第15讲 相似常见模型之平行相似（原卷版+解析版）

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第15讲  相似常见模型之平行相似【知识点睛】        A字图及其变型“斜A型”                                             变型   ☆：斜A型在圆中的应用：如图可得：△PAB∽△PCD            8字图及其变型“蝴蝶型”                                            变型          【类题训练】1．如图，DE是△ABC的中位线，BC＝4，下面三个结论：①DE＝2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4．其中正确的有（　　）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若，且△ADE的面积为9，则四边形BCED的面积为（　　）A．18 B．27 C．72 D．813．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，下列结论错误的是（　　）A．DE∥BC B．DE＝BC C．△ADE的周长是△ABC周长的一半 D．S△ADE＝S△ABC4．如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（　　）A． B．25 C．35 D．635．如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，AC，BC上，连接DE，EF，AF，AF交DE于点G，四边形BFED为平行四边形，则下列式子一定正确的是（　　）A． B． C． D．6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD＝∠A，∠DCE＝∠CBD，∠EDF＝∠DCE，则EF等于（　　）A． B． C． D．7．如图，平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，BE平分∠ABC，交AD于E，CF⊥BE交BE于点N，交AD于点F，作MN∥CD交AD于点M，则MN＝（　　）A． B． C．1 D．8．如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点D（2，2），点G（0，1），则它们位似中心的坐标是（　　）A．（﹣2，0） B．（﹣1，0） C．（0，0） D．（﹣3，0）9．如图，在△ABC中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（　　）A．AE：EC＝EF：CD B．AF：FD＝BG：GC C．EG：AB＝EF：CD D．CG：BC＝AF：AD10．如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的面积比为（　　）A．2：1 B．3：2 C．8：1 D．4：111．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CB延长线上一点，E是AB上一点，连DE并延长交AC于点F，过F作FG∥AB交BC于点G，若DE＝EF，则的值为（　　）A．1 B． C． D．12．如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝h，AB＝c，若内接正方形DEFG的边长是x，则h、c、x的数量关系为（　　）A．x2+h2＝c² B．x+h＝c C．h2＝xc D．＝+13．如图，在△PRQ中，M是线段PQ的中点，PS平分∠RPQ交RQ于点S．ST∥PR交PQ于点T，PQ＝10，MT＝1．则PR的长为（　　）A．12 B．13 C．14 D．1514．如图来自清朝数学家梅文鼎的《勾股举隅》，该图由四个全等的直角三角形围成，延长BC分别交AG，HG于点M，N，梅文鼎就是利用这幅图证明了勾股定理．若图中记△MNG的面积为S，△GDF的面积为9S，则阴影部分的面积为（　　）A．20S B．21S C．22S D．24S15．如图，点E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，则＝　  　．16．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE：AD＝2：3，CD＝2，则AF的长为 　 　．17．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，BE、CD相交于点O，若S△DOE：S△DOB＝1：3，则＝　　，当S△ADE＝2时，四边形DBCE的面积是 　  　．18．如图，在矩形ABCD中，AD＝30，AB＝20，点P为边AD上的一个动点（不与点A，D重合），连接BP、CP，点E为边BC上的一个动点（不与点B、C重合）．连接PE，过点E作EF∥CP交BP于点F，当BE＝　   　时，△PEF的面积最大，最大值为 　  　．19．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的点，BE＝3，CD＝6，∠FED＝30°，∠FDE＝45°，则BC的长度为 　    　．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝8，点E，F在BC上，点G是射线DC与射线AF的交点，若BE＝1，∠EAF＝45°，则AG的长为 　  　．21．如图，AB是⊙O的直径，过点B作AB的垂线BC，连接AC，交⊙O于点D，⊙O的切线DE交BC于E．（1）求证：点E为BC的中点；（2）若⊙O的直径为3，DE＝2，求AD的长．  22．已知：△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG，点D、G分别在AC、BC上，E、F在AB上；（1）若AC＝3，BC＝4，求DG的长；（2）如图2，四边形HPEQ、MNRF为正方形，设正方形HPEQ、MFRN、DEFG的边长分别为a、b、c，求证：a+b＝c． 23．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AB延长线上一点，E是AC上一点，DE交BC于点F．（1）如图①，若BD＝CE，求证：DF＝EF．（2）如图②，若BD＝CE，试写出DF和EF之间的数量关系，并证明．（3）如图③，在（2）的条件下，若点E在CA的延长线上，那么（2）中结论还成立吗？试证明．