2022-2023学年七年级数学上学期期末专题06 经典难点之角的双中模型与角的动边（五大考点）

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经典难点之角的双中模型与角的动边（五大考点）
一．双中模型
1．如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝110°，OM平分∠AOC，∠MON＝90°
（1）求∠BOM的度数；
（2）ON是∠BOC的角平分线吗？请说明理由．

2．如图，以∠AOB的顶点O为端点画一条射线OC，OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线．
（1）如图①，若∠AOC＝50°，∠BOC＝30°，则∠MON的度数是　 　；
（2）如图②，若∠AOB＝100°，∠BOC＝30°，则∠MON的度数是　 　；
（3）根据以上解答过程，完成下列探究：
探究一：如图③，当射线OC位于∠AOB内部时，请写出∠AOB与∠MON的数量关系，并证明你的结论；
探究二：如图④，当射线OC位于∠AOB外部时，请写出∠AOB与∠MON的数量关系，并证明你的结论．

3．如图1，OM是∠BOC的角平分线，ON是∠AOC的角平分线，且∠AOB＝76°．
（1）求∠MON的度数；
（2）当OC在∠AOB内另一个位置时，∠MON的值是否发生变化？若不变化，请你在图2中画图加以说明；
（3）由（1）、（2）你发现了什么规律？当OC在∠AOB外的某一个位置时，你发现的规律还成立吗？请你在图3中画图加以说明．

4．自点O顺时针做四条射线OA、OB、OC、OD，已知∠AOB＝90°，∠AOD和∠BOC的角平分线分别是OM和ON，且∠MON＝150°，求∠COD的度数．
二．角的动边之求度数
5．如图1，将一副三角板的两个锐角顶点放到一块，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线．
（1）当∠COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时（如图2），则∠MON的大小为　 　；
（2）如图3，在（1）的条件下，继续绕着点O逆时针旋转∠COD，当∠BOC＝10°时，求∠MON的大小，写出解答过程；
（3）在∠COD绕点O逆时针旋转过程中，∠MON＝　 　°．

6．已知∠AOB＝100°，射线OC在∠AOB的内部，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．

（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠EOF的度数；
（2）请从下面A，B两题中任选一题作答，我选择　 　题．
A．如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数为　 　．
B．若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC、∠BOC均是指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，直接写出∠EOF的度数．
7．（1）已知OA⊥OC，∠BOC＝30°，且OD、OE分别为∠AOB、∠BOC的角平分线，请求出∠DOE度数．
（2）如果把（1）中“∠BOC＝30°”改成“∠BOC＝x（0°＜x＜90°）”，其他条件都不变，则∠DOE度数变化吗？请说明理由．

8．如图，已知∠AOB＝60°，∠AOC＝∠BOC，OD是∠COB的角平分线，求∠COD的度数．

9．已知，在下列各图中，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°，直角三角板的直角顶点放在点O处．

（1）如图1，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，则∠BOC的度数为　 　°，∠CON的度数为　 　°；
（2）如图2，三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，另一边ON在直线AB的下方，此时∠BON的度数为　 　°；
（3）请从下列（A），（B）两题中任选一题作答．
我选择：　 　．
（A）在图2中，延长线段NO得到射线OD，如图3，则∠AOD的度数为　 　°；∠DOC与∠BON的数量关系是∠DOC　 　∠BON（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（B）如图4，MN⊥AB，ON在∠AOC的内部，若另一边OM在直线AB的下方，则∠COM+∠AON的度数为　 　°；∠AOM﹣∠CON的度数为　 　°．
三．角的动边之角的数量关系
10．如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．
（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝　 　°；
（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．
①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；
②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．

11．如图，已知点O为直线AB上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，将三角板的一边ON与射线OB重合，过点O在三角板的内部，作射线OC，使∠NOC：∠MOC＝2：1，求∠AOC的度数；
（2）如图2，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度到图2的位置，过点O在三角板MON的内部作射线OC，使得OC恰好是∠MOB的角平分线，此时∠AOM与∠NOC满足怎样的数量关系？并说明理由．

12．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC．将一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒10⁰的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．

（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间有何数量关系？并说明理由．
（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°．
①则当旋转时间t＝　 　秒时，边AB所在的直线与OC平行？
②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由．
③在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时（如图3），求∠AOC﹣∠BOE的值．
13．如图，已知点O为直线AB上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，将三角板的一边ON与射线OB重合，过点O在三角板的内部，作射线OC，使∠NOC：∠MOC＝2：1，则∠MOC＝　 　．
（2）如图2，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度到图2的位置，过点O在三角板MON的内部作射线OC，使得OC恰好是∠MOB对的角平分线；
试研究：∠AOM与∠NOC满足的数量关系，并说明理由．
（3）将如图1所示的三角板MON绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜90°）到如图3所示的位置，在∠BON的内部作射线OC使得∠NOC=16∠AON，则∠BOC的度数为　 　（用含α的代数式表示）（请直接写出答案）

