北师大版数学九上 期中数学试卷（含答案）

这是一份北师大版数学九上 期中数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级（上）期中数学试卷（总分：100分   时间：90分钟）一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分。每小题只有1个选项符合题意）1．下列事件为必然事件的是（　　）A．某射击运动员射击一次，命中靶心B．任意买一张电影票，座位号是偶数C．从一个只有红球的袋子里面摸出一个球是红球D．掷一枚质地均匀的硬币落地后正面朝上2．把二次函数y=x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　）A．y=（x﹣1）2  B．y=（x﹣1）2﹣2 C．y=（x+1）2+1 D．y=（x+1）2﹣23．下列各组线段中，是成比例线段的是（　　）A．4，6，5，8  B．2，5，6，8  C．3，6，9，18  D．1，2，3，44．将二次函数y=x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（　　）A．W=20x+16800≥17560  B．y=（x+1）2+2C．y=（x﹣1）2﹣2      D．y=（x+1）2﹣25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=62°，那么∠BOD=（　　）A．124°  B．100°  C．62°  D．31°6．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（　　）A．a＞0，b＞0，c＜0      B．a＞0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0      D．a＞0，b＜0，c＞07．诸暨影视城里有一座圆形的土楼，如图，小王从南门点A沿AO匀速直达土楼中心古井点O处，停留拍照后，从点O沿OB也匀速走到点B，紧接着沿回到南门，下面可以近似地刻画小王与土楼中心O的距离s随时间t变化的图象是（　　）A． B． C．D．8．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm，则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（　　）A． B． C． D．9．如图，记抛物线y=﹣x2+1的图象与x正半轴的交点为A，将线段OA分成n等份，设分点分别为P1，P2，…，Pn﹣1，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，Qn﹣1，再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…的面积分别为S1，S2，…，这样就有S1=，…；记W=S1+S2+…+Sn﹣1，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（　　）A． B． C． D．10．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，P是线段AC上一个动点，连接BP，过C作CD⊥BP于D，交AB于E，连接AD，则下列关于线段AD的说法正确的是（　　）A．存在最大值，最大值为                 B．存在最小值，最小值为2﹣2C．存在最小值，最小值为1﹣            D．存在最大值，但不存在最小值二、填空题（本题包括6小题，每空2分，共12分）11．（2分）已知⊙O的面积为36π，若PO=7，则点P在⊙O　 　．12．（2分）线段4和1的比例中项为是　 　．13．（2分）如图，水平放着的圆柱形排水管的截面，水深EC=8cm，水面宽AB=24cm，则圆柱形排水管的半径为　   　cm．14．（2分）如图，平面上有两个全等的正十边形，其中A点与A′点重合，C点与C′点重合．∠BAJ′为　  　°．15．（2分）若将直尺的0cm刻度线与半径为5cm的量角器的0°线对齐，并让量角器沿直尺的边缘无滑动地滚动，则直尺上的10cm刻度线对应量角器上的度数约为　  　．（保留π）16．（2分）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，则线段EP1长度的最大值与最小值的差为　   　．三、解答题（本题包括8小题，共58分）17．（7分）如图是一个圆形轮子的一部分，请你用直尺和圆规把它补完整．18．（7分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（3，3）、B（1，2），△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）画出△A1OB1，直接写出点A1，B1的坐标；（2）求在旋转过程中，线段AB所扫过的面积．   19．（7分）已知：如图，在⊙O中，AB=CD，AB与CD相交于点M，（1）求证： =；（2）求证：AM=DM．20．（7分）某纪念币从2013年11月11日起开始上市，通过市场调查得知该纪念币每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天41036市场价y元905190（1）根据上表数据，在某一特定时期内，可从下列函数中选取一个恰当的函数描述纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系：①y=ax+b（a≠0）；  ②y=a（x﹣h）2+k（ a≠0）；  ③y=（a≠0）．你可选择的函数的序号是　  　．（2）利用你选取的函数，求该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少？      21．（7分）在1个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外，其余都相同），其中有白球2个，黄球1个，若从中任意摸出一个球，这个球是白色的概率为．（1）求口袋中红球的个数；（2）若摸到红球记0分，摸到白球记1分，摸到黄球记2分．