【期末考前必练】2022-2023学年苏科版数学八年级上册期末考点必刷题：专练09 一次函数大题（15题）

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专练09 一次函数大题（15题）
1．（2021·陕西·西北工业大学附属中学八年级期末）如图，已知直线y＝kx＋2与x轴、y轴分别相交于点A、点B，∠BAO＝30°，若将△AOB沿直线CD折叠，使点A与点B重台，折痕CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
（1）求k的值．
（2）在直线BC上是否存在一点P，使得△ABP的面积与△ABO的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在；点的坐标为或
解：（1）把代入中得，
∴，
∴，
在中，∠BAO＝30°，
∴，
∴，
∴，
把代入代入中，
得：，
解得：；
（2）由折叠的性质可知，
由（1）知，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
设直线解析式为，
把，代入中，
，解得，
∴直线解析式为，
设，
∵,
∴，
当点在点下方时(图1)，

∵，
∴，
∵
＝
＝
＝
＝，
∴，
∴，
∴；
当点在点上方时（图），

∵
＝
＝
＝，
∴，
∴，
∴；
综上点的坐标为或．
【点睛】
本题考查了一次函数的综合运用，待定系数法求一次函数解析式以及坐标与图形，轴对称等知识点，根据题意求出各点的坐标是解题的关键，注意分类讨论．
2．（2021·河北唐县·八年级期末）面临毕业季，某电脑营销商瞄准时机，在五月底筹集到资金12.12万元，用于一次性购进A、B两种型号的电脑共30台．根据市场需求，这些电脑可以全部销售，全部销售后利润不少于1.6万元，其中电脑的进价和售价见下表：

A型电脑
B型电脑
进价(元/台)
4200
3600
售价(元/台)
4800
4000
设营销商计划购进A型电脑x台，电脑全部销售后获得的利润为y万元．
（1）试写出y与x的函数关系式；
（2）该营销商有几种购进电脑的方案可供选择？
（3）该营销商选择哪种购进电脑的方案获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y=200x+12000；（2）该经销商有三种购进电脑的方案可供选择；（3）当进A型电脑22台，B型电脑8台时获利最大，利润为16400元
解（1）根据题意：购进A型电脑x台，则购进B型电脑为台，A型电脑每台的利润为：（4800-4200）元，B型电脑每台的利润为（4000-3600)元，依据题意可得：
y与x的函数关系式为：，
即为：；
(2)由题意得：
解得，
∵x为整数 ，
∴x取20、21或22，
即该经销商有三种购进电脑的方案可供选择；
（3）由（1)知：，
∵，
∴y随x的增大而增大，
即当x取最大值22， 时，y有最大值，
y最大=200×22+12000=16400（元）
∴当进A型电脑22台，B型电脑8台时获利最大，利润为16400元．
【点睛】
题目主要考查一次函数的应用、不等式的应用，理解题意列出相应方程时解题关键．
3．（2021·河北唐县·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD顶点A、B、C的坐标分别为(0，6)、(0，2)、(4，2)，直线l：y=kx+5-3k（k>0)．

（1）点D的坐标是 ；
（2）若直线l：y=kx+5-3k经过点D，求直线l的解析式；
（3）在（2)的条件下，若直线l与BC、x轴分别交于点E、F，求CEF的面积；
（4）在（2)的条件下，若点P(x，y)是第一象限内直线l上的一个动点，当点P运动过程中，是否存在CEP为等腰三角形？若存在直接写出满足条件的点P的个数．
【答案】（1）（4，6）；（2）y＝x＋2；（3）4；（4）存在，满足条件的点P的个数是3
解：（1）根据题意，可得D（4，6）；
（2）若直线y＝kx＋5－3k经过点D（ 4，6），
则：6＝4k＋5－3k
解得：k＝1，
∴直线l的解析式为y＝x＋2
（3）由（2）得：直线l的解析式为y＝x＋2，
当y＝2时，x＝0，
∴E（0，2）即E，B重合，
又∵C（4，2） B（0，2） ，
∴EC＝4 ，OB＝2，
∴S△CEF＝CE×OB×＝4
（4）如图，存在；满足条件的点P的个数是3

