福建省厦门市2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版含解析）

这是一份福建省厦门市2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省厦门市2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题．每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题意）
1．观察下列图形，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列事件中属于随机事件的是（　　）
A．13名同学中，至少有两名同学出生月份相同
B．任意一个实数的绝对值小于0
C．a，b是实数，a+b＝b+a
D．经过有交通信号的路口，遇到红灯
3．二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
4．已知点A（﹣3，2）在二次函数y＝ax2﹣bx的图象上，则下列式子正确的是（　　）
A．9a﹣3b＝2 B．4a﹣2b＝﹣3 C．9a+3b＝2 D．﹣3a﹣2b＝0
5．一元二次方程4x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（　　）
A．9（1﹣2x）＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）＝1 D．9（1+x）2＝1
7．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是的中点，则∠D的度数是（　　）

A．70° B．55° C．35.5° D．35°
8．扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（　　）

A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30
B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
C．30x+2×20x＝×20×30
D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
9．已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（　　）
A．y＝x B．y＝﹣2x+2 C．y＝﹣x2+3 D．y＝x2﹣2
10．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（　　）
A．b＞0，b2﹣ac≤0 B．b＜0，b2﹣ac≤0
C．b＞0，b2﹣ac≥0 D．b＜0，b2﹣ac≥0
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．将抛物线y＝2x2向上平移3单位，得到的抛物线的解析式是 　 　．
12．一个游戏转盘上有红、黄、蓝三种颜色，其中红、黄、蓝所在区域的扇形圆心角度数分别为60°，90°，210°．则指针落在黄色区域的概率是 　 　．
13．写一个满足下列条件的函数：当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，且当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，则该函数的解析式可以为 　 　．
14．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点M在CD的边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为 　 　．

15．对于实数x，记其整数部分为[x]，如[2]＝2，[2.9]＝2．若[a]＝4，点（a，b）为抛物线y＝x2﹣8.8x上的动点，则b的取值范围是 　 　．
16．如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，在点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为 　 　．

三、解答题（本大题9小题，共86分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：x2﹣5x﹣2＝0．
18．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2，请建立直角坐标系，画出此函数的图象．
19．（8分）直线y＝2x+6交x轴于点A，交y轴于点B，点C，D分别是点A，B关于原点的对称点，求直线CD的解析式．
20．（8分）小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动．小明想参加敬老服务活动，小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
21．（8分）如图，已知⊙O的直径BA与弦DC的延长线交于点P，且PC＝CO，，求∠D与∠DOB的度数．

22．（10分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转后得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF，若∠ABC＝60°，点E在线段AB上，BF＝AF．
（1）求证：DA∥BC；
（2）若AB＝4，求AC的长．

23．（10分）在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为上一点，且，连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E．
（1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由；
（2）若四边形ABCD的面积为9，求四边形ABDF的面积．

24．（12分）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：当10≤t≤25时可近似用函数p＝t﹣刻画；当25≤t≤37时可近似用函数p＝﹣（t﹣29）2+0.4刻画．
按照经验，该农作物提前上市的天数m（天）与生长率p之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：
生长率p
0.2
0.25
0.3
0.35
提前上市的天数m（天）
0
5
10
15
求：（1）m关于p的函数表达式（即用含p的代数式表示m）；
（2）用含t的代数式表示m；
（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度，大棚恒温20℃时每天的成本为200元．原计划大棚每天恒温20℃，该作物30天后上市．根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加800元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w（元）与大棚温度t（℃）之间的关系如图．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（注：农作物上市售出后大棚即暂停使用；增加的利润＝增加的销售额﹣大棚加温增加的成本）．

25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点P为抛物线上一点，连接CP，若直线CP分四边形CBPA的面积为1：3的两部分，求点P的坐标．
（3）点D、E是直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值及此时点D的坐标．