四．角的动边之存在性
14．如图，∠AOB＝120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．
（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；
（2）当t为何值时，射线OC⊥OD；
（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．

15．已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤90秒）．
（1）用含t的代数式表示∠MOA的度数．
（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值．
（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．

16．如图1，∠AOB＝120°，∠COE＝60°，OF平分∠AOE
（1）若∠COF＝20°，则∠BOE＝　 　°
（2）将∠COE绕点O旋转至如图2位置，求∠BOE和∠COF的数量关系
（3）在（2）的条件下，在∠BOE内部是否存在射线OD，使∠DOF＝3∠DOE，且∠BOD＝70°？若存在，求∠DOF∠COF的值，若不存在，请说明理由．

五．新定义
17．如图1，射线OC在∠AOB的内部，在∠AOB，∠AOC和∠BOC中，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．

（1）一个角的平分线　 　这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若∠AOB＝α，且射线OC是∠AOB的“巧分线”，则∠AOC＝　 　；（用含α的代数式表示出所有可能的结果）
（3）如图3，若∠AOB＝60°，且射线OC绕点O从OB位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当OC与OB成180°时停止旋转，设旋转的时间为t秒，则当t为何值时，射线OA是∠BOC的“巧分线”？
18．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
（1）一个角的角平分线　 　这个角的奇妙线．（填是或不是）
（2）如图2，若∠MPN＝60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当∠QPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．
①当t为何值时，射线PM是∠QPN的奇妙线？
②若射线PM同时绕点P以每秒6°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止旋转．请求出当射线PQ是∠MPN的奇妙线时t的值．

19．【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=13∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC=13∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD=13∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝　 　°；
（2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出答案）


20．对于同一平面内以O为端点的射线与∠MON，其中∠MON＝60°，给出如下定义：OP1，OP2，…，OPn﹣1，OPn是∠MON内或与射线OM，ON重合的n条不同的射线（n≥3），这些射线与射线l形成的小于平角的角的大小分别为α1，α2，…αn﹣1，αn，若这n条射线满足α1+α2+…+αn﹣1＝αn，则称这n条射线为∠MON关于射线l的一个基准射线族，其中αn为该基准射线族的基准角度．

（1）如图1，当射线OA与射线l恰为∠MON的两条三等分线时，判断射线OM，OA，ON是否为∠MON关于射线l的一个基准射线族？如果是，求出它的基准角度；如果不是，请说明理由；
（2）如图2，∠MON的边ON与射线l重合，固定射线l的位置不动，将∠MON以每秒5°的速度绕着点O逆时针转动一周．当转动时间为t秒时，OP1，OP2，…，OPn﹣1，OPn是∠MON关于射线l的一个基准射线族．
①若t＝8，求该基准射线族的基准角度αn的最大值；
②若n的最大值等于6，直接写出t的取值范围．

一．双中模型
1．如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝110°，OM平分∠AOC，∠MON＝90°
（1）求∠BOM的度数；
（2）ON是∠BOC的角平分线吗？请说明理由．

试题分析：（1）根据角的平分线的定义求得∠AOM的度数，然后根据邻补角的定义求得∠BOM的度数；
（2）首先根据∠MON＝90°，∠AOB＝180°，得出∠MOC+∠CON＝90°，∠AOM+∠BON＝90°，又∠AOM＝∠MOC，根据等角的余角相等即可得到ON是∠BOC的角平分线．
答案详解：解：（1）∵OM平分∠AOC，
∴∠AOM=12∠AOC＝55°，
∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝180°﹣55°＝125°；

（2）ON是∠BOC的角平分线．理由如下：
∵∠MON＝90°，∠AOB＝180°，
∴∠MOC+∠CON＝90°，∠AOM+∠BON＝90°，
又由（1）可知∠AOM＝∠MOC，
∴∠CON＝∠BON，
即ON是∠BOC的角平分线．
2．如图，以∠AOB的顶点O为端点画一条射线OC，OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线．
（1）如图①，若∠AOC＝50°，∠BOC＝30°，则∠MON的度数是　40°　；
（2）如图②，若∠AOB＝100°，∠BOC＝30°，则∠MON的度数是　50°　；
（3）根据以上解答过程，完成下列探究：
探究一：如图③，当射线OC位于∠AOB内部时，请写出∠AOB与∠MON的数量关系，并证明你的结论；
探究二：如图④，当射线OC位于∠AOB外部时，请写出∠AOB与∠MON的数量关系，并证明你的结论．