甲从口袋中摸出一个球，不放回，再摸出一个，请用画树状图或列表的方法求甲摸出两个球得2分的概率．     22．（7分）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；（2）求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式．23．（8分）问题背景：如图（a），点A，B在直线L的同侧，要在直线L上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于直线L的对称点 B′，连接A B′与直线L交于点C，则点C即为所求．（1）运用：如图（b），已知⊙O的直径CD为4，点A在⊙O 上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为多少？写出解答过程．（2）拓展：如图（c），在抛物线y=x2﹣2x﹣3的对称轴上有两动点M，N（点M在点N的下方），且MN=6，试求四边形ACMN的周长最小值 （直接写出答案）．        24．（8分）如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．                         参考答案一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分。每小题只有1个选项符合题意）1．【考点】随机事件．【分析】必然事件就是一定会发生的事件，即发生的概率是1的事件．【解答】A、某射击运动员射击一次，命中靶心，为不确定事件，即随机事件，不符合题意；B、任意买一张电影票，座位号是偶数，为不确定事件，即随机事件，不符合题意；C、从一个只有红球的袋子里面摸出一个球是红球，是必然事件，符合题意；D、掷一枚质地均匀的硬币落地后正面朝上，为不确定事件，即随机事件，不符合题意．故选C．2．【考点】二次函数的三种形式．【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】y=x2﹣2x﹣1=x2﹣2x+1﹣1﹣1=（x﹣1）2﹣2．故选B．3．【考点】比例线段．【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．【解答】A、4×8≠5×6，故选项错误；B、2×8≠5×6，故选项错误；C、3×18=6×9，故选项正确；D、1×4≠2×3，故选项错误．故选C．4．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可．【解答】y=x2向左平移1个单位得y=（x+1）2，再向上平移2个单位得y=（x+1）2+2．故选B．5．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠A=∠DCE=62°，由圆周角定理知，∠BOD=2∠A=124°．【解答】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A=∠DCE=62°，∴∠BOD=2∠A=124°．故选A．6．【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】由抛物线的开口方向向上可推出a＞0；因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x=﹣＞0，又∵a＞0，∴b＜0；由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，故选B．　7．【考点】动点问题的函数图象．【分析】从A→O的过程中，s随t的增大而减小；直至s=0；从O→B的过程中，s随t的增大而增大；从B沿回到A，s不变．【解答】当小王从A到古井点O的过程中，s是t的一次函数，s随t的增大而减小；当停留拍照时，t增大但s=0；当小王从古井点O到点B的过程中，s是t的一次函数，s随t的增大而增大．当小王回到南门A的过程中，s等于半径，保持不变．综上所述，只有C符合题意．故选：C．8．【考点】二次函数的应用．【分析】根据题意可以求得点C、点B的坐标，然后根据眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称，从而可以求得点D和点F的坐标，然后设出右轮廓线DFE所在抛物线的函数顶点式，从而可以解答本题．【解答】∵眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称，AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm，∴点C的坐标为（﹣3，0），点B（﹣1，1），∴点D（1，1），点F（3，0），设右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为：y=a（x﹣3）2，则1=a（1﹣3）2，解得，a=，∴右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为：y=（x﹣3）2，故选D．9．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】令y=﹣x2+1=0可找出点A的坐标，进而可得出Qn﹣1（，1﹣）的坐标，结合三角形的面积即可得出Sn﹣1=，将其代入W中即可得出W=﹣﹣，随着n的增大，W值越来越接近．【解答】当y=﹣x2+1=0时，x=1或x=﹣1，∴点A的坐标为（1，0），∴Qn﹣1（，1﹣），∴Sn﹣1=••[1﹣]=．W=S1+S2+…+Sn﹣1=++…+===﹣﹣，∵当n越来越大时，﹣﹣越来越接近于0，∴W最接近的常数是．故选B．10．【考点】圆的综合题．【分析】根据垂线的定义得到∠CDB=90°，根据圆周角定理的推理得点D总在以BC为直径的圆上，所以当点D为OA与圆的交点时，线段AD最短，如图，再根据勾股定理计算出OA，然后利用AD=OA﹣OD计算即可．【解答】∵CD⊥BP，∴∠CDB=90°，∴点D总在以BC为直径的圆上，∵线段AD的长为点A到圆上点D的距离，∴当点D为OA与圆的交点时，线段AD最短，如图，∵∠ACB=90°,AC=2，BC=4，∴OC=2，∴OA==2，∴AD=OA﹣OD=2﹣2，即线段AD存在最小值，最小值为2﹣2．