参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题．每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题意）
1．观察下列图形，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误．
B、不是中心对称图形，故本选项错误．
C、不是中心对称图形，故本选项错误．
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．下列事件中属于随机事件的是（　　）
A．13名同学中，至少有两名同学出生月份相同
B．任意一个实数的绝对值小于0
C．a，b是实数，a+b＝b+a
D．经过有交通信号的路口，遇到红灯
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、13名同学中，至少有两名同学出生月份相同，是必然事件，不符合题意；
B、任意一个实数的绝对值小于0，是不可能事件，不符合题意；
C、a，b是实数，a+b＝b+a，是必然事件，不符合题意；
D、经过有交通信号的路口，遇到红灯，是随机事件，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
【分析】由抛物线顶点式可求得答案．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+3，
∴顶点坐标为（1，3），
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
4．已知点A（﹣3，2）在二次函数y＝ax2﹣bx的图象上，则下列式子正确的是（　　）
A．9a﹣3b＝2 B．4a﹣2b＝﹣3 C．9a+3b＝2 D．﹣3a﹣2b＝0
【分析】将点A（﹣3，2）代入y＝ax2﹣bx，化简即可．
【解答】解：把点A（﹣3，2）代入y＝ax2﹣bx得，2＝a×（﹣3）2﹣（﹣3）×b，
即9a+3b＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，理解题意并熟练应用二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
5．一元二次方程4x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先求出△的值，再根据Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数；Δ＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．
【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×4×（﹣1）＝20＞0，
∴一元二次方程4x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
6．国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（　　）
A．9（1﹣2x）＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）＝1 D．9（1+x）2＝1
【分析】等量关系为：2016年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2018年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设这两年该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：
9（1﹣x）2＝1，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．
7．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是的中点，则∠D的度数是（　　）

A．70° B．55° C．35.5° D．35°
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根据圆周角定理解答．
【解答】解：连接OB，如图所示，
∵点B是的中点，
∴∠AOB＝∠AOC＝70°，
由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝35°，
故选：D．

【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
8．扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（　　）

A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30
B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
C．30x+2×20x＝×20×30
D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
【分析】根据空白区域的面积＝矩形空地的面积可得．
【解答】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30，
故选：D．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系．
9．已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（　　）
A．y＝x B．y＝﹣2x+2 C．y＝﹣x2+3 D．y＝x2﹣2
【分析】由点A（﹣1，m），B（1，m）的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，于是排除选项A、B；再根据B（1，m），C（2，m﹣n）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a＜0，故C选项正确．
【解答】解：∵A（﹣1，m），B（1，m），
∴点A与点B关于y轴对称，
∵n＞0，
∴m﹣n＜m，
由B（1，m），C（2，m﹣n）可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
对于二次函数只有a＜0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴C选项正确．
故选：C．
【点评】考查一次函数、二次函数上点的坐标特征，可以采用排除法得出答案．
10．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（　　）
A．b＞0，b2﹣ac≤0 B．b＜0，b2﹣ac≤0
C．b＞0，b2﹣ac≥0 D．b＜0，b2﹣ac≥0
【分析】根据a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，可以得到b与a、c的关系，从而可以判断b的正负和b2﹣ac的正负情况，本题得以解决．
【解答】解：∵a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，
∴a+c＝2b，b＝，
∴a+2b+c＝（a+c）+2b＝4b＜0，
∴b＜0，
∴b2﹣ac＝＝﹣ac＝＝≥0，
即b＜0，b2﹣ac≥0，
故选：D．
【点评】本题考查因式分解的应用、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出b和b2﹣ac的正负情况．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．将抛物线y＝2x2向上平移3单位，得到的抛物线的解析式是 　y＝2x2+3　．
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2x2向上平移3单位，得到的抛物线的解析式是y＝2x2+3．
故答案为：y＝2x2+3．
【点评】本题考查的是二次函数图象平移的法则，即“上加下减，左加右减”．
12．一个游戏转盘上有红、黄、蓝三种颜色，其中红、黄、蓝所在区域的扇形圆心角度数分别为60°，90°，210°．则指针落在黄色区域的概率是 　　．
【分析】求出黄色区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．
【解答】解：∵黄扇形区域的圆心角为90°，
所以黄区域所占的面积比例为＝，
即指针停在黄区域的概率是，
故答案为．
【点评】本题主要考查概率公式，掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数是解题的关键．
13．写一个满足下列条件的函数：当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，且当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，则该函数的解析式可以为 　y＝（x+1）2（答案不唯一）　．
【分析】根据“当x＜﹣1时y随x增大而减小；当x＞﹣1时y随x增大而增大”确定对称轴和开口方向，然后写出满足条件的一个二次函数的解析式即可．
【解答】解：∵当x＜﹣1时y随x增大而减小；当x＞﹣1时y随x增大而增大，
∴对称轴为x＝﹣1，开口向上，
∴符合条件的二次函数可以为：y＝（x+1）2，
故答案为：y＝（x+1）2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质，解题的关键是了解二次函数的增减性是以二次函数的对称轴为界的，难度不大．
14．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点M在CD的边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为 　　．

