2022-2023学年第一学期八年级数学期末复习冲刺卷（01）

这是一份2022-2023学年第一学期八年级数学期末复习冲刺卷（01），共29页。试卷主要包含了如果点P，已知一次函数y＝等内容，欢迎下载使用。
 2022-2023学年第一学期八年级数学期末复习冲刺卷（01）
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
考生注意：
1． 本试卷28道试题，满分120分，考试时间100分钟．
2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）
1．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如果某函数的图象如图所示，那么y随着x的增大而（　　）

A．增大 B．减小
C．先减小后增大 D．先增大后减小
3．如果点P（m，1﹣2m）在第一象限，那么m的取值范围是（　　）
A．0＜m＜ B．﹣＜m＜0 C．m＜0 D．m＞
4．点（3，﹣4）到x轴的距离是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
5．函数y＝x的图象向左平移2个单位，相应的函数表达式为（　　）
A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝x+2 D．y＝x﹣2
6．若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　）
A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°
7．已知一次函数y＝（2m﹣1）x+2，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A．m＜ B．m＞ C．m≥1 D．m＜1
8．如图，函数y＝mx和y＝kx+b的图象相交于点P（1，m），则不等式﹣b≤kx﹣b≤mx的解集为（　　）

A．0≤x≤1 B．﹣1≤x≤0 C．﹣1≤x≤1 D．﹣m≤x≤m
9．下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长度的是（　　）
A．9，12，15 B．7，24，25 C．，2， D．1，，
10．如图，将风筝放至高30m，牵引线与水平面夹角约为45°的高空中，则牵引线AB的长度所在范围最有可能是（　　）

A．36m至38m B．38m至40m C．40m至42m D．42m至44m
二．填空题（共8小题，每题3分，满分24分）
11．点P（﹣2，3）到x轴的距离是　 　．
12．在，2π，0，，0.454454445…，中，无理数有 　 　个．
13．如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是　 　．

14．已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边长是　 　．
15．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为点E，△ABD的周长为12cm，AC＝5cm，则△ABC的周长是　 　．

16．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx+n与y＝kx+b的图象交于点P（﹣2，1），则方程组的解为 　 　．

17．将一次函数的图象平移，使得平移之后的图象经过点A（2，1），则平移之后的图象的解析式为 　 　．



18．如图，点C的坐标是（2，2），A为坐标原点，CB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D，点E是线段BC的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为 　 　．

三．解答题（共10小题，满分66分）
19．计算：
（1）； （2）；




（3）； （4）求（x﹣2）2﹣9＝0中x的值．





20．化简：
（1）； （2）．







21．先化简再求值：，其中．







22．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．







23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，点E是AC的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（不写画法，保留画图痕迹）
（1）在图1中，画出△ACD的边AD上的中线CM；
（2）在图2中，若AC＝AD，画出△ACD的边CD上的高AN．





24．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+5与x轴交于点B，直线l1与过点A（﹣4，0）的直线l2交于点P（﹣1，m）．
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）点M在第一象限且在直线l2上，MN∥y轴，交直线l1于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．

25．如图，在等边三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边三角形BEF，连接CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）求∠ACF的度数．

26．抗击疫情，我们在行动．某药店销售A型和B型两种型号的口罩，销售一箱A型口罩可获利120元，销售一箱B型口罩可获利140元．该药店计划一次购进两种型号的口罩共100箱，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍．设购进A型口罩x箱，这100箱口罩的销售总利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型口罩各多少箱，才能使销售利润最大？最大利润是多少？
（3）若限定该药店最多购进A型口罩70箱，则这100箱口罩的销售总利润能否为12500元？请说明理由．





