵∠CAE+∠E＝90°，∠CAE+∠ACD＝90°，
∴∠E＝∠ACD，
又∠ACE＝∠ADC＝90°，
∴△ACE∽△ADC，
∴，即AC2＝AD•AE．
设DE＝x，则AC＝x，
即（x）2＝AD（AD+x）．
整理，得AD2+AD•x﹣20x2＝0．
解得AD＝4x或AD＝﹣5x（舍去）．
∴DC＝＝2x．
∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝＝2；
（3）如图，过点O作OG⊥BD于点G，

由垂径定理，得BG＝DG，
设BG＝DG＝m，则PD＝m+PG，PB＝m﹣PG，
∵PD2+PB2＝8，
∴（m+PG）2+（m﹣PG）2＝8，整理，得2m2+2PG2＝8，即m2+PG2＝4．
∵∠DPC＝45°，
∴OG＝PG．
∴OD2＝DG2+OG2＝m2+PG2＝4，
∴⊙O的半径为2．
∴AC＝4．
14．【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点．∠BFE＝∠A，若BF＝6，BE＝4，求AD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点．EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD直接写出线段DE与线段EF之间的数量关系．

【分析】（1）直接利用两个角相等证明△ACD∽△ABC，可得结论；
（2）首先说明△BFE∽△BCF，得，求出BC的长，再利用平行四边形的性质可得AD的长；
（3）延长DC、EF交于G，利用两组对边分别平行可得四边形AEGC是平行四边形，得EG＝AC＝2EF，∠G＝∠ACD，再利用△EDF∽△EGD，得，代入化简即可．
【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴AC2＝AD•AB；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，BC＝AD，
∵∠BFE＝∠A，
∴∠BFE＝∠C，
∵∠FBE＝∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴，
∴BF2＝BC×BE，
∵BF＝6，BE＝4，
∴BC＝9，
∴AD＝BC＝9；
（3）解：延长DC、EF交于G，

∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，∠ACD＝∠BAD，
∵EF∥AC，
∴四边形AEGC是平行四边形，
∴EG＝AC＝2EF，∠G＝∠ACD，
∵∠EDF＝∠BAD，
∴∠G＝∠EDF，
∵∠DEF＝∠DEF，
∴△EDF∽△EGD，
∴，
∴ED2＝EG•EF，
∴ED2＝2EF2，
∴EG＝EF．
15．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠ABC+∠OAB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，交OB于点E．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若DE＝2，CE＝6，求BC的长；
（3）①若四边形ADEO的面积等于△BEC的面积，求sin∠BAC的值；
②记tan∠BAC＝x，△AOB与△CDB的面积之比为y，请用含有x的代数式表示y．

【分析】（1）利用∠ABC+∠OAB＝90°及圆周角定理可推出∠ACB＝∠ABC，从而得到AB＝AC；
（2）利用“母子型相似”直接可解出BC值；
（3）①过点O作OF⊥AB于点F，将题干“四边形ADEO的面积等于△BEC的面积“处理可得到S△BDC和S△OFA的关系，利用相似三角形的性质转化成线段比，从而得到sin∠BAC的值；
②利用tan∠BAC＝x和面积比可得AC与DC的关系，利用线段关系设相关线段长，利用勾股定理可得x与y的关系．
【解答】解：（1）证明：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，
∴∠ACB＝＝90°﹣∠OAB，
∵∠ABC+∠OAB＝90°即∠ABC＝90°﹣∠OAB，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AB＝AC；
（2）∵CD⊥AB，
∴∠BDE＝90°，
∴∠OBA+∠DEB＝90°，
∵∠ABC+∠OAB＝∠ABC+∠OBA＝90°，
∴∠DEB＝∠ABC，
∴△EDB∽△BDC，
∴即，
∴BD＝4，
在Rt△BDC中，BC＝；
（3）①过点O作OF⊥AB于点F，
∵S四边形ADEO＝S△BEC，
∴S四边形ADEO+S△BED＝S△BEC+S△BED即S△AOB＝S△BDC，
∵OA＝OB，OF⊥AB，
∴S△AOB＝2S△OFA，
∴S△BDC＝2S△OFA，
由（2）可得：∠OAF＝∠OBD＝∠BCD，
∵△OAF∽△BCD，
∴，
∵S△ABO＝S△BDC即AB•OF＝BD•DC，
∴，
∴即；

②如图，延长AO交BC于点P，可得∠APB＝90°，∠BAC＝∠BOP，
设OP＝1，
∵tan∠BAC＝tan∠BOP＝x，
∴BP＝x，则BC＝2x，
在Rt△OBP中，OB＝，
由①易得：△OBF∽△BCD，
∴y＝＝．