【期末押题复习】人教版数学九年级上册 期末突破-专题03 旋转（单元精练）

2022-2023上学期人教版上册9年级数学单元精练与期末考试达标试题突破

专题03 旋转单元精练

（满分100分，答题时间90分钟）

一、选择题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）

1.（2022湖南常德）国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形的是（    ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解．

A不是中心对称图形，故A错误；

B是中心对称图形，故B正确；

C不是中心对称图形，故C错误；

D不是中心对称图形，故D错误．

【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合，理解并掌握如何判断中心对称图形的条件是解题的关键．

2. （2022广西百色）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ）

A. 平行四边形 B. 等腰梯形

C. 正三角形 D. 圆

【答案】D

【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．

A．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；

B．等腰梯形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；

C．正三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；

D．圆是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确．

【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．

3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；

B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；

C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；

D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．

4. （2022新疆）平面直角坐标系中，点P(2，1)关于x轴对称的点的坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】直接利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出答案．

点P（2，1）关于x轴对称的点的坐标是（2，-1）．

【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．

5．（2021浙江衢州）如图．将菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α得到菱形AB′C′D′，∠B＝∠β．当AC平分∠B′AC′时，∠α与∠β满足的数量关系是（　　）

A．∠α＝2∠β B．2∠α＝3∠β 

C．4∠α+∠β＝180° D．3∠α+2∠β＝180°

【答案】C

【解析】∵AC平分∠B′AC′，

∴∠B'AC＝∠C'AC，

∵菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α得到菱形AB′C′D′，

∴∠BAB'＝∠CAC'＝α，

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC，

∴∠BAB'＝∠DAC'，

∴∠BAB'＝∠B'AC＝∠CAC'＝∠DAC'＝α，

∵AD∥BC，

∴4α+β＝180°．

6.（2022内蒙古呼和浩特）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】根据旋转的性质可得，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，则∠B=∠BDC，利用三角形内角和可求得∠B，进而可求得∠E，则可求得答案．

∵将绕点顺时针旋转得到，且

∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，

∴∠B=∠BDC，

∴，

∴，

∴，

．

【点睛】本题考查了旋转变换、三角形内角和、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．

7.（2022上海）有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（   ）

A. 6 B. 9 C. 12 D. 15

【答案】C

【解析】根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与一致或有倍数关系的则符合题意．

如图所示，计算出每个正多边形中心角，是的3倍，则可以旋转得到．

A.B.C.D.

观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合

故选C．

【点睛】本题考查正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度数并与旋转度数建立关系．

8．（2020•青岛）如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（　　）

A．（0，4） B．（2，﹣2） C．（3，﹣2） D．（﹣1，4）

【答案】D

【解析】根据平移和旋转的性质，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，即可得点A的对应点A′的坐标．

如图，

△A′B′C′即为所求，

则点A的对应点A′的坐标是（﹣1，4）．

二、填空题（本大题有7个小题，7个空，每空3分，共21分）

1. （2022吉林）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角可以为  　度．（写出一个即可）

【答案】60或120或180或240或300（写出一个即可）

【解析】如图（见解析），求出图中正六边形的中心角，再根据旋转的定义即可得．

这个图案对应着如图所示的一个正六边形，它的中心角，

，

角可以为或或或或，

故答案为：60或120或180或240或300（写出一个即可）．

【点睛】本题考查了正多边形的中心角、图形的旋转，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．

2．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为A（0，3），B（﹣1，1），C（3，1）．△A'B'C′是△ABC关于x轴的对称图形，将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，点A'的对应点为M，则点M的坐标为　    　．

【答案】（﹣2，1）．

【解析】延长A'B'后得出点M，进而利用图中坐标解答即可．

将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，如图所示：

所以点M的坐标为（﹣2，1）。

3．（2021湖北鄂州）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（﹣3，3），将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为 　    　．

【答案】（2，2）．

【解析】如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F．利用全等三角形的性质解决问题即可．

解：如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F．

∵∠AEC＝∠ACB＝∠CFB＝90°，

∴∠ACE+∠BCF＝90°，∠BCF+∠B＝90°，

∴∠ACE＝∠B，

在△AEC和△CFB中，

，

∴△AEC≌△CFB（AAS），

∴AE＝CF，EC＝BF，

∵A（﹣3，3），C（﹣1，0），

∴AE＝CF＝3，OC＝1，EC＝BF＝2，

∴OF＝CF﹣OC＝2，

∴B（2，2），故答案为：（2，2）．

4.如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为　  　．

【答案】1.6．

【解析】由旋转的性质可得：AD=AB，

∵∠B=60°，

∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB，

∵AB=2，BC=3.6，

∴CD=BC﹣BD=3.6﹣2=1.6．

5. （2022河南） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为　    　．

【答案】或

【解析】连接，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分点在线段上和的延长线上，且，勾股定理求得即可．

如图，连接，

Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，

，，

，

根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且，

，

如图，在中，，

在中，

故答案为：或．

6．（2021山东枣庄）如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为　   　．

【答案】（1，﹣1）．

【解析】连接AA′，CC′，线段AA′、CC′的垂直平分线的交点就是点P．

连接AA′、CC′，

作线段AA′的垂直平分线MN，作线段CC′的垂直平分线EF，

直线MN和直线EF的交点为P，点P就是旋转中心．

∵直线MN为：x＝1，设直线CC′为y＝kx+b，由题意：，

∴， 

∴直线CC′为y＝x+，

∵直线EF⊥CC′，经过CC′中点（，），

∴直线EF为y＝﹣3x+2，

由得，

∴P（1，﹣1）．

故答案为（1，﹣1）．

7．（2021贵州铜仁）如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB1C1D1的位置，则阴影部分的面积是　　    ．