27．【数学阅读】
如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE＝CF．
小明的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．
【推广延伸】
如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想PD，PE与CF的数量关系，并证明．
【解决问题】
如图4，在平面直角坐标系中，点C在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且AB＝AC，点B到x轴的距离为3．
（1）点B的坐标为 　 　；
（2）点P为射线CB上一点，过点P作PE⊥AC于E，点P到AB的距离为d，直接写出PE与d的数量关系为 　 　；
（3）在（2）的条件下，当d＝1，A为（﹣4，0）时，求点P的坐标．












28．如图，直线l：y＝2x﹣2与y轴交于点G，直线l上有一动点P，过点P作y轴的平行线PE，过点G作x轴的平行线GE，它们相交于点E．将△PGE沿直线l翻折得到△PGE′，点E的对应点为E′．
（1）如图1，请利用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点E的对应点E′；
（2）如图2，当点E的对应点E′落在x轴上时，求点P的坐标；
（3）如图3，直线l上有A，B两点，坐标分别为（﹣2，﹣6）（4，6），当点P从点A运动到点B的过程中，点E′也随之运动，请直接写出点E′的运动路径长为 　 　．


答案与解析
一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）
1．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2．如果某函数的图象如图所示，那么y随着x的增大而（　　）

A．增大 B．减小
C．先减小后增大 D．先增大后减小
【分析】根据函数图象可以得到y随x的增大如何变化，本题得以解决．
【解答】解：由函数图象可得，
y随x的增大而增大，
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．如果点P（m，1﹣2m）在第一象限，那么m的取值范围是（　　）
A．0＜m＜ B．﹣＜m＜0 C．m＜0 D．m＞
【分析】根据第一象限内点的横坐标与纵坐标都是正数，列出不等式组求解即可．
【解答】解：∵点P（m，1﹣2m）在第一象限，
∴，
由②得，m＜，
所以，m的取值范围是0＜m＜．
故选：A．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
4．点（3，﹣4）到x轴的距离是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．
【解答】解：点（3，﹣4）到x轴的距离是4．
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．
5．函数y＝x的图象向左平移2个单位，相应的函数表达式为（　　）
A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝x+2 D．y＝x﹣2
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将函数y＝x的图象向左平移2个单位，所得函数的解析式为y＝（x+2），即y＝x+1，
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
6．若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　）
A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°
【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析．
【解答】解：①50°是底角，则顶角为：180°﹣50°×2＝80°；
②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80°．
故选：D．
【点评】根据等腰三角形的性质分两种情况进行讨论．
7．已知一次函数y＝（2m﹣1）x+2，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A．m＜ B．m＞ C．m≥1 D．m＜1
【分析】直接根据一次函数的性质得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（2m﹣1）x+2，y随x的增大而减小，
∴2m﹣1＜0，解得m＜．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
8．如图，函数y＝mx和y＝kx+b的图象相交于点P（1，m），则不等式﹣b≤kx﹣b≤mx的解集为（　　）

A．0≤x≤1 B．﹣1≤x≤0 C．﹣1≤x≤1 D．﹣m≤x≤m
【分析】首先确定y＝mx和y＝kx﹣b的交点，作出y＝kx﹣b的大体图象，然后根据图象判断．
【解答】解：∵y＝kx+b的图象经过点P（1，m），
∴k+b＝m，
当x＝﹣1时，kx﹣b＝﹣k﹣b＝﹣（k+b）＝﹣m，
即（﹣1，﹣m）在函数y＝kx﹣b的图象上．
又∵（﹣1，﹣m）在y＝mx的图象上．
∴y＝kx﹣b与y＝mx相交于点（﹣1，﹣m）．
则函数图象如图．
则不等式﹣b≤kx﹣b≤mx的解集为﹣1≤x≤0．
故选：B．