故选B．二、填空题（本题包括6小题，每空2分，共12分）11．（2分）【考点】点与圆的位置关系．【分析】先由圆的面积求得⊙O的半径，再根据PO=7，判断点P与⊙O的位置关系．【解答】设圆的半径为r，则πr2=36π，解得r=6，∵PO=7，∴点P在⊙O外．12．（2分）【考点】比例线段．【分析】根据线段比例中项的概念，可得线段4和1的比例中项的平方=4×1=4，依此即可求解．【解答】∵1×4=4，（±2）2=4，又∵线段是正数，∴线段4和1的比例中项为2．故答案为：2．13.（2分）【考点】垂径定理的应用．【分析】连接OA，根据垂径定理得AE=AB=12cm，根据勾股定理即刻得到结论．【解答】连接OA，∵OC⊥AB，∴AE=AB=12cm，在Rt△OAE中，AO2=OE2+AE2，即OA2=（OA﹣8）2+122，∴OA=13，∴圆柱形排水管的半径为13cm，故答案为：13．14．（2分）【考点】正多边形和圆．【分析】由平面上有两个全等的正十边形，其中A点与A′点重合，C点与C′点重合，即可求得AB′=AB=BC=B′C以及∠B、∠B′与∠B′AJ′的度数，继而证得四边形ABCB′是菱形，则可求得∠B′AB的度数，继而求得答案．【解答】∵平面上有两个全等的正十边形，其中A点与A′点重合，C点与C′点重合，∴AB′=AB=BC=B′C，∠B=∠B′=∠B′AJ′==144°，∴四边形ABCB′是菱形，∴AB∥B′C，∴∠B′AB=180°﹣∠B′=36°，∴∠BAJ′=∠B′AJ′﹣∠B′AB=144°﹣36°=108°．故答案为：108．15．（2分）【考点】弧长的计算．【分析】利用弧长公式计算即可．【解答】由题意弧长应该是10cm，根据半径为5cm，那么5×π×n÷180=10，那么圆心角n≈115°．故答案为115°．16．（2分）【考点】旋转的性质．【分析】过点B作BD⊥AC，D为垂足，在Rt△BCD中，根据BD=BC×sin45°求出BD的长．①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，据此求解可得．【解答】如图，过点B作BD⊥AC，D为垂足，∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上，在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=．①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为﹣2,②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为2+5=7，∴线段EP1长度的最大值与最小值的差为7﹣+2=9﹣，故答案为：9﹣．三、解答题（本题包括8小题，共58分）17．（7分）【考点】垂径定理的应用；作图—应用与设计作图．【分析】在残缺的圆中，找出两条弦（两弦不平行），然后作这两条弦的垂直平分线，根据垂径定理的推论知，这两条中垂线的交点即为圆的圆心，从而可将圆形补全．【解答】如图：18．（7分）【考点】作图﹣旋转变换；扇形面积的计算．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标；（2）根据AB扫过的面积等于以OA、OB为半径的两个扇形的面积的差列式计算即可得解．【解答】（1）如图，△A1OB1即为所求三角形，A1（﹣3，3），B1（﹣2，1）；（2）∵OB==，OA==3，∴S扇形OAA1==π，S扇形OBB1==π，则线段AB所扫过的面积为：π﹣π=π．19．（7分）【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】（1）由在⊙O中，AB=CD，根据弦与弧的关系，可证得=，继而可证得=;（2）首先连接AC，BD，易证得△ACM≌△DBM，继而证得AM=DM．【解答】证明：（1）∵在⊙O中，AB=CD，∴=，∴﹣=﹣，∴=；（2）连接AC，BD，∵=，∴AC=BD，在△ACM和△DBM中，，∴△ACM≌△DBM（ASA），∴AM=DM．20．（7分）【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据，逐一判断出可选择的函数的序号是哪个即可．（2）根据二次函数最值的求法，求出该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少即可．【解答】（1）①设纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=ax+b时，则，解得．∴y=﹣6.5x+116，∵﹣6.5×36+116=﹣118≠90，∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系不是y=﹣6.5x+116；②设纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=a（x﹣h）2+k（ a≠0）时，则,解得∴y=（x﹣20）2+26，∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=（x﹣20）2+26．③4×90=360，10×51=510，36×90=3240，∵360≠510≠3240，∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系不是y=（a≠0）．∴选择的函数的序号是②．（2）∵y=（x﹣20）2+26，∴当x=20时，y有最小值26，∴该纪念币上市20天时市场价最低，最低价格为26元．答：该纪念币上市20天时市场价最低，最低价格为26元．21．（7分）【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）首先设红球有x个，由概率公式可得，解此方程即可求得答案；（2）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与摸出两个球得2分的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）设红球有x个，则=0.5，解得：x=1，经检验：x=1是原分式方程的解；∴红球有1个；（2）列表如下： 红白1白2黄红（红，红）（红，白1）（红，白2）（红，黄）白1（白1，红）（白1，白1）（白1，白2）（白1，黄）白2（白2，红）（白2，白1）（白2，白2）（白2，黄）黄（黄，红）（黄，白1）（黄，白2）（黄，黄）∵共有16中情况，其中摸出两个球得2分的有6种，∴P（摸出两个球得2分）=．