【重难点讲义】浙教版数学九年级上册-第17讲 相似常见模型之母子三角形

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第17讲  相似常见模型之母子三角形【知识点睛】一般母子型：   联系应用：切割线定理：如图，PB为圆O切线，B为切点，则：△PAB∽△PBC得： 特殊母子型——射影定理         母子相似证明题一般思路方法：①　由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②　分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③　第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④　第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第三步；【类题训练】1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（　　）A．AC2＝AD•AB B．CD2＝CA•CB C．CD2＝AD•DB D．BC2＝BD•BA2．如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，使得△ADB∽△ABC，下列不正确的是（　　）A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C． D．3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD＝4，BD＝8，则CD的长为（　　）A．4 B．4 C．4 D．4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E为斜边AB的中点，则＝（　　）A． B． C． D．5．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点EF，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①AE＝FC；②∠PDE＝15°；③；④DE2＝PF•FC．其中正确的为（　　）A．①②③ B．①③ C．②③④ D．①②④（多选）6．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（　　）A．4.8秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒（多选）7．如图，AB是⊙O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，若添加一个条件使△ADC与△ABD相似，则可添加下列条件中的（　　）A．＝ B．AD＝DE C．AB∥DE D．AD2＝BD•CD8．在△ABC中，AB＝12，AE＝14，BD＝6，BC＝24，且∠BAE＝∠DAC．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）求DE的长．9．已知：如图，△ABC中，点E在中线BD上，∠DAE＝∠ABD．求证：（1）AD2＝DE•DB；       （2）∠DEC＝∠ACB．10．已知如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在AB上，且BD2＝BE•BC；（1）求证：∠BDE＝∠C；（2）求证：AD2＝AE•AB．11．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于E，交BA的延长线于点F．（1）求证：△APD≌△CPD；（2）求证：△APE∽△FPA；（3）如果PE＝4，PF＝5，求线PC的长．12．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为C，CF是⊙O的弦，过点A作AE∥CF，交⊙O于点E，交BC于点B，点D为CF延长线上一点，连接AF、AD，且∠DAF＝∠CAB．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AB＝4，AD＝，求BE的长．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，F为CE的中点，连接BD，DF，BD与AC交于点P．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值；（3）若∠DPC＝45°，PD2+PB2＝8，求AC的长．14．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点．∠BFE＝∠A，若BF＝6，BE＝4，求AD的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点．EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD直接写出线段DE与线段EF之间的数量关系．15．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠ABC+∠OAB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，交OB于点E．（1）求证：AB＝AC；（2）若DE＝2，CE＝6，求BC的长；（3）①若四边形ADEO的面积等于△BEC的面积，求sin∠BAC的值；②记tan∠BAC＝x，△AOB与△CDB的面积之比为y，请用含有x的代数式表示y．