【点评】本题考查了一次函数与不等式的关系，正确确定y＝kx﹣b和y＝mx的交点是关键．
9．下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长度的是（　　）
A．9，12，15 B．7，24，25 C．，2， D．1，，
【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∵92+122＝81+144＝225，152＝225，
∴92+122＝152，
∴以9，12，15为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵72+242＝49+576＝625，252＝625，
∴72+242＝252，
∴以7，24，25为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵（）2+22＝3+4＝7，（）2＝5，
∴（）2+22≠（）2，
∴以，2，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵12+（）2＝1+2＝3，（）2＝3，
∴12+（）2＝（）2，
∴以1，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
10．如图，将风筝放至高30m，牵引线与水平面夹角约为45°的高空中，则牵引线AB的长度所在范围最有可能是（　　）

A．36m至38m B．38m至40m C．40m至42m D．42m至44m
【分析】过B作BC⊥水平面于C，证△ABC是等腰直角三角形，得AC＝BC＝30m，再由勾股定理求出AB的长，即可得出结论．
【解答】解：如图，过B作BC⊥水平面于C，
∵∠BAC＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝30m，
∴AB＝＝＝30≈42.42（m），
故选：D．

【点评】本题考查了勾股定理的应用以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
二．填空题（共8小题，每题3分，满分24分）
11．点P（﹣2，3）到x轴的距离是　3　．
【分析】求得P的纵坐标的绝对值即可求得P点到x轴的距离．
【解答】解：∵点P的纵坐标为3，
∴P点到x轴的距离是|3|＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了点的坐标，解答本题的关键在于熟练掌握点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值．
12．在，2π，0，，0.454454445…，中，无理数有 　3　个．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：，是分数，属于有理数；
0，是整数，属于有理数；
无理数有2π，0.454454445…，，共3个．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），等有这样规律的数．
13．如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是　5　．

【分析】先求出AB的长度，再根据全等三角形对应边相等解答即可．
【解答】解：∵BE＝4，AE＝1，
∴AB＝BE+AE＝4+1＝5，
∵△ABC≌△DEF，
∴DE＝AB＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，先求出DE的对应边AB的长度是解题的关键．
14．已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边长是　5　．
【分析】根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，斜边长＝＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
15．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为点E，△ABD的周长为12cm，AC＝5cm，则△ABC的周长是　17cm　．

【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝CD，然后求出△ABD的周长＝AB+BC，再根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝12+5＝17cm．
故答案为：17cm．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出△ABD的周长＝AB+BC是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx+n与y＝kx+b的图象交于点P（﹣2，1），则方程组的解为 　　．

【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
【解答】解：∵函数y＝mx+n的图象与y＝kx+b的图象交于点P（﹣2，1），
∴方程组的解为，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
17．将一次函数的图象平移，使得平移之后的图象经过点A（2，1），则平移之后的图象的解析式为 　　．
【分析】平移时k的值不变，只有b发生变化．
【解答】解：新直线是由一次函数的图象平移得到的，
∴新直线的k＝．可设新直线的解析式为：y＝x+b．
∵经过点（2，1），则×2+b＝1．
解得b＝0．
∴平移后图象函数的解析式为y＝x．
故答案是：y＝x．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，本题要注意利用一次函数的特点，求出未知数的值从而求得其解析式，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变．
18．如图，点C的坐标是（2，2），A为坐标原点，CB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D，点E是线段BC的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为 　1或3　．

【分析】分两种情况：①当点F在DC之间时，作出辅助线，求出点F的坐标即可求出k的值；②当点F与点C重合时求出点F的坐标即可求出k的值．
【解答】解：∵C的坐标是（2，2），A为坐标原点，CB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D，
∴四边形ABCD是正方形，
①如图，作AG⊥EF交EF于点G，连接AE，