【点睛】
本题考查待定系数法求函数解析式、三角形面积公式、等腰三角形的判定、垂直平分线的性质，综合性较强，熟练掌握基础知识是关键.
4．（2021·浙江莲都·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋4交y轴于点A，直线l2：y＝﹣x与l1交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）在y轴左侧，有一条平行于y轴的动直线，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的上方．
①当MN＝2时，求△BMN的面积；
②点Q为y轴上一动点若△MNQ是以NQ为直角边的直角三角形，且两直角边长之比为3∶4，求出满足条件所有点Q的坐标．

【答案】（1）（﹣2，2）；（2）①1；②（0，）或（0，）
解：（1）∵直线l2：y＝﹣x与l1交于点B，
∴联立方程组可得，
解得：，
∴B点坐标为（﹣2，2）；
（2）①如图，设平行于y轴的动直线为：直线x＝m，
过点B作BC⊥y轴，交直线x＝m于点D，

∴M点坐标为（m，m＋4），N点坐标为（m，﹣m），
∴MN＝m＋4﹣（﹣m）＝2，
解得：m＝﹣1，
又∵B点坐标为（﹣2，2），
∴BD＝﹣1﹣（﹣2）＝1，
∴S△BMN＝MN•BD＝＝1；
②如图，

i）在Rt△MNQ中，当MN∶QN＝3∶4时，
设MN＝3a，QN＝4a，
∴N点坐标为（﹣4a，4a），M点坐标为（﹣4a，﹣4a＋4），Q点坐标为（0，4a），
∴MN＝﹣4a＋4﹣4a＝3a，
解得：a＝，
∴Q点坐标为（0，），
ii）在Rt△MNQ中，当QN∶MN＝3∶4时，
设MN＝4a，QN＝3a，
∴N点坐标为（﹣3a，3a），M点坐标为（﹣3a，﹣3a＋4），Q点坐标为（0，3a），
∴MN＝﹣3a＋4﹣3a＝4a，
解得：a＝，
∴Q点坐标为（0，），
综上，Q点坐标为（0，）或（0，）．
【点睛】
本题考查一次函数的交点问题，理解一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合和分类讨论思想解题是关键．
5．（2021·四川宣汉·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且与直线交于点．

（1）在直线上有一动点，过点作轴的垂线交直线于点，求当点在点上方时的取值范围；
（2）若是直线上的点，且的面积为32，求直线的函数表达式．
【答案】（1），（2）CD的表达式为或者．
解：（1）直线与直线交于点，
过点作轴的垂线交直线于点，当点在点上方时，


即：时，
解得：；
（2）∵直线分别与轴、轴交于点、，
∴,,
∴,
则的高为：，
∵是直线上的点，
∴点D的坐标为：或，
设直线CD的解析式为：，
则或，
解得：或，
∴直线的函数表达式为：或．
【点睛】
本题考查了两直线交点问题，一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数解析式等知识点，求出图中各点坐标是解题的关键．
6．（2021·四川成都·八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点（，）．

（1）若，，求直线的表达式；
（2）如图2，在（1）的条件下，直线：与直线交于点，点．直线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线下方有一点，其横坐标为，连接，若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）存在，G（1，）或（−5，−）；（3）＜1．
解：（1）由题意知：
A（−4，0），B（0，−2），
设直线l1的表达式为：y＝kx＋b，
，解得：，∴；
（2）如图1，

联立，解得：，∴C（−2，−1），
设直线CD的表达式是：y＝mx＋n，
∴，解得：，∴，
令y＝0，，解得：，∴E（，0），
∴AE＝4−＝，
∴S△ACD＝AE•DF＝××3＝4，
∵，
∴S△CDG＝3，
设G（x，x），
∴OD•|x＋2|＝3，
即×2•|x＋2|＝3，
∴x1＝1，x2＝−5，
∴G（1，）或（−5，−）；
（3）如图2，

