【期末考前必练】2022-2023学年苏科版数学八年级上册期末考点必刷题：专练10 压轴大题（15题）

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专练10压轴大题（15题）
1．（2021·辽宁连山·八年级期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE＝CD，BD交CE于点P．
（1）如图1，求证：∠BPC＝120°；
（2）点M是边BC的中点，连接PA，PM，延长BP到点F，使PF＝PC，连接CF，
①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是　 　．
②如图3，若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）①AP＝2PM；②成立，证明见解析
（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
在△AEC和△CDB中，
，
∴△AEC≌△CDB（SAS），
∴∠ACE＝∠CBD，
∵∠BPC+∠DBC+∠BCP＝180°，
∴∠BPC+∠ACE+∠BCP＝180°，
∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°；
（2）①解：AP＝2PM，
理由如下：∵△ABC为等边三角形，点M是边BC的中点，
∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝30°，
∵AM⊥BC，点M是边BC的中点，
∴PB＝PC，
∵∠BPC＝120°，
∴∠PBC＝∠PCB＝30°，
∴PC＝2PM，∠ACP＝30°，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴PA＝PC，
∴AP＝2PM，
故答案为：AP＝2PM；
②解：①中的结论成立，
理由如下：延长PM至H，是MH＝PM，连接AF、CH，
∵∠BPC＝120°，
∴∠CPF＝60°，
∵PF＝PC，
∴△PCF为等边三角形，
∴CF＝PF＝PC，∠PCF＝∠PFC＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCF，
∴∠BCP＝∠ACF，
在△BCP和△ACF中，
，
∴△BCP≌△ACF（SAS），
∴AF＝BP，∠AFC＝∠BPC＝120°，
∴∠AFP＝60°，
在△CMH和△BMP中，
，
∴△CMH≌△BMP（SAS），
∴CH＝BP＝AF，∠MCH＝∠MBP，
∴CH∥BP，
∴∠HCP+∠BPC＝180°，
∴∠HCP＝60°＝∠AFP，
在△AFP和△HCP中，
，
∴△AFP≌△HCP（SAS），
∴AP＝PH＝2PM．

【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
2．（2021·江西寻乌·八年级期末）（1）问题背景：如图①，在四边形中，．E，F分别是上的点，且，请探究图中线段之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，得；再由条件可得，证明，进而可得线段之间的数量关系是_____________________．
（2）探索延伸：如图②，在四边形中，．E，F分别是，上的点，且．问（1）中的线段之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以60海里/小时的速度前进．2小时后，甲､乙两舰艇分别到达E，F处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．

【答案】（1）；（2）仍然成立，证明见解析；（3）220海里．
解：（1）在和中，
，
∴，
∴．
∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
故答案为：；
（2）仍然成立．
证明：如图1，延长到G，使，连接，

∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图2，

连接，延长､相交于点G．
∵∠AOB=20°+90°+（90°-80°）=120°，∠EOF=60°，
∴，
又∵，
∴符合（2）中探索延伸中的条件，
∴结论成立，
即海里．
答：此时两舰艇之间的距离是220海里．
【点睛】
本题考查了四边形内角和问题，全等三角形的判定和性质，本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．
3．（2021·广西玉州·八年级期末）已知等边的边长为，点，分别是直线，上的动点．

（1）如图1，当点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，到达终点时停止运动．设它们的运动时间为秒，连接，．
①当时，求的度数．
②当为何值时是直角三角形？
（2）如图2，当点在的延长线上，在上，若，请判断、和之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①30°；②或；（2），见解析.
（1）①根据题意得，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，是等边三角形，
∴，
∴；
（2）由题意知，，
当时，
∵，
∴，得：
，
解得；
当时，
∵，
∴，
得，
解得；
∴当秒或秒时，为直角三角形；
（2），理由如下：
如图所示，过点作，交于，
则是等边三角形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∵，，，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形，数学分类思想，直角三角形的性质，构造辅助线，证明三角形的全等是解题的关键.
4．（2021·江苏海州·八年级期末）如图1，，，以点为顶点、为腰在第三象限作等腰直角．

（1）求点的坐标；
（2）如图2，是轴负半轴上一个动点，当点向轴负半轴向下运动时，若以为直角顶点，为腰作等腰直角，过点作轴于点，求的值；
（3）如图3，已知点坐标为，当在轴运动时，作等腰直角，并始终保持，与轴交于点，与轴交于点，求、满足的数量关系．
【答案】（1）点C的坐标为（-6，-2）；（2）2；（3）m＋n=-6
解：如图，过C作CM⊥x轴于M点，