试题分析：（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
（2）方法同（1）；
（3）方法同（1）．
答案详解：解：（1）∵OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线，
∴∠COM=12∠AOC＝25°，∠CON=12∠BOC＝15°，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝40°，
所以答案是：40°；
（2）∵∠AOB＝100°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝70°，
∵OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线，
∴∠COM=12∠AOC＝35°，∠CON=12∠BOC＝15°，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝50°，
所以答案是：50°；
（3）探究一：如图③，当射线OC位于∠AOB内部时，∠MON=12∠AOB，
证明：∵OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线，
∴∠COM=12∠AOC＝25°，∠CON=12∠BOC＝15°，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC=12（∠AOC+∠BOC）=12∠AOB；
探究二：如图④，当射线OC位于∠AOB外部时，∠MON=12∠AOB，
证明：∵OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线，
∴∠COM=12∠AOC＝25°，∠CON=12∠BOC＝15°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC=12（∠AOC﹣∠BOC）=12∠AOB．
3．如图1，OM是∠BOC的角平分线，ON是∠AOC的角平分线，且∠AOB＝76°．
（1）求∠MON的度数；
（2）当OC在∠AOB内另一个位置时，∠MON的值是否发生变化？若不变化，请你在图2中画图加以说明；
（3）由（1）、（2）你发现了什么规律？当OC在∠AOB外的某一个位置时，你发现的规律还成立吗？请你在图3中画图加以说明．

试题分析：根据题意（1）根据角平分线定义得出结果；（2）利用角平分线性质证明结论，并作出图形；（3）需要分类讨论并通过作图得出结论．
答案详解：解：（1）∵OM是∠BOC的角平分线，ON是∠AOC的角平分线，
又∵∠AOB＝76°，
∴2∠COM+2∠CON＝76°，
∴∠MON＝38°．
（2）不发生变化，当C在如图点时，仍满足2∠COM+2∠CON＝76°，∠MON的值不发生变化．
（3）由（1）、（2）发现了OC在∠AOB内任一位置时，∠MON的值不发生变化，
当OC在∠AOB外时规律不成立．


4．自点O顺时针做四条射线OA、OB、OC、OD，已知∠AOB＝90°，∠AOD和∠BOC的角平分线分别是OM和ON，且∠MON＝150°，求∠COD的度数．
试题分析：分两种情况讨论（1）∠MON包含∠COD；（2）∠MON不包含∠COD可得出正确结论．
答案详解：解：（1）如图所示，

∵∠AOM+∠BON+90°＝∠MON＝150°，∠AOD和∠BOC的角平分线分别是OM和ON，
∴∠AOM+∠BON＝60°＝∠MOD+∠NOC，
∴∠COD＝360°﹣∠MON﹣∠MOD﹣∠NOC＝150°

（2）

∵∠AOM+∠BON＝210°﹣∠AOB＝120°
∴∠AOM+∠BON＝120°＝∠MOD+∠CON
∠COD＝∠MON﹣∠MOD﹣∠CON＝30°
综上所述可知∠COD＝150°或30°．
二．角的动边之求度数
5．如图1，将一副三角板的两个锐角顶点放到一块，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线．
（1）当∠COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时（如图2），则∠MON的大小为　37.5°　；
（2）如图3，在（1）的条件下，继续绕着点O逆时针旋转∠COD，当∠BOC＝10°时，求∠MON的大小，写出解答过程；
（3）在∠COD绕点O逆时针旋转过程中，∠MON＝　37.5或142.5　°．

试题分析：（1）根据角平分线的定义可以求得∠MON=12（∠AOB+∠COD）；
（2）根据图示可以求得：∠BOD＝∠BOC+∠COD＝40°．然后结合角平分线的定义推知∠CON=12∠BOD，∠COM=12∠AOC，即可得到结论；
（3）根据（1）、（2）的解题思路即可得到结论．
答案详解：解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，
∴∠BON=12∠COD＝15°，∠MOB=12∠AOB＝22.5°，
∴∠MON＝37.5°．
所以答案是：37.5°；
（2）当绕着点O逆时针旋转∠COD，∠BOC＝10°时，∠AOC＝55°，∠BOD＝40°，
∴∠BON=12∠BOD＝20°，∠MOB=12∠AOC＝27.5°，
∴∠MON＝37.5°；
（3）∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOD＝∠COD+∠BOC，
∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，
∴∠MOC=12∠AOC=12（∠AOB+∠BOC），∠CON=12∠BOD﹣∠BOC，
∴∠MON=12（∠AOB+∠BOC）+12∠BOD﹣∠BOC=12∠AOB+12（∠BOD﹣∠BOC）=12∠AOB+12∠COD=37.5°，12α+12β=12（α+β）；
当∠COD在OA、OB的反向延长线形成的角的内部时，
同理，∠MON＝142.5°，
综上所述：∠MON＝37.5°或142.5°，
所以答案是：37.5或142.5．
6．已知∠AOB＝100°，射线OC在∠AOB的内部，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．