①当m＋n＜0时，即，
在AO 的延长线上截取OC＝OA，
∵OB⊥AC，
∴AB＝BC，
∴∠BCO＝∠BAO，
∴∠APB＝∠BAO＋∠BCO＝2∠BAO，
∴P点在CB的延长线上，
故存在l1 下方有一点P，满足∠PBA＝2∠BAO，
如图3，

②在AO 的延长线上截取OC＝OA，
当m＋n＞0时，即：1，
由①知：∠ABE＝2∠BAO，
∴∠PBA＝∠ABE＋∠PBE，
∴∠PBA＞∠ABE，
∴∠PBA≠2∠BAO，
综上所述：＜1．
【点睛】
本题考查了一次函数表达式和图象之间的关系，主要是由点的坐标求函数关系式，由表达式求点的坐标以及结合等腰三角形求满足条件的式子的范围，解决问题的关键是正确的分类．
7．（2021·湖南绥宁·八年级期末）某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的苹果每千克降价4元销售，全部售完．销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示，请根据图象提供的信息完成下列问题：
（1）降价前苹果的销售单价是　　元/千克；
（2）求降价后销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）该水果店这次销售苹果盈利了多少元？

【答案】（1）16；（2）y＝12x＋160（40＜x≤50）；（3）360元
解：（1）由图可得，
降价前苹果的销售单价是：640÷40＝16（元/千克），
故答案为：16；
（2）降价后销售的苹果千克数是：（760﹣640）÷（16﹣4）＝10（千克）．
∴销售的苹果总数为40＋10＝50（千克）．
设降价后销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的函数解析式是y＝kx＋b，
∵该函数过点（40，640），（50，760），
∴，
解得：．
即降价后销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的函数解析式是y＝12x＋160（40＜x≤50）；
（3）该水果店这次销售苹果盈利了：760﹣8×50＝360（元）．
答：该水果店这次销售苹果盈利了360元．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，读懂题意，找准等量关系，数轴图像各点代表的含义是解本题的关键．
8．（2021·河北顺平·八年级期末）公交是一种绿色的出行方式，今年我具开通环保电动公交车．公交车在每天发车前需先将蓄电池充满、然后立即开始不间断运行．为保障行车安全，当蓄电池剩余电最低于20KWh时，需停止运行．在充电和运行过程中，蓄电池的电量y（单位：KWh）与行驶时间x（单位：h）之间的关系如图所示，
（1）公交车每小时充电量为 　 　KWh，公交车运行的过程中每小时耗电量为 　 　KWh；
（2）求公交车运行时，y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）求蓄电池的电量剩余25%时，公交车运行时间x的值．

【答案】（1）30,15；（2）；（3）10h
（1）由图象可知5h共充电
每小时充电量为：
由图象可知，11h共耗电
公交车运行的过程中每小时耗电量为：
故答案为：
（2）设公交车运行时y关于x的函数解析式为，
图象经过点（5,200)和（16,35)，将其代入得：

解得：

当时,，
，
公交车运行时y关于x的函数解析式为：
；
（3）当蓄电池的电量剩余25%时，
，
将代入解析式中得：
，
解得：，
公交车运行时间为．
【点睛】
本题考查一次函数的实际应用，牢固掌握好一次函数的综合性质以及待定系数法求解析式是解题的关键．
9．（2021·江西吉安·八年级期末）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+2与y轴交于点C，直线y＝x+b（b≠0）与y轴交于点A，与直线y＝﹣3x+2交于点B，设点B的横坐标为﹣2．
（1）求点B的坐标及b的值；
（2）求直线y＝﹣3x+2直线y＝x+b与y轴所围成的ABC的面积；
（3）根据图像直接写出不等式﹣3x+2＞x+b的解集．