∵CM⊥OA，AC⊥AB，
∴∠MAC＋∠OAB＝90°，∠OAB＋∠OBA＝90°，
则∠MAC＝∠OBA，
在△MAC和△OBA中，
∠CMA＝∠AOB＝90°，∠MAC＝∠OBA，AC＝BA，
∴△MAC≌△OBA（AAS），
∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，
∴点C的坐标为(-6，-2)；
（2）如图，过D作DQ⊥OP于Q点，

∴DE=OQ，
∵∠APO+∠QPD=90°,∠APO+∠OAP=90°，
∴∠QPD=∠OAP，
在△AOP和△PDQ中，
∵∠AOP=∠PQD=90°，∠QPD=∠OAP，AP=PD，
∴△AOP≌△PDQ(AAS)，
∴AO=PQ=2，
∴OP−DE=OP−OQ=PQ=OA=2；
（3）如图，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，

则FS＝FT＝3，∠FHS＝∠HFT＝∠FGT，
在△FSH和△FTG中：
∠FSH＝∠FTG＝90°，∠FHS＝∠FGT，FS＝FT，
则△FSH≌△FTG（AAS），
则GT＝HS，
又∵G(0，m)，H(n，0)，点F坐标为(-3，-3)，
∴OT=OS=3，OG=|m|=-m，OH=n，
∴GT=OG-OT=-m-3，HS=OH＋OS=n+3，
则-3-m=n+3，
则m＋n=-6．
【点睛】
考查了坐标系中的几何问题，熟练掌握全等三角形的“三垂直”模型的特点是解题的关键．
5．（2021·重庆巴蜀中学八年级期末）已知：在中，点E是的中点，连接，点D在上，连接，过点E作交于点F，交于点G，，连接，交于点H，，过点D作于点K；

（1）如图1，若，，时，求的面积．
（2）如图2，若，，求证：．
【答案】(1)48；（2）见解析.
（1）∵，，，
∴BF=EF=4，
∵AF=8，∴AB=AF+BF=12，
∴=24，
∵BE=EC，
∴=48；

（2）取DH的中点M，连接CM，
∵CD=CH，
∴CM⊥DH，
∵EF⊥DE,∠BEF=45°,
∴∠MEC=45°,
∴∠MEC=∠BEF，
∴△MEC是等腰直角三角形，
∴EM=EC，
∵∠BGE=∠ADE，
∴∠DGE=∠HDC，
∵CD=CH，
∴∠DHC=∠HDC，
∴∠DGE=∠DHC，
∵∠DGE=∠BEF+∠GBE，∠DHC=∠MEC+∠HCE，
∴∠GBE=∠HCE，
∵BE=EC，
∴△BGE≌△CHE，
∴BG=CH，GE=HE，
∵BG=DH，
∴DH=CH，
在和中

∴△DHK≌△CHM，
∴HM=HK，
∵EM=EH+HM，
∴GE+HK=EM，
∴GE+HK=EC.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的全等，三角形外角和定理，线段的和的意义，构造等腰直角三角形EMC是解题的关键.
6．（2021·河南封丘·八年级期末）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）全等，理由见详解；PC⊥PQ，理由见解析；（2）存在，或．
解：（1）当时，，，
又，
在和中，

．
，
．
，
即线段与线段垂直．
（2）①若，
则，，
则，
解得：；
②若，
则，，
则，
解得：；
综上所述，存在或使得与全等．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用．
7．（2021·湖北房县·八年级期末）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．

（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°．
①求证：AD＝BE；
②求∠AEB的度数．
（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）①见解析；②80°；（2）AE＝2CF+BE，理由见解析．
（1）①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，
∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣2×50°＝80°，
∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠DCE＝∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE．
②解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵点A、D、E在同一直线上，且∠CDE＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝130°，
∴∠BEC＝130°，
∵∠BEC＝∠CED+∠AEB，∠CED＝50°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝80°．
（2）结论：AE＝2CF+BE．
理由：∵△ACB，△DCE都是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∵CF⊥DE，
∴∠CFD＝90°，DF＝EF＝CF，
∵AD＝BE，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CF．

【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形全等的证明，正确理解等腰三角形的性质以及三角形全等的证明是本题的解题关键．
8．（2021·广东南海·八年级期末）如图，两个全等的等边三角形△ABC与△ACD，拼成的四边形ABCD中，AC＝6，点E、F分别为AB、AD边上的动点，满足BE＝AF，连接EF交AC于点G，连接BD与CE、AC、CF分别交于点M、O、N，且AC⊥BD．
（1）求证：△CEF是等边三角形．
（2）△AEF的周长最小值是 　 　．
（3）若BE＝3，求证：BM＝MN＝DN．