（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠EOF的度数；
（2）请从下面A，B两题中任选一题作答，我选择　A　题．
A．如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数为　50°　．
B．若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC、∠BOC均是指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，直接写出∠EOF的度数．
试题分析：（1）先求出∠BOC度数，根据角平分线定义求出∠EOC和∠FOC度数，求和即可得出答案；
（2）A．根据角平分线定义得出∠COE=12∠AOC，∠COF=12∠BOC，求出∠EOF＝∠EOC+∠FOC=12∠AOB，代入求出即可；
B．分两种情况：①射线OE，OF只有1个在∠AOB外面，根据角平分线定义得出∠COE=12∠AOC，∠COF=12∠BOC，求出∠EOF＝∠FOC﹣∠COE=12∠AOB；②射线OE，OF2个都在∠AOB外面，根据角平分线定义得出∠EOF=12∠AOC，∠COF=12∠BOC，求出∠EOF＝∠EOC+∠COF=12（360°﹣∠AOB），代入求出即可．
答案详解：解：（1）∵∠AOB＝100°，∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝70°，
∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=12∠AOC＝15°，∠FOC=12∠BOC＝35°，
∴∠EOF＝∠EOC+∠FOC＝15°+35°＝50°；

（2）A．∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=12∠AOC，∠FOC=12∠BOC，
∴∠EOF＝∠EOC+∠FOC=12∠AOB=12×100°＝50°；

B．①射线OE，OF只有1个在∠AOB外面，如图3①，

∠EOF＝∠FOC﹣∠COE=12∠BOC−12∠AOC=12（∠BOC﹣∠AOC）=12∠AOB=12×100°＝50°．
②射线OE，OF2个都在∠AOB外面，如图3②，

∠EOF＝∠EOC+∠COF=12∠AOC+12∠BOC=12（∠AOC+∠BOC）=12（360°﹣∠AOB）=12×260°＝130°．
故∠EOF的度数是50°或130°．
所以答案是：A，50°．
7．（1）已知OA⊥OC，∠BOC＝30°，且OD、OE分别为∠AOB、∠BOC的角平分线，请求出∠DOE度数．
（2）如果把（1）中“∠BOC＝30°”改成“∠BOC＝x（0°＜x＜90°）”，其他条件都不变，则∠DOE度数变化吗？请说明理由．

试题分析：（1）根据垂直，可得∠AOC的度数，根据角的和差，可得∠AOB，根据角平分线的性质，可得∠BOD、∠BOE，根据角的和差，可得答案；
（2）根据垂直，可得∠AOC的度数，根据角的和差，可得∠AOB，根据角平分线的性质，可得∠BOD、∠BOE，根据角的和差，可得答案．
答案详解：解：（1）OA⊥OC，
∠AOC＝90°，∠BOC＝30°，
∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°+30°＝120°
OD、OE分别为∠AOB、∠BOC的角平分线，
∠BOD=12∠AOB＝60°，∠BOE=12∠BOC＝15°，
∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝60°﹣15°＝45°；
（2）∠DOE度数不变
OA⊥OC，
∠AOC＝90°，∠BOC＝x，
∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°+x＝90°+x
OD、OE分别为∠AOB、∠BOC的角平分线，
∠BOD=12∠AOB＝45°+x2，∠BOE=12∠BOC=x2，
∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝（45°+x2）−x2=45°．
8．如图，已知∠AOB＝60°，∠AOC＝∠BOC，OD是∠COB的角平分线，求∠COD的度数．

试题分析：首先根据角平分线的定义求得∠BOC的度数，然后根据角平分线的定义求得∠COD的度数．
答案详解：解：∵∠AOB＝60°，∠AOC＝∠BOC，
∴∠BOC=12∠AOB＝30°，
∵OD是∠COB的角平分线，
∴∠COD=12∠COB＝15°．
9．已知，在下列各图中，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°，直角三角板的直角顶点放在点O处．

