【期末考前必练】2022-2023学年苏科版数学八年级上册期末考点必刷题：专练08 全等三角形与勾股定理（20题）

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专练08 全等三角形与勾股定理（20题）
1．（2021·河南·永城市教育体育局教研室八年级期末）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度． 他们是这样做的（如图所示）：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对（∠ABC = 90°）的一棵树A；
②沿河岸直走100步有一棵树C，继续前行100步到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走．
（1）只需测量△CDE的哪条边长，就可以得到河宽AB？
（2）请你证明他们做法的正确性．

【答案】（1）DE；（2）见解析
（1）只需测量△CDE的DE边长，就可以得到河宽AB；
（2）由题意知：∠ABC =∠EDC = 90°，BC=DC，∠ACB=∠ECD，
在和中，
，


【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定性质和定理是解答此题的关键.
2．（2021·河北·献县教育体育局教研室八年级期末）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：DC⊥BE ．
　
【答案】（1）△ABE≌△ACD，证明见解析 （2）见解析
解：（1）△ABE≌△ACD．
证明：∠BAC＝∠EAD＝90°，
∠BAC ＋∠CAE＝∠EAD ＋∠CAE，
即∠BAE＝∠CAD，
又AB＝AC，AE＝AD，
△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）由（1）得∠BEA＝∠CDA，
又∠COE＝∠AOD，
∠BEA＋∠COE ＝∠CDA＋∠AOD＝90°，
则有∠DCE＝180°－ 90°＝90°，
所以DC⊥BE．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、垂直定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
3．（2021·浙江莲都·八年级期末）已知：如图，∠1＝∠2，∠B＝∠AED，BC＝ED．
求证：AB＝AE．

【答案】见解析
证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，
∴∠DAE=∠CAB．
在△DAE和△CAB中，
，
∴△DAE≌△CAB（AAS），
∴AB=AE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质，证明△DAE≌△CAB是解题的关键．
4．（2021·辽宁建昌·八年级期末）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CD；
（2）证明：∠1＝∠3．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
（1）证明：∵∠1=∠2，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE和中，
∵，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；

（2）由（1）已证，知，△ABE≌△CBD
∴∠A=∠C，
又∵∠AFB=∠CFE，
∴∠1＝∠3．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理与性质、对顶角相等、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
5．（2021·吉林铁西·八年级期末）如图，，，，，垂足分别为，．
（1）求证：；
（2）若，，请直接写出的长．

【答案】（1）见解析；（2）5
解：（1）∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，∴
（2）∵，
∴AD=CE，BE=CD，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解答本题的关键是得出证明△ACD和△CBE全等的三个条件．
6．（2021·河南·永城市教育体育局教研室八年级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，连接AE，且BA = AE．
（1）若∠BAE = 30°，求∠C的度数；
（2）若△ABC的周长为18cm，AC = 7cm，求DC的长．

【答案】（1）37.5°；（2）5.5cm
解：（1）∵EF垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴∠C=∠EAC，
∵BA = AE．
∴∠ABE=∠AEB，
∵∠AEB是△AEC的外角，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∴∠ABE=∠AEB=2∠C，
∵∠BAE = 30°，∠AEB+∠BAE+∠ABE=180°，
∴2∠C+30°+2∠C=180°，
∴∠C=；
（2）∵AB=AE，AD⊥BE，
∴BD=DE，
∵△ABC周长18cm，AC=7cm，
∴AB+BE+EC=11cm，
即2DE+2EC=11cm，
∴DE+EC=DC=5.5cm．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度适中．
7．（2021·全国·八年级期末）如图，已知点D，E分别是ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．
（1）求证：ABC是等腰三角形
（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若，求∠AGC的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）
（1）证明：∵AF是∠DAC的角平分线
∴∠DAF=∠CAF
又∵
∴∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
∴是等腰三角形
（2）∵CG是∠ACE的角平分线
∴∠ACG=∠ECG
又∵，∠ACB=∠B
∴
∴∠ACG=∠ECG=
又∵∠CAG=∠ACB
∴∠AGC=
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等相关知识点，牢记知识点是解题关键．
8．（2021·甘肃省会宁县教学研究室八年级期末）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．