∵AF平分∠DFE，
∴DA＝AG＝2，
在RT△ADF和RT△AGF中，
，
∴RT△ADF≌RT△AGF（HL），
∴DF＝FG，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE＝1，
∴AE＝＝，
∴GE＝＝1，
∴在RT△FCE中，EF2＝FC2+CE2，即（DF+1）2＝（2﹣DF）2+1，解得DF＝，
∴点F（，2），
把点F的坐标代入y＝kx得：2＝k，解得k＝3；
②当点F与点C重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AF平分∠DFE，
∴F（2，2），
把点F的坐标代入y＝kx得：2＝2k，解得k＝1．
故答案为：1或3．
【点评】本题主要考查了一次函数综合题，涉及角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，正方形的性质理，及勾股定解题的关键是分两种情况求出k．
三．解答题（共10小题，满分66分）
19．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）求（x﹣2）2﹣9＝0中x的值．
【分析】（1）先计算开方、零次幂，后计算加减；
（2）先变除法为乘法，再计算化简；
（3）先计算二次根式、绝对值，后计算加减；
（4）运用开平方法进行求解．
【解答】解：（1）
＝2﹣1+2
＝1+2；
（2）
＝
＝12；
（3）
＝3﹣+
＝6﹣+
＝5+；
（4）移项，得（x﹣2）2＝9，
开平方，得x﹣2＝3，或x﹣2＝﹣3，
解得x＝5或x＝﹣1．
【点评】此题考查了实数的混合运算和解一元二次方程的能力，关键是能确定正确的运算顺序和方法．
20．化简：
（1）；
（2）．
【分析】（1）把除化为乘，再约分即可；
（2）分子、分母分解因式，约分后再算加减．
【解答】解：（1）原式＝•
＝；
（2）原式＝﹣
＝﹣
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式通分、约分的方法，把分式化简．
21．先化简再求值：，其中．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当x＝时，原式＝＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．

【分析】要证明线段相等，只要过点A作BC的垂线，利用三线合一得到P为DE及BC的中点，线段相减即可得证．
【解答】证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB＝AC，
∴BP＝PC；
∵AD＝AE，
∴DP＝PE，
∴BP﹣DP＝PC﹣PE，
∴BD＝CE．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，做题时，两次用到三线合一的性质，由等量减去等量得到差相等是解答本题的关键．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，点E是AC的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（不写画法，保留画图痕迹）
（1）在图1中，画出△ACD的边AD上的中线CM；
（2）在图2中，若AC＝AD，画出△ACD的边CD上的高AN．

【分析】（1）延长BE交AD于M，证明△AEM≌△CEB得到AM＝BC＝AD，从而得到M点为AD的中点；
（2）延长BE交AD于F，连接CF、DE，它们相交于点O，然后延长AO交CD于N，则AN满足条件．
【解答】解：（1）如图1，CM为所作；
（2）如图2，AN为所作．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+5与x轴交于点B，直线l1与过点A（﹣4，0）的直线l2交于点P（﹣1，m）．
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）点M在第一象限且在直线l2上，MN∥y轴，交直线l1于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．

【分析】（1）将点P代入y＝﹣x+5，可求P点坐标，再由待定系数法求直线解析式即可；
（2）求出AB的长，设M（t，2t+8），则N（t，﹣t+5），MN＝3t+3＝9，求出t的值即可求M点坐标．
【解答】解：（1）∵P（﹣1，m）在直线l1：y＝﹣x+5上，
∴1+5＝m，
∴m＝6，
∴P（﹣1，6），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝2x+8；
（2）由y＝﹣x+5可得B（5，0），
∵A（﹣4，0），
∴AB＝9，
设M（t，2t+8），则N（t，﹣t+5），
∴MN＝3t+3，
∵MN＝AB，
∴3t+3＝9，
∴t＝2，
∴M（2，12）．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．
25．如图，在等边三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边三角形BEF，连接CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）求∠ACF的度数．