【答案】（1），；（2）8；（3）
解：（1）将代入y＝﹣3x+2得：，
则．
把代入得，
解得；
（2）将代入y＝﹣3x+2得：，
则；
将代入y＝x+10得：，
则，
∴，
∴；
（3）观察图象可知，不等式的解集是．
【点睛】
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质以及两直线相交问题，一次函数与一元一次不等式的关系等知识，认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
10．（2021·湖北随县·八年级期末）[建立模型]如图1，已知，，，顶点在直线上．
操作：过点作于点，过点作于点．求证：≌．
[模型应用]

（1）如图2，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点顺时针旋转得到，求的函数表达式．（提示：可以以为直角边建立模型）
（2）如图3，在直角坐标系中，点，作轴于点，作轴于点，是线段上的一个动点，点位于第一象限内．问点，，能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时的值，若不能，请说明理由．
【答案】操作：见解析；（1）；（2）能，的值为或4
解：操作：如图1：

∵，
∴．
在和中，
∴≌（AAS）
（1）∵直线与轴交于点，与轴交于点
令x=0，得y=4，令y=0，解得x=-3
∴，

如图2，过点作交直线于点，过点作轴
在和中，
∴≌（AAS），
∴，，
∴点坐标为
设的解析式为，将，点坐标代入，
得解得:
∴的函数表达式为；
（2）由题意可知，点是直线上一点．
如图3，

过点作轴，分别交轴和直线于点，．
在和中，
∴≌（AAS），
，即，
解得
如图4，

过点作轴，分别交轴和直线于点、，
，．
在和中，
∴≌（AAS），
∴，即，解得
综上所述：，，可以构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，的值为或4．
【点睛】
本题考查了一次函数综合题，利用余角的性质得出∠ACD＝∠CBE是解题关键，又利用了全等三角形的判定；利用了全等三角形的性质得出CD，BD的长是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式；利用全等三角形的性质得出关于a的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
11．（2021·湖南长沙·八年级期末）我们知道一次函数y=mx+n与y=-mx+n（m≠0）的图象关于y轴对称，所以我们定义：函数y=mx+n与y=-mx+n（m≠0）互为“M”函数．
（1）请直接写出函数y=2x+5的“M”函数；
（2）如果一对“M”函数y=mx+n与y=-mx+n（m≠0）的图象交于点A，且与x轴交于B，C两点，如图所示，若∠BAC=90°，且△ABC的面积是8，求这对“M”函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点D是y轴上的一个动点，当△ABD为等腰三角形时，请求出点D的坐标．

【答案】（1）y=-2x+5；（2）和；（3）D点坐标为（0，2+4）或（0，2-4）或（0，-2）或（0，0）．
（1）解：根据互为“M”函数的定义，
∴函数y=2x+5的“M”函数为y=-2x+5；
（2）解：根据题意，y=mx+n 和 y=-mx+n 为一对“M”函数”．
∴AB=AC，
又∵∠BAC=90°，
∴△ABC 为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵OB=OC，
∴∠BAO=∠CAO=45°，
∴OA=OB=OC，
又∵S△ABC=×BC×AO=8 且 BC=2AO，
∴AO=2，
∵A、B、C是一次函数y=mx+n与y=-mx+n（m≠0）的图象于坐标轴的交点，
∴A（0，n），B（-，0），C（，0），
∵OA=OB=n，
∴n=2，，=2，
∴m=1，
∴y＝x+2 和 y＝−x+2；
（3）解：根据等腰三角形的性质，分情况，
∵AO＝BO＝2，
∴AB=4，
由（2）知，A（0，2），B（-2，0），C（2，0），
∴①以 A 为顶点，则 AB=AD，
当点D在点A上方时，AD=2+4，
当点D在点A下方时，AD=-2+4，
∴D1（0，2+4），D2（0，2-4），
②以 B 为顶点，则 BA=BD，
此时点D在y轴负半轴，
∴D3（0，-2），
③以 D 为顶点，则 DA=DB，
此时D为坐标原点，
∴D4（0，0）．
∴D点坐标为（0，2+4）或（0，2-4）或（0，-2）或（0，0）．
【点睛】
本题考查了一次函数的综合应用，以及新定义、等腰三角形的性质等知识，关键是理解新定义，用新定义解题．
12．（2021·吉林铁西·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y1=2x和直线y2=−x+m相交于点A．且点A的纵坐标为2，点B在线段OA上（不与O、A重合），过点B作BC//x轴（自己完成）交直线y2=−x+m于点C．
（1）求m的值；
（2）若点B的横坐标为n，则线段BC=______．（用含n的代数式表示）