【分析】连接BM．先判定△FAE≌△MAB（SAS），即可得到EF＝BM．再根据BC＝CD＝AB＝3，CM＝2，利用勾股定理即可得到，Rt△BCM中，BM＝，进而得出EF的长．
【解答】解：如图，连接BM．
∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，
∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE．
∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，
∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD．
∴∠FAB＝∠MAE
∴∠FAB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE．
∴∠FAE＝∠MAB．
∴△FAE≌△MAB（SAS）．
∴EF＝BM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝3．
∵DM＝1，
∴CM＝2．
在Rt△BCM中，BM＝＝，
∴EF＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
15．对于实数x，记其整数部分为[x]，如[2]＝2，[2.9]＝2．若[a]＝4，点（a，b）为抛物线y＝x2﹣8.8x上的动点，则b的取值范围是 　19.36≤b＜﹣19　．
【分析】求出4≤a＜5，将抛物线解析式配方，进而求得．
【解答】解：b＝a2﹣8.8a＝（a﹣4.4）2﹣19.36，
∵[a]＝4，
∴4≤a＜5，
∴当a＝4.4时，b最小＝﹣19.3，
当a＝5时，b＝52﹣8.8×5＝﹣19，
∴﹣19.36≤b＜﹣19．
【点评】本题考查了配方法将二次函数解析式配成顶点式，解决问题的关键是确定a的范围．
16．如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，在点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为 　+1　．

【分析】作出△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠BOC＝90°，过点O作OD⊥BC，根据等腰直角三角形的性质求出半径OB的长度，再根据三角形的面积公式，底边BC一定，边BC上的高越大则三角形的面积越大，所以，当BC边上的高过圆心O时，三角形的面积最大，进行求解即可．
【解答】解：如图，△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，
过点O作OD⊥BC，垂足为D，
∵OB＝OC，
∴BD＝CD＝BC＝1，
∵∠BOC＝90°，OD⊥BC，
∴OD＝BC＝1，
∴OB＝＝，
∵BC＝2保持不变，
∴BC边上的高越大，则△ABC的面积越大，当高过圆心时，最大，
此时BC边上的高为：+1，
∴△ABC的最大面积是：×2×（+1）＝+1．
故答案为：+1．

【点评】本题主要考查了面积及等积变化，解题的关键是利用同弦所对的圆周角与圆心角的关系得△BOC是等腰直角三角形是关键．
三、解答题（本大题9小题，共86分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：x2﹣5x﹣2＝0．
【分析】利用公式法求解即可．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣2，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣2）＝33＞0，
则x＝＝，
即x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2，请建立直角坐标系，画出此函数的图象．
【分析】根据二次函数的解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的四个点，然后即可画出相应的图象．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∴该函数的顶点坐标为（1，﹣3），
∵当x＝0时，y＝﹣2，x＝2时，y＝﹣2，当x＝﹣1时，y＝1，当x＝3时，y＝1，
∴该函数过点（0，﹣2），（2，﹣2），（﹣1，1），（3，1），
函数图象如右图所示．

【点评】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是找出函数图象上的五个点，最主要的是确定顶点．
19．（8分）直线y＝2x+6交x轴于点A，交y轴于点B，点C，D分别是点A，B关于原点的对称点，求直线CD的解析式．
【分析】由直线AB的解析式求得A、B的坐标，进而求得C、D的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线CD的解析式．
【解答】解：在y＝2x+6中，令y＝0，则2x+6＝0，
解得x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
令x＝0，则y＝6，
∴B（0，6），
∵点C，D分别是点A，B关于原点的对称点，
∴C（3，0），D（0，﹣6），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得 ，
∴直线CD的函数解析式为y＝2x﹣6．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，关于原点对称的点的坐标特征，三角形的面积，求得C、D的坐标是解题的关键．
20．（8分）小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动．小明想参加敬老服务活动，小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【分析】首先根据题意列表，然后根据表求得所有等可能的结果与和为奇数、偶数的情况，再利用概率公式求解即可．
【解答】解：不公平，
列表如下：