【答案】（1）见解析；（2）6+3；（3）见解析
（1）证明：∵△ABC，△ACD是全等的等边三角形，
∴AC＝BC，∠ABC＝∠DAC＝∠BCA＝60°，
∵AF＝BE，在△CBE和△CAF中，
，
∴△BEC≌△AFC（SAS），
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE，
∴∠ECF＝∠BCA＝60°，
∴△CEF是等边三角形．
（2）解：∵△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+BE+EF＝AB+EF＝6+EF，
∴EF的值最小时，△AEF的周长最小，
∵△ECF是等边三角形，
∴EF＝CE，
∴当CE⊥AB时，CE的值最小，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠BCE=30°，
∴BE=，
∴CE＝，
∴△AEF的周长的最小值为6+3，
故答案为：6+3．
（3）证明：∵△ABC，△ACD是全等的等边三角形，AC⊥BD
∴AO＝CO，BO＝DO，∠ABO＝∠ABC＝30°
∵BE＝3，AB＝AC＝6，
∴点E为AB中点，点F为AD中点，
∴AO＝AB＝3，
∴BO＝，
∴BD＝6，
∵△ABC是等边三角形，BE＝AE＝3，
∴CE⊥AB，
∴BM＝2EM，
∴
∴BM＝2，
同理可得DN＝2，
∴MN＝BD﹣BM﹣DN＝2
∴BM＝MN＝DN．

【点睛】
此题考查了三角形全等，勾股定理，线段最值问题，解题的关键是根据题意找到题目中边角之间的关系．
9．（2021·全国·八年级期末）如图1，已知RtABC中，∠BAC＝90°，点D是AB上一点，且AC＝8，∠DCA＝45°，AE⊥BC于点E，交CD于点F．
(1)如图1，若AB＝2AC，求AE的长；
(2)如图2，若∠B＝30°，求CEF的面积；
(3)如图3，点P是BA延长线上一点，且AP＝BD，连接PF，求证：PF+AF＝BC．

【答案】(1)；(2)；(3)见解析
（1）∵AB＝2AC，AC＝8，
∴AB＝16，
∵∠BAC＝90°，
∴BC＝，
∵AE⊥BC，
∴S△ABC＝，
∴AE＝．
（2）如图，过点作于点，则，

∠B＝30°，，,
，,
,
,
AE⊥BC，
，

设，则，，
，
，
，
，

解得



（3）证明：如图3中，过A点作AM⊥CD于点M，与BC交于点N，连接DN．

∵∠BAC＝90°，AC＝AD，
∴AM⊥CD，AM＝DM＝CM，∠DAM＝∠CAM＝∠ADM＝∠ACD＝45°，
∴DN＝CN，
∴∠NDM＝∠NCM，
∵AE⊥BC，
∴∠ECF＋∠EFC＝∠MAF＋∠AFM＝90°，
∵∠AFM＝∠EFC，
∴∠MAF＝∠ECF，
∴∠MAF＝∠MDN，
∵∠AMF＝∠DMN，
∴△AMF≌△DMN（ASA），
∴AF＝DN＝CN，
∵∠BAC＝90°，AC＝AD，
∴∠DAM＝∠CAM＝∠ADM＝∠ACD＝45°，
∴∠NAP＝∠CDB＝135°，
∵∠MAF＝∠MDN，
∴∠PAF＝∠BDN，
∵AP＝DB，
∴△APF≌△DBN（SAS），
∴PF＝BN，
∵AF＝CN，
∴PF＋AF＝CN＋BN，
即PF＋AF＝BC．
【点睛】
考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
10．（2021·陕西汉台·八年级期末）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下研究：


（1）如图1，△ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
（2）如图2，△ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACD，∠EAB＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，若AB＝4，BC＝2，∠ABC＝45゜，求BD的长．
（3）如图3，四边形ABCD中，连接AC，CD＝BC，∠BCD＝60°，∠BAD＝30°，AB＝15，AC＝25，求AD的长．
【答案】（1）CE=BD，见解析；（2）6；（3）20
（1）∵∠EAB=∠CAD
∴∠BAC+∠EAB=∠BAC+∠CAD
即∠EAC=∠BAD
在△EAC和△BAD中