【答案】（1）m=3；（2）3-3n
解：（1）∵直线y1=2x和直线y2=-x+m相交于点A，且点A的纵坐标为2，
∴把y=2代入y1=2x得，2=2x，
∴x=1，
∴A（1，2），
代入y2=-x+m得，2=-1+m，
∴m=3；
（2）过点B作BC∥x轴交直线y2=-x+3于点C．如图：

∵点B的横坐标为n，则B（n，2n），
∴点C的纵坐标为2n，
则点C的横坐标为3-2n，
∴C（3-2n，2n），
∴线段BC=3-2n-n=3-3n．
故答案为：3-3n．
【点睛】
本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
13．（2021·宁夏原州·八年级期末）某单位需要用车，准备和一个体车主或一国有出租车公司其中的一家签订合同．设汽车每月行驶，应付给个体车主的月租费是元，付给出租车公司的月租费是元，，分别与之间的函数关系图象是如图的两条直线，观察图象，回答下列问题：

（1）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？
（2）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的出租车合算？
（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为km，那么这个单位租哪家的车合算？
【答案】（1）km；（2）0＜km，理由见解析；（3）租用个体户的车合算

解：（1）两条直线在处相交，故每月行驶的路程等于km时，租两家车的费用相同；
（2）由图可知当时，对应的的范围是0＜km；
（3）由图象可知，当，，即租用个体户的车合算．
【点睛】
本题考查了一次函数的实际运用和读图能力，解题的关键是从图象中获得所需的信息是需要掌握的基本能力，要理解交点坐标和直线的上下关系在实际问题中的具体含义．
14．（2021·安徽巢湖·八年级期末）如图，直线y1＝x＋2与直线y2＝﹣2x＋b交点C在y轴上，它们与x轴分别交于A、B两点．
（1）直接写出点A、点B、点C的坐标；
（2）判断三角形ABC的形状，说明理由．

【答案】（1），，；（2）是直角三角形，理由见解析
解：（1）在直线中，令，则，
解得；令，则，
，，
直线与直线交点在轴上，
，
，
令，则，解得，
；
（2）是三角形，理由如下：
中，，，
，
中，，，
，
，，
即，
是直角三角形．
【点睛】
本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的判定，勾股定理的应用等，解题的关键是求得交点坐标．
15．（2021·四川泸县·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与直线CD相交于点E，且．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求四边形OBEC的面积四边形OBEC；
（3）在坐标轴上是否存在点P，使得？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）4；（3）存在点P，其坐标为，，，
解：（1）因为经过点和点，
所以，解得，
一次函数的解析式为；
（2）因为，又，
所以，即，
所以，所以，
所以直线AB的解析式为，
因为直线交y轴于点B，所以点．
因为直线与直线相交于点E，
所以，
解得：，
即点，
所以四边形OBEC ；
（3）分两种情况讨论：
①当点P在x轴上时，设点P的坐标为，
由题意得：，
解得：或，
所以此时点P的坐标为，；
②当点P在y轴上时，设点P的坐标为，
由题意得：，
解得：或，
所以此时点P的坐标为，，
综上所述，在坐标轴上存在点P，使得，其坐标为，，，
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用二元一次方程组求两直线交点，分类讨论是解题的关键．