【分析】（1）由△ABC是等边三角形的性质得出AB＝BC，∠ABE+∠EBC＝60°，EB＝BF，∠CBF+∠EBC＝60°，求出∠ABE＝∠CBF，根据SAS证出△ABE≌△CBF；
（2）根据等边三角形的性质得出∠BAE＝30°，∠ACB＝60°，再根据△ABE≌△CBF，得出∠BCF＝∠BAE＝30°，从而求出∠ACF的度数．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABE+∠EBC＝60°，
∵△BEF是等边三角形，
∴BE＝BF，∠CBF+∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△ABE和△CBF，，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）解：∵等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝30°，∠ACB＝60°，
∵△ABE≌△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝30°，
∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝30°+60°＝90°．
【点评】此题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
26．抗击疫情，我们在行动．某药店销售A型和B型两种型号的口罩，销售一箱A型口罩可获利120元，销售一箱B型口罩可获利140元．该药店计划一次购进两种型号的口罩共100箱，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍．设购进A型口罩x箱，这100箱口罩的销售总利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型口罩各多少箱，才能使销售利润最大？最大利润是多少？
（3）若限定该药店最多购进A型口罩70箱，则这100箱口罩的销售总利润能否为12500元？请说明理由．
【分析】（1）根据题意即可得出y关于x的函数关系式；
（2）根据题意列不等式得出x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；
（3）由题意得出x的取值范围为25≤x≤60，根据一次函数的性质可得x＝60时，总利润y最小，求出y的最小值，即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得，
y＝120x+140（100﹣x）＝﹣20x+14000，
答：y与x的函数关系式为：y＝﹣20x+14000；
（2）根据题意得，100﹣x≤3x，解得x≥25，
∵y＝﹣20x+14000，k＝﹣20＜0；
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝25时，y有最大值，最大值为﹣20×25+14000＝13500，
则100﹣x＝75，
即商店购进A型口罩25箱、B型口罩75箱，才能使销售总利润最大，最大利润为13500元；
（3）根据题意得25≤x≤70，
∵y＝﹣20x+14000，k＝﹣20＜0；
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝70时，y有最小值，最小值为﹣20×70+14000＝12600，
∵12600＞12500，
∴这100箱口罩的销售总利润不能为12500元．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况．
27．【数学阅读】
如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE＝CF．
小明的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．
【推广延伸】
如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想PD，PE与CF的数量关系，并证明．
【解决问题】
如图4，在平面直角坐标系中，点C在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且AB＝AC，点B到x轴的距离为3．
（1）点B的坐标为 　（0，3）　；
（2）点P为射线CB上一点，过点P作PE⊥AC于E，点P到AB的距离为d，直接写出PE与d的数量关系为 　PE＝3+d或3﹣d　；
（3）在（2）的条件下，当d＝1，A为（﹣4，0）时，求点P的坐标．

【分析】【数学阅读】由S△ABP+S△APC＝×AB×（DP+PE），S△ABC＝×AB×CF，再由面积相等即可证明；
【推广延伸】由S△ABC+S△APC＝×AB×（CF+PE），S△ABP＝×AB×DP，再由面积相等即可求解；
【解决问题】（1）由题意可直接求得；
（2）由面积和差关系可求解；
（3）由勾股定理可求AB的长，利用待定系数法可求直线BC解析式，分两种情况讨论，可求点P坐标．
【解答】【数学阅读】证明：∵DP⊥AB，PE⊥AC，
∴S△ABP＝×AB×DP，S△APC＝×AC×PE，
∵AB＝AC，
∴S△ABP+S△APC＝×AB×（DP+PE），
∵CF⊥AB，
∴S△ABC＝×AB×CF，
∵S△ABP+S△APC＝S△ABC，
∴PE+PD＝CF；
【推广延伸】PE+CF＝DP，理由如下：
连接AP，

∵CF⊥AB，PE⊥AC，
∴S△ABC＝×AB×CF，S△APC＝×AC×PE，
∵AB＝AC，
∴S△ABC+S△APC＝×AB×（CF+PE），
∵DP⊥AB，
∴S△ABP＝×AB×DP，
∵S△ABC+S△APC＝S△ABP，
∴PE+CF＝DP；
【解决问题】（1）∵点B在y轴正半轴上，点B到x轴的距离为3，
∴OB＝3，
∴点B（0，3），
故答案为：（0，3）；
（2）如图4，当点P在线段BC上时，过点P作PH⊥AB于H，

∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP，
∴AC×BO＝AC×PE+AB×PH，
∵AB＝AC，点P到AB的距离为d，
∴3＝PE+d，
∴PE＝3﹣d；
当点P在线段CB的延长线上时，过点P'作P'H⊥AB于H'，
∵S△ABC＝S△ACP﹣S△ABP，
∴AC×BO＝AC×PE﹣AB×PH，
∵AB＝AC，点P到AB的距离为d，
∴3＝PE﹣d，
∴PE＝3+d，
综上所述：PE＝3+d或3﹣d，
故答案为：PE＝3+d或3﹣d；
（3）∵点A为（﹣4，0），
∴AO＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴AB＝AC＝5，
∴OC＝1，
∴点C（1，0），
设直线BC解析式为：y＝kx+3，
∴0＝k+3，
∴k＝﹣3，
∴直线BC解析式为：y＝﹣3x+3，
当点P在线段BC上时，PE＝3﹣d＝2，
∴当y＝2时，x＝，
∴点P（，2）；
当点P在线段CB的延长线上时，PE＝3+d＝4，
∴当y＝4时，x＝﹣，
∴点P（﹣，4）；
综上所述：点P坐标为：（，2）或（，2）．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，一次函数的应用，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
28．如图，直线l：y＝2x﹣2与y轴交于点G，直线l上有一动点P，过点P作y轴的平行线PE，过点G作x轴的平行线GE，它们相交于点E．将△PGE沿直线l翻折得到△PGE′，点E的对应点为E′．
（1）如图1，请利用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点E的对应点E′；
（2）如图2，当点E的对应点E′落在x轴上时，求点P的坐标；
（3）如图3，直线l上有A，B两点，坐标分别为（﹣2，﹣6）（4，6），当点P从点A运动到点B的过程中，点E′也随之运动，请直接写出点E′的运动路径长为 　6　．

【分析】（1）过点E画PG的垂线，再以G为圆心，GE为半径画圆与垂线交点即为点E'；
（2）设直线l交x轴于点D，首先求出点C、D的坐标，利用平行线的性质和角平分线的定义得E'D＝E'G，设点P的坐标为（a，2a﹣2），则可得点E的坐标为（a，﹣2），在Rt△OGE'中，利用勾股定理得：22+（a﹣1）2＝a2，解方程即可；
（3）分别过点A，B作y轴的平行线，与过点G垂直于y轴的直线分别交于点C，M，则点E在线段CM上运动，根据对称性知，点E'运动路径长度为CM的长，从而解决问题．
【解答】解：（1）如图，点E'即为所求；

（2）设直线l交x轴于点D，

在y＝2x﹣2中，当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝﹣2，
∴D（1，0），G（0，﹣2），
∴OD＝1，OG＝2，
由对称得：E'G＝EG，∠EGD＝∠E'GD，
∵GE∥x轴，
∴∠EGD＝∠E'DG，
∴∠E'GD＝∠E'DG，
∴E'D＝E'G，
∴E'D＝EG，
设点P的坐标为（a，2a﹣2），则可得点E的坐标为（a，﹣2），
∴EG＝E'D＝a，
∴OE'＝E'D﹣OD＝a﹣1，
在Rt△OGE'中，由勾股定理得：22+（a﹣1）2＝a2，
解得a＝，
当a＝时，2a﹣3＝2×﹣2＝3，
∴P（）；
（3）分别过点A，B作y轴的平行线，与过点G垂直于y轴的直线分别交于点C，M，

则点E在线段CM上运动，根据对称性知，点E'运动路径长度为CM的长，
∵A（﹣2，﹣6），B（4，6），
∴CM＝4﹣（﹣2）＝6，
∴点E'的运动路径长为6，
故答案为：6．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，翻折的性质，勾股定理，尺规作图等知识，确定点E的运动路径长是解题的关键．