【答案】2﹣．

【解析】连接AE，根据旋转的性质推出Rt△AB1E≌Rt△ADE，再由含30度角的直角三角形性质得出DE＝，最后由图可以得出S阴影部分＝2（S正方形ABCD﹣S四边形ADEB1），将相关数值代入求解即可．如图，

连接AE，根据题意可知AB1＝AD＝1，∠B1＝∠D＝90°，∠BAB1＝30°，

在Rt△AB1E和Rt△ADE中，

，

∴Rt△AB1E≌Rt△ADE（HL），

∵∠B1AE＝∠DAE＝∠B1AD＝30°，

∴＝，解得DE＝，

∴S四边形ADEB1＝2S△ADE＝2××AD×DE＝，

∴S阴影部分＝2（S正方形ABCD﹣S四边形ADEB1）＝2×（1﹣）＝2﹣．

三、解答题（本大题有5个小题，共55分）

1. (8分)（2022安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．

（1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到，请画出﹔

（2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到，请画出．

【答案】（1）见解析    （2）见解析

【解析】【分析】（1）根据平移的方式确定出点A1，B1，C1的位置，再顺次连接即可得到；

（2）根据旋转可得出确定出点A2，B2，C2的位置，再顺次连接即可得到．

【详解】（1）如图，即为所作；

（2）如图，即为所作；

【点睛】本题考查作图-旋转变换与平移变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

2. （12分）如图，将小旗ACDB放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标为A（﹣6，12），B（﹣6，0），C（0，6），D（﹣6，6）．以点B为旋转中心，在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转90°．

（1）画出旋转后的小旗A′C′D′B′；

（2）写出点A′，C′，D′的坐标；

（3）求出线段BA旋转到B′A′时所扫过的扇形的面积．

【答案】见解析。

【解析】本题考查了利用旋转变换作图，扇形的面积计算，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．

（1）根据平面直角坐标系找出A′、C′、D′、B′的位置，然后顺次连接即可；小旗A′C′D′B′如图所示。

（2）根据旋转的性质分别写出点A′，C′，D′的坐标即可；

点A′（6，0），C′（0，﹣6），D′（0，0）

（3）先求出AB的长，再利用扇形面积公式列式计算即可得解．

∵A（﹣6，12），B（﹣6，0），

∴AB=12，

∴线段BA旋转到B′A′时所扫过的扇形的面积==36π．

3.（10分）（2020甘肃威武）如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到．

（1）求证：≌．

（2）若，，求正方形边长．

【答案】（1）证明见解析；（2）正方形的边长为6．

【解析】（1）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；

（2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得．

【详解】（1）由旋转的性质得：

四边形ABCD是正方形

，即

，即

在和中，

；

（2）设正方形的边长为x，则

由旋转的性质得：

由（1）已证：

又四边形ABCD是正方形

则在中，，即

解得或（不符题意，舍去）

故正方形的边长为6．

【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键．

4. （12分）（2020湖北武汉）在的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别为，，，．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：

（1）将线段绕点逆时针旋转，画出对应线段；

（2）在线段上画点，使（保留画图过程的痕迹）；

（3）连接，画点关于直线的对称点，并简要说明画法．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】（1）根据题意，将线段是将线段绕点逆时针旋转即可；

（2）连接BD，并连接（4,2），（5,5）点，两线段的交点即为所求的点E.

（3）连接（5,0）和（0,5）点，与AC的交点为F,且F为所求.

解：（1）如图示，线段是将线段绕点逆时针旋转得到的；

（2）∠BCE为所求的角，点E为所求的点.

（3）连接（5,0）和（0,5）点，与AC的交点为F,且F为所求.

【点睛】本题考查了作图-旋转变换，正方形的性质，全等三角形的性质和轴对称的性质，熟悉相关性质是解题的关键．

5.（13分） （2022辽宁沈阳）（1）如图，和是等腰直角三角形，，点C在OA上，点D在线段BO延长线上，连接AD，BC．线段AD与BC的数量关系为______；

（2）如图2，将图1中的绕点O顺时针旋转（）第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．

（3）如图，若，点C线段AB外一动点，，连接BC，

①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值______；

②若以BC为斜边作，（B、C、D三点按顺时针排列），，连接AD，当时，直接写出AD的值．

【答案】（1）AD=BC；（2）结论仍成立，理由见详解；（3）①，②．

【解析】【分析】（1）由题意易得，然后可证，进而问题可求解；

（2）由题意易得，然后可证，进而问题可求证；

（3）①根据题意作出图形，然后根据三角不等关系可得，则当A、C、D三点共线时取最大，进而问题可求解；②过点C作CE⊥AB于点E，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，然后可得点C、D、B、E四点共圆，则有，设，则，进而根据勾股定理可进行方程求解．

【详解】（1）AD=BC，理由如下：

∵和是等腰直角三角形，，

∴，

∴（SAS），

∴AD=BC，

故答案为AD=BC；

（2）结论仍成立，理由如下：

∵和是等腰直角三角形，，

∴，

∴，即，

∴（SAS），

∴AD=BC；

（3）①如图，

由题意得：，

根据三角不等关系可知：，

∴当A、C、D三点共线时取最大，

∴，

∵，，

∴，

∴AD的最大值为；

②过点C作CE⊥AB于点E，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，如图所示：

∴，

∴点C、D、B、E四点共圆，

∵，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴，

设，则，

∴，

∴，，

∴在Rt△AEC和Rt△BEC中，由勾股定理得：，整理得：①；

在Rt△BFD中，由勾股定理得：，整理得：②，

联立①②得：，

解得：（不符合题意，舍去），

∴，

过点E作EM⊥AD于点M，

∴，，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、四点共圆及含30度直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、四点共圆及含30度直角三角形的性质是解题的关键．