4
5
6
4
8
9
10
5
9
10
11
6
10
11
12
由表可知，共有9种等可能结果，其中和为偶数的有5种结果，和为奇数的有4种结果，
所以按照小明的想法参加敬老服务活动的概率为，按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动的概率为，
由≠知这个游戏不公平；
【点评】此题考查了列表法求概率．注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）如图，已知⊙O的直径BA与弦DC的延长线交于点P，且PC＝CO，，求∠D与∠DOB的度数．

【分析】根据，得到∠COD＝∠AOC+∠BOD＝×180°＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCD＝∠D＝45°，根据外角的性质得到∠P＝∠COP＝∠DCO＝22.5°，即可得到结论．
【解答】解：∵，
∴∠COD＝∠AOC+∠BOD＝×180°＝90°，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠D＝45°，
∵PC＝CO，
∴∠P＝∠COP＝∠DCO＝22.5°，
∴∠DOB＝∠P+∠D＝67.5°．
综合以上可得∠D＝45°，∠DOB＝67.5°．
【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，正确理解同圆的半径相等是解题的关键．
22．（10分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转后得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF，若∠ABC＝60°，点E在线段AB上，BF＝AF．
（1）求证：DA∥BC；
（2）若AB＝4，求AC的长．

【分析】（1）根据旋转的性质，首先证得△ABD是等边三角形，得出∠DAB＝60°，因为∠ABC＝60°，根据平行线的判定即可证得；
（2）证得△ADF≌△BDF，得到∠ADF＝∠BDF＝30°，再证明∠C＝90°即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB＝BD，∠ABD＝α＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB＝60°，
∵∠ABC＝60°，
∴DA∥BC；
（2）解：∵△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，
在△ADF和△BDF中，
，
∴△ADF≌△BDF（SSS），
∴∠ADF＝∠BDF＝30°，
∴DF⊥AB，∠DEB＝∠C＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∵AB＝4，
∴BC＝AB＝2，
∴AC＝＝＝2．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，30°所对的直角边等于斜边的一半的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
23．（10分）在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为上一点，且，连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E．
（1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由；
（2）若四边形ABCD的面积为9，求四边形ABDF的面积．

【分析】（1）由CD是△ABC的外角平分线，可得∠MCD＝∠ACD，又由∠MCD+∠BCD＝180°，∠BCD+∠BAD＝180°，可得∠MCD＝∠BAD，继而证得∠ABD＝∠BAD，即可得DB＝DA；
（2）由DB＝DA，可得＝，再由，则可证得CD＝FD，BC＝AF，然后由SSS判定△BCD≌△AFD，即可求四边形ABDF的面积．
【解答】解：（1）DB＝DA．
理由：∵CD是△ABC的外角平分线，
∴∠MCD＝∠ACD，
∵∠MCD+∠BCD＝180°，∠BCD+∠BAD＝180°，
∴∠MCD＝∠BAD，
∴∠ACD＝∠BAD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴DB＝DA；

（2）证明：∵DB＝DA，
∴＝，
∵，
∴AF＝BC，，
∴CD＝FD，
在△BCD和△AFD中，
，
∴△BCD≌△AFD（SSS），
∴四边形ABDF的面积＝四边形ABCD的面积＝9．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、全等三角形的判定和性质，掌握圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理是解题的关键．
24．（12分）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：当10≤t≤25时可近似用函数p＝t﹣刻画；当25≤t≤37时可近似用函数p＝﹣（t﹣29）2+0.4刻画．
按照经验，该农作物提前上市的天数m（天）与生长率p之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：
生长率p
0.2
0.25
0.3
0.35
提前上市的天数m（天）
0
5
10
15
求：（1）m关于p的函数表达式（即用含p的代数式表示m）；
（2）用含t的代数式表示m；
（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度，大棚恒温20℃时每天的成本为200元．原计划大棚每天恒温20℃，该作物30天后上市．根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加800元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w（元）与大棚温度t（℃）之间的关系如图．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（注：农作物上市售出后大棚即暂停使用；增加的利润＝增加的销售额﹣大棚加温增加的成本）．