22．（7分）【考点】二次函数综合题．【分析】（1）易得点A、B的坐标，用交点式设出二次函数解析式，把D坐标代入即可．自变量的取值范围是点A、B之间的数．（2）设出所求函数解析式，让它与二次函数组成方程组，消除y，让跟的判别式为0，即可求得一次函数的比例系数k．【解答】（1）根据题意可得：A（﹣1，0），B（3，0），则设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0），又∵点D（0，﹣3）在抛物线上，∴a（0+1）（0﹣3）=﹣3，解之得：a=1∴y=x2﹣2x﹣3，自变量范围：﹣1≤x≤3（2）设过点D（0，﹣3），“蛋圆”切线的解析式为：y=kx﹣3（k≠0），由题意可知方程组只有一组解即kx﹣3=x2﹣2x﹣3有两个相等实根，∴k=﹣2，∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=﹣2x﹣3．23．（8分）【考点】二次函数综合题．【分析】（1）过点B作CD的垂线交CD于E点，交圆O于B1点，连接AB1，当P点为AB1与CD的交点时，AP+BP的值最小，根据勾股定理求出AB1，即可得出PA+PB的最小值．（2）由于AC与MN的长度都是定值，所以当四边形ACMN的周长最小时，AN+CM最小．将点C向上平移6个单位得C′，连接BC′交对称轴于点N，再将点N向下平移6个单位即得到点M，则AN+CM=BC′最小，运用勾股定理即可求出BC′的长度．【解答】（1）如图b，过点B作CD的垂线交CD于E点，交圆O于B1点，连接AB1，当P点为AB1与CD的交点时，AP+BP的值最小．过A点作CD的垂线交CD于F点，交圆O于H点，过B1作AH的垂线交AH于G点．由垂径定理可知：BP=B1P；∵∠ACD=30°，B为弧AD的中点，∴OE=OF=1．∴EF=B1G=，又由于AG=AF+FG=，AB12=AG2+B1G2=（+1）2+（﹣1）2=3．∴AB1=2，即AP+BP的最小值为2．（2）如图c，将点C（0，﹣3）向上平移6个单位得C′（0，3），连BC′交对称轴于点N，再将点N向下平移6个单位得点M，则AN+CM最小．∵CC′∥MN，CC′=MN=6，∴CC′NM是平行四边形，∴C′N=CM．∵A、B两点关于MN对称，∴BN=AN，∴AN+CM=BN+C′N=BC′．∵B（3，0），C′（0，3），∴BC′==3，即四边形ACMN的周长最小时，AN+CM的长为3．24．（8分）【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5得顶点P的为（﹣2，﹣5），把点B（1，0）代入抛物线解析式，解得，a=；（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，根据点P、M关于点B成中心对称，证明△PBH≌△MBG，所以MG=PH=5，BG=BH=3，即顶点M的坐标为（4，5），根据抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到，所以抛物线C3的表达式为y=（x﹣4）2+5；（3）根据抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得点N的纵坐标为5，设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K，可求得EF=AB=2BH=6，FG=3，点F坐标为（m+3，0），H坐标为（2，0），K坐标为（m，﹣5），根据勾股定理得：PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34．分三种情况讨论，利用勾股定理列方程求解即可．①当2∠PNF=90°时，PN2+NF2=PF2，解得m=，即Q点坐标为（，0）；②当∠PFN=90°时，PF2+NF2=PN2，解得m=，∴Q点坐标为（，0），③PN＞NK=10＞NF，所以∠NPF≠90°综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．【解答】（1）由抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5得，顶点P的坐标为（﹣2，﹣5），∵点B（1，0）在抛物线C1上，∴0=a（1+2）2﹣5，解得a=；（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，∵点P、M关于点B成中心对称，∴PM过点B，且PB=MB，∴△PBH≌△MBG，∴MG=PH=5，BG=BH=3，∴顶点M的坐标为（4，5），抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到，∴抛物线C3的表达式为y=（x﹣4）2+5；（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到，∴顶点N、P关于点Q成中心对称，由（2）得点N的纵坐标为5，设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K，∵旋转中心Q在x轴上，∴EF=AB=2BH=6，∴FG=3，点F坐标为（m+3，0）．H坐标为（﹣2，0），K坐标为（m，﹣5），∵顶点P的坐标为（﹣2，﹣5），根据勾股定理得：PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34，①当∠PNF=90°时，PN2+NF2=PF2，解得m=，∴Q点坐标为（，0）．②当∠PFN=90°时，PF2+NF2=PN2，解得m=，∴Q点坐标为（，0）．③∵PN＞NK=10＞NF，∴∠NPF≠90°综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．