∴△EAC≌△BAD(SAS)
∴CE=BD
（2）∵∠EAB=∠CAD=90゜
∴∠BAC+∠EAB=∠BAC+∠CAD
即∠EAC=∠BAD
∵△EAB、△CAD都是等腰直角三角形，且∠EAB=∠CAD=90゜
∴AE=AB=4，∠EBA=45゜，AC=AD
∴由勾股定理得：
在△EAC和△BAD中

∴△EAC≌△BAD(SAS)
∴CE=BD
∵∠EBC=∠EBA+∠ABC=45゜+45゜=90゜
∴在Rt△EBC中，由勾股定理得：
∴BD=6
（3）如图，连接BD
∵CD=BC，∠BCD=60゜
∴△BCD是等边三角形
把△ACD绕点D顺时针旋转60゜得到△EBD，点E与点A对应，连接AE
则BE=AC=25，△ADE是等边三角形
∴∠DAE=60゜，AD=AE
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=30゜+60゜=90゜
即AB⊥AE
在Rt△BAE中，由勾股定理得：
∴AD=20

【点睛】
本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，旋转变换，第三问作旋转变换是关键，也是难点．本质上来说，前两问也可看成把△EAC绕A点逆时针旋转的角度一定角度而得到△BAD．
11．（2021·广东龙华·八年级期末）阅读下列材料，并解答其后的问题：
定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做等补四边形．
如图1，若AB＝AD，∠A+∠C＝180°，则四边形ABCD是等补四边形．

（1）理解：如图2，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°．请用尺规作图法作出点D，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形是等补四边形；（只需作出一个满足条件的点D即可．要求不用写作法，但要保留作图痕迹．）
（2）探究：如图3，等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD是对角线．求证：BD平分∠ADC；
（3）运用：将斜边相等的两块三角板如图4放置，其中含45°角的三角板ABC的斜边与含30°角的三角板ADC的斜边重合，B、D位于AC的两侧，AB＝BC＝4，连接BD．则BD的长为　　．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2+2．
（1）如图2，

作法：①在直线AB上方作∠BAM＝∠BAC，
②在边AM上截取AD＝AC，
点D就是所求的点．
证明：连接BD，
∵AD＝AC，∠BAD＝∠BAC，AB＝AB，
∴△BAD≌△BAC（SAS），
∠ADB＝∠ACB＝90°，
∠ADB+∠ACB＝180°，
四边形ACBD是等补四边形，
∴点D就是所求的点．
（2）如图3，过点B作BE⊥AD于E，作BF⊥CD，交DC的延长线于F，

∴∠AEB＝∠BFC＝90°，
∵∠A+∠BCD＝180°，∠BCF+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠BCF，
∵AB＝BC，
∴△AEB≌△CFB（AAS），
∴BE＝BF，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴点B在∠ADC的平分线上，
∴BD平分∠ADC．
（3）如图4，

作AP⊥BD于点P，则∠APB＝∠APD＝90°，
由题意得，∠ADC＝∠ABC＝90°，∠DAC＝60°，∠BAC＝45°，
∴∠BAD＝60°+45°＝105°；
∵∠DAB+∠DCB
＝360°﹣（∠ADC+∠ABC）
＝360°﹣（90°+90°）＝180°，
AB＝BC＝4，
∴四边形ABCD是等补四边形；
由（2）得，DB平分∠ADC，
∴∠PDA＝∠ADC＝45°，
∴∠PAD＝45°，
∴∠PDA＝∠PAD，
∴PD＝PA，∠PAB＝105°﹣45°＝60°，
∴∠ABP＝30°，
∴PD＝PA＝AB＝2，
∴BP＝＝＝2，
∴BD＝BP+PD＝2+2．
故答案为：2+2
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的性质与判定，勾股定理，30度角所对的直角边等于斜边的一半，正确的作出图形是解题的关键．
12．（2021·黑龙江香坊·八年级期末）已知：菱形中，过点作，垂足为点，．

（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，连接、，点在上，于点，交于点，点在上，连接、，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，分别连接、，、交于点，交于点，若，，求菱形的面积．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）菱形的面积为．
解：（1）连接，

∵四边形为菱形，
∴，，
∵，，
∴
∴
∴，；
（2）∵四边形为菱形，
∴平分

∴
∵，
∴
在中，，
∴
又∵，
∴
∵为等边三角形，，
∴
∴
∴（SAS）
∴；
（3）在上取点，使，连接，
∵四边形为菱形，

∴，
∴
又∵，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴（ASA）
∴，
∴，即
∵，，

∴
∴，
∴
∴，
∵，设，则
过点作于点，交于点，连接，

∴在中，.
∴，
∴
在中，
∴
∵垂直平分，
∴，
又由（2）得，
∴，
又∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
在中，