【分析】（1）由表格可知，m是p的一次函数，于是得到m＝100p﹣20；
（2）当10≤t≤25时，p＝t﹣，求得m＝100（t﹣）﹣20＝2t﹣40；当25≤t≤37时，根据题意即可得到m＝100[﹣（t﹣29）2+0.4]﹣20＝﹣（t﹣29）2+20；
（3）①当20≤t≤25时，w＝20t﹣200，②当25≤t≤37时，w＝300，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）由表格可知，m是p的一次函数，
∴m＝100p﹣20；
（2）当10≤t≤25时，p＝t﹣，
∴m＝100（t﹣）﹣20＝2t﹣40；
当25≤t≤37时，p＝﹣（t﹣29）2+0.4，
∴m＝100[﹣（t﹣29）2+0.4]﹣20＝﹣（t﹣29）2+20，
∴当10≤t≤25时，m＝2t﹣40；当25≤t≤37时，m＝﹣（t﹣29）2+20；
（3）①当20≤t≤25时，
由（20，200），（25，300），得：
w＝20t﹣200，
∴增加利润为800m+[200×30﹣w（30﹣m）]＝40t2﹣200t﹣12000，
∴当t＝25时，增加的利润的最大值为8000元；
②当25≤t≤37时，w＝300，
增加的利润为800m+6000﹣（30﹣m）×300
＝1100m﹣3000
＝1100×[﹣（t﹣29）2+20]﹣3000
＝﹣（t﹣29）2+19000，
∴当t＝29时，增加的利润最大值为19000元，
此时，m＝20，
综上所述，当t＝29时，提前上市20天，增加的利润最大值为19000元．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，此题涉及数据较多，认真审题很关键．二次函数的最值问题要利用性质来解，注意自变量的取值范围．
25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点P为抛物线上一点，连接CP，若直线CP分四边形CBPA的面积为1：3的两部分，求点P的坐标．
（3）点D、E是直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值及此时点D的坐标．

【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，即可求解析式；
（2）设AB与CP交于点M，分两种情况讨论：①当AM＝3BM时，S△ACP＝3S△BCP，求出 M（2，0），直线CM的解析式为y＝﹣x+3，即可求P（，﹣）；②当BM＝3AM时，3S△ACP＝S△BCP，求出M（0，0），此时CP为y轴，不合题意；
（3）过点B作BF∥DE，且BF＝DE，连结DF，BE，则四边形DEBF是平行四边形，所以 当C、D、F三点共线时，四边形ACDE的周长有最小值，求出CF的解析式为y＝﹣x+3，即可求出D（1，），此时四边形ACDE的周长最小值为1++．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）如图1，设AB与CP交于点M，
①当AM＝3BM时，S△ACM＝3S△BCM，S△AMP＝3S△MPB，
∴S△ACP＝3S△BCP，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴M（2，0），
设直线CM的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+3，
联立，
解得x＝或x＝0（舍），
∴P（，﹣）；
②当BM＝3AM时，3S△ACM＝S△BCM，3S△AMP＝S△MPB，
∴3S△ACP＝S△BCP，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴M（0，0），
此时CP为y轴，不合题意；
综上所述：P点坐标为（，﹣）；
（3）如图2，过点B作BF∥DE，且BF＝DE，连结DF，BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵A、B关于直线x＝1对称，
∴AE＝BE＝DF，
∴四边形ACDE的周长＝AC+DE+DC+AE＝AC+CD+DF+DE，
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴AC＝，
∵DE＝1，
∴四边形ACDE的周长＝1++CD+DF，
当C、D、F三点共线时，四边形ACDE的周长有最小值，
∵BF＝1，
∴F（3，1），
∴CF＝，
设CF的解析式为y＝mx+n，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝，
∴D（1，），
此时四边形ACDE的周长最小值为1++．


【点评】本题考查二次的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用轴对称和平行四边形的性质求最短距离是解题的关键．