（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）AB的长为15cm；（2）的度数为．
解：（1）∵DM，EN分别垂直平分AC和BC
∴，
∵△CMN的周长为15cm
∴
∴
∴
AB的长为
（2）由（1）得，
∴，
在中，
∴
根据对顶角的性质可得：，
在中，
在中，
∴
∴
在中，
∴
∴
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质和整体思想的利用．
9．（2021·全国·八年级期末）已知：等边ABC中
（1）如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足∠AMN=60°，求的值；
（2）如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A、B重合），点N在CB的延长线上且∠MNB=∠MCB，求证：AM=BN．

【答案】（1）3；（2）证明见详解；
解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝AC，

∵点M是BC的中点，
∴∠MAN＝30°，∠AMB＝90°，
∵∠AMN＝60°，
∴∠BMN＝30°，∠BNM=90°，
∴BM＝2BN，AB＝2BM，
设BN＝x，则BM＝2x，AB＝4x，
∴AN＝3x，
∴；
（2）证明：如图2，过点M作MG∥NC交AC于点G，

∴∠A＝∠AMG＝∠AGM＝60°，
∴△AMG为等边三角形，
∴AM＝AG，
∴BM＝CG，
∵∠AGM＝∠ABC＝60°，
∴∠MGC＝∠NBM＝120°，
∵MG∥BC，
∴∠GMC＝∠MCB，
∵∠MNB＝∠MCB，
∴∠GMC＝∠MNB，
∴△MGC≌△NBM（AAS），
∴MG＝BN，
∵△AMG为等边三角形，
∴AM＝MG，
∴AM＝BN．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形．
10．（2021·辽宁西丰·八年级期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，点D在边AB上运动（D不与A，B重合）连接CD，将△ABC沿CD翻折得到△A'B'C，A′C交AB于点E，A'B交AC于点F．
（1）求证：△BCE≌△B'CF；
（2）当∠DCA＝15°时，判断DE与A′E的数量关系，并加以证明．

【答案】（1）见解析；（2）DE＝A'E，证明见解析
（1）证明：∵将△ABC沿CD翻折得到△A'B'C，
∴∠BCD＝∠B'CD，∠FCD＝∠ECD，∠B＝∠B'，BC＝B'C，
∴∠BCE＝∠FCB'，
在△BCE和△B'CF中，
，
∴△BCE≌△FCB'（ASA）；
（2）解：DE＝A'E．
证明：∵∠A＝30°，∠DCA＝15°，
∴∠EDC＝∠A+∠DCA＝30°+15°＝45°，
∴∠FDC＝∠EDC＝45°，
∴∠EDF＝90°，
∴∠A'DE＝90°，
∴DE＝A'E．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
11．（2021·广东香洲·八年级期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积．

【答案】四边形ABCD的面积为36．
解：连接AC，如图所示：

∵∠B=90°，
∴△ABC为直角三角形，
又AB=4，BC=3，
∴根据勾股定理得：AC==5，
又AD=13，CD=12，
∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，
则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=AB•BC+AC•CD
=×3×4+×12×5
=36．
答：四边形ABCD的面积为36．
【点睛】
本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．
12．（2021·河南南乐·八年级期末）如图所示，在中，，，，在顶点A处有一点P，在线段上以的速度匀速运动至点C停止，在顶点C处有一点Q，以的速度从点C出发沿的路线匀速运动，两点同时出发，当点Q停止运动时，点P也随之停止运动．

（1）求的长；
（2）若两点运动4秒时，求此时的长；
（3）设两点运动时间为t秒，当是一个等腰直角三角形时，求t的值．
【答案】（1）12cm；（2）13cm；（3）或
解：（1）在中，，AC=9cm，AB=15cm，根据勾股定理，
（cm），
（2）当两点运动4秒时，cm，cm，
∴（cm），
在中，根据勾股定理，
（cm），
（3）当是一个等腰直角三角形时，PC=CQ，
设两点运动时间为t秒时，，则，
当点Q从点C向点B运动时，，
∴，
解得，
当点Q从点B向点C运动时，，
∴
解得，
即当是一个等腰直角三角形时，t的值是或．
【点睛】
本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质．
13．（2021·河南·八年级期末）已知：如图，ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CECD，连接DE．

（1）证明：BDE是等腰三角形；
（2）若AB＝2，求DE的长度．
【答案】（1）见解析；（2）
（1）证明：为等边三角形，

，
，
，
，
为中线
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：为中线，
，，
，
在中，由勾股定理得：,
．
【点睛】
此题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，解题的关键是求出DE=BD和求出BD的长．
14．（2021·辽宁营口·八年级期末）一艘轮船从港向南偏西48°方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是．
（1）若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间．
（2）岛在港的什么方向？