∴
在中，
∴，
易解得

在中，

解得：
∴
易求得
∴菱形的面积为：.
【点睛】
本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形、勾股定理、平行线的性质等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键.
13．（2021·辽宁大连·八年级期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A、B，与直线交于点C，点D为直线上点C右侧的一点．

（1）如图1，若的面积为6，则点D的坐标为________；
（2）如图2，当时，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点E为直线上一点，设点E的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
解：（1）如图1，对于直线y＝−2x−4，当y＝0时，由−2x−4＝0得，x＝−2，
∴A（−2，0）；
当y＝3时，由−2x−4＝3得，x＝−，
∴C（−，3），
设D（r，3），
∵点D在点C右侧，
∴CD＝r＋，
由题意，得×3（r＋）＝6，
解得，r＝，
∴
故填：；
（2）过D作于G，过G作轴分别交直线，x轴于点M，N，如图．

∵，
∴为等腰直角三角形，．
又∵，
∴，
∴，
∴，，
设，在中，令，，
∴，则，
∵点G在直线上，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∴，，
∴．
设直线的解析式为，代入，．
则，解得，
∴直线的解析式为；
（3）当点E在线段上时，如图2，此时．

图2 图3 图4
∵，，
∴，
∴
过E作于F．
∵点E在直线上，点E横坐标为m，
∴，
∴．
∴；
当点E在延长线上时，，如图3

∴当时，；
当点E在延长线上时，如图4，．
过E作于F，则，
．
综上所述，
【点睛】
此题重点考查一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、根据三角形的面积求函数关系式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识与方法，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，构造等腰直角三角形及全等三角形，此题难度较大，属于考试压轴题．
14．（2021·湖南零陵·八年级期末）已知直线y＝x+4与x轴、y轴相交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）将直线AB进行平移，平移后的函数解析式为y＝kx+b，并与x轴、y轴相交于C、D两点，当S△OCD＝24时，求直线CD的解析式；
（3）在x轴上有一点P，使得△ABP是等腰三角形．请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．

【答案】（1）A（-3，0），B（0，4）；（2）或；（3）（，0）或（-8，0）（2；0）或（3，0）
解：（1）当时，，则点的坐标为：；
当时，，则点的坐标为：；
（2）由题意得直线的解析式为：，
当时，，则点的坐标为：；
当时，，则点的坐标为：，；
，
，
，解得：或，
直线的解析式为或；
（3）①当时，点在线段的垂直平分线上，如图：

设P（x，0），
则OP=x，AP=BP=x+3，
在△BOP中，，
即，
解得：，
，；
②当时，如图：

，，
，
，
，，
或；；
②当时，点在线段的垂直平分线上，如图：

，，
，
，
在和中，
，
，
，
；
综上可得点的坐标为，或，；或．
【点睛】
本题属于一次函数综合题，涉及了一次函数的几何变换、一次函数图象上点的坐标特征，及三角形的面积，等腰三角形的判定，难点在第三问，分类讨论思想的运用是解题的关键．
15．（2021·河南省淮滨县第一中学八年级期末）[材料阅读]
材料一：如图1，∠AOB=90°，点P在∠AOB的平分线OM上，∠CPD=90°，点C，D分别在OA，OB上．可求得如下结论：PC-PD，OC+OD为定值．
材料二（性质）：四边形的内角和为360°．

[问题解决]
（1）如图2，点P在∠AOB的平分线OM上，PE⊥OA，OP=m，PE=n，∠CPD的边与OA，OB交于点C，D，且∠AOB+∠CPD=180°，求OC+OD的值（用含m，n的式子表示）．
（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，点P是AB的中点，∠CPD=90°，PC与y轴交于点C，PD与x轴的正半轴交于点D，OC=2，连接CD．求CD的长度．
【答案】（1）；（2）或．
解：（1）如图1，作，，

P在的平分线上，则，
在四边形OCPD中，
∵∠AOB+∠CPD=180°，
∴，
在和中，

则，
∴，而，
∴，
在中，
；
（2）当点C在y轴上方时，
如图2，连接，

由直线可得：，，
∴，是等腰直角三角形，
∵P为AB的中点，
∴ ，，,
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
所以，
由直线，可得B（7，0），
在中，，
当点C在y轴下方时，
如图3，连接，

∵是等腰直角三角形，P为AB的中点，
∴ ，，,
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
所以，
由B（7，0），可得，
在中，；
综上所述，CD的长度为或．
【点睛】
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、三角形全等等，要注意分类求解，避免遗漏．