【答案】（1）3小时；（2）北偏西
解：（1）由题意可知，AD⊥BC，
在中，，
∴，
，
∵BC＝125km，
，
，
∴（小时），
∴从岛返回港所需的时间为3小时；
（2），，
，
，
，
岛在港的北偏西．

【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，是基础知识比较简单．
15．（2021·湖南绥宁·八年级期末）如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB．

【答案】12米
解：Rt△ABC中，∠B＝90°，
设BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m）
则10＋a＝x＋b＝15（m）．
∴a＝5（m），b＝15﹣x（m）
又在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＋BC2＝AC2，即（10＋x）2＋a2＝b2，
∴（10＋x）2＋52＝（15﹣x）2，
解得，x＝2，即AD＝2（米）
∴AB＝AD＋DB＝2＋10＝12（米）
答：树高AB为12米．

【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理．
16．（2021·湖南长沙·八年级期末）在四边形ABCD中，已知AB=10，BC=6，AD=8，CD＝8且AC⊥BC于点C．

试求：（1）AC的长；
（2）∠BCD的度数．
【答案】（1）8；（2）135°
解：（1）∵AB=10，BC=6，AC⊥BC，
∴AC=8；
（2）∵AD=8，AC=8，CD=8，
∴CD2=AD2+AC2，
∴∠CAD=90°，
又∵AD=AC=8，
∴∠ACD=∠ADC=45°，
∴∠BCD=90°+45°=135°．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
17．（2021·安徽巢湖·八年级期末）我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．下面是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证明”图形．
（1）此图可以用来证明你学过的什么定理？请写出定理的内容；
（2）已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c，图1、图2的面积相等，请你根据此图证明（1）中的定理．

【答案】（1）勾股定理；直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，那么；（2）见解析
解：（1）勾股定理：
直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，那么；
（2）图1的面积为：，
图2的面积为，
图1、图2的面积相等，
，
．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键是表示出图1和图2的面积．
18．（2021·贵州威宁·八年级期末）如图①在中，，，点和点均在边上，且．
（1）如图②把绕点顺时针旋转90°至，可使与重合，连接，求证：
（2）试猜想、、应满足的数量关系，并写出推理过程．

【答案】（1）见详解；（2）DE2＝CE2＋BD2，理由见详解
解：（1）由旋转可知，△ABD≌△ACG，
∴AD＝AG，∠CAG=∠BAD，
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠EAG＝∠CAE+∠CAG=∠CAE+∠BAD=90°-45°=45°，
在△DAE和△GAE中，
，
∴△DAE≌△GAE（SAS）；
（2）由△DAE≌△GAE，
∴BD＝EG，
由旋转，BD＝CG，∠ACG＝∠B=45°，
∴∠ECG＝∠ACG+∠ACB=90°，
在Rt△CEG中，EG2＝EC2＋CG2，
∴DE2＝CE2＋BD2．
【点睛】
本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质，熟练应用勾股定理是解题的关键．
19．（2021·河南洛阳·八年级期末）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示的直线上建一座图书室．本社区有两所学校，所在的位置为点和点处，于点，于点．已知，，，要求图书室到两所学校的距离相等．
（1）在图中作出点；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求出图书室到点的距离；
（3）连接，，，则的形状是　　三角形．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）等腰直角
解：（1）如图所示，点即为所求；

（2）设，则，
，
，
解得：，
图书室到点的距离为；
（3）由（2）知，，，且已知，，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
【点睛】
本题主要考查作图应用设计作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的尺规作图及其性质、勾股定理．
20．（2021·云南曲靖·八年级期末）2021年4月29日，在我国海南文昌航天发射场，长征五号B遥二运载火箭搭载“天和”核心舱发射升空，开启了星辰大海的全新征程，火箭在上升阶段需要地面雷达观测站的实时观测．如图，火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从地面处的雷达站测得的距离是，；当火箭到达点时，测得，求火箭从点上升到点的高度．（结果保留根号）

【答案】火箭从到上升的高度为．
解：在中，km，，
∴km，
∴km，
∵，，
∴，
∴，
∴km，
∴．
答：火箭从到上升的高度为．
【点睛】
本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．