（1）如图1，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，则∠BOC的度数为　120　°，∠CON的度数为　150　°；
（2）如图2，三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，另一边ON在直线AB的下方，此时∠BON的度数为　30　°；
（3）请从下列（A），（B）两题中任选一题作答．
我选择：　A（或B）　．
（A）在图2中，延长线段NO得到射线OD，如图3，则∠AOD的度数为　30　°；∠DOC与∠BON的数量关系是∠DOC　＝　∠BON（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（B）如图4，MN⊥AB，ON在∠AOC的内部，若另一边OM在直线AB的下方，则∠COM+∠AON的度数为　150　°；∠AOM﹣∠CON的度数为　30　°．
试题分析：（1）利用两角互补，即可得出结论；
（2）根据OM平分∠BOC，可得出∠BOM＝60°，由∠BOM+∠BON＝∠MON＝90°可求得∠BON的度数；
（3）根据直角三角板MON各角的度数以及图中各角的关系即能得出结论．
答案详解：解：（1）∵∠AOC＝60°，∠BOC与∠AOC互补，∠AON＝90°
∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，∠CON＝∠AOC+∠AON＝60°+90°．
所以答案是：120；150．
（2）∵三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，∠BOC＝120°，
∴∠BOM=12∠BOC＝60°，
又∵∠MON＝∠BOM+∠BON＝90°，
∴∠BON＝90°﹣60°＝30°．
所以答案是：30°．
（3）（A）∵∠AOD＝∠BON（对顶角），∠BON＝30°，
∴∠AOD＝30°，
又∵∠AOC＝60°，
∴∠DOC＝∠AOC﹣∠AOD＝60°﹣30°＝30°＝∠BON．
（B）∵MN⊥AB，
∴∠AON与∠MNO互余，
∵∠MNO＝60°（三角板里面的60°角），
∴∠AON＝90°﹣60°＝30°，
∵∠AOC＝60°，150
∴∠CON＝∠AOC﹣∠AON＝60°﹣30°＝30°，
∴∠COM+∠AON＝∠MON+2∠CON＝90°+2×30°＝150°，
∠AOM﹣∠CON＝∠MON﹣2∠CON＝90°﹣2×30°＝30°．
所以答案是：A（或B）；30；＝；150；30．
三．角的动边之角的数量关系
10．如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．
（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝　40°　°；
（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．
①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；
②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．

试题分析：（1）根据角平分线的定义结合图形根据已知条件求角的大小；
（2）①分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，根据角平分线的定义用t表示出角的度数，列出等量关系式求出t；
②求出OP与OB重合时t的值，射线OD，OA共线时t的值，射线OD与射线OB重合时t的值，可得结论．
答案详解：解：（1）∵OM为∠AOB的角平分线、∠AOB＝40°，
∴∠MOB＝20°．
∵∠MON＝70°，
∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝50°．
∵ON为∠BOD的角平分线，
∴∠BON＝∠DON＝50°．
∴∠CON＝∠COD﹣∠DON＝10°
∴∠BOC＝∠DON﹣∠CON＝40°．
所以答案是：40°．
（2）如图①：①逆时针旋转时：
当C′在B上方时，根据题意可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝∠BOD﹣4t＝100°﹣4t．
∠BON′=12∠BOD′=12(100°−4t)=50°﹣2t，
∵OC′平分∠BON′，
∴∠BOC′=12∠BON'，即40°﹣4t=12（50°﹣2t），
解得：t＝5（s）．
当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
顺时针旋转时：如图②，
同理当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
当C′在B上方时，即OC′与OB重合，
由题意可求OC′与OB重合用的时间＝∠AOC÷4+∠AOB÷6
＝（∠AOB+∠BOC）÷4+∠AOB÷6
=803（s）．
∴OC′与OB重合之后，∠BOC′＝6（t−803）（s）．
∴∠BOD′＝∠BOC′+60°＝6（t−803）+60°＝6t﹣100°．
∴∠BON′=12∠BOD'=12（6t﹣100°）＝3t﹣50°，
∵OC′平分∠BON′，
∴∠BOC′=12∠BON'，
∴6（t−803）=12（3t﹣50°），
解得：t＝30（s）
综上所述t的值为5或30．
②逆时针旋转时：如图3中，当射线OP在射线OB的上方时，

∵∠POB=12（140°﹣4t）﹣40°＝30°﹣2t，∠BON′=12（100°﹣4t）＝50°﹣2t，
∴∠PON′＝∠BON′﹣∠POB＝20°
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|∠BOM+∠PON′|＝40°，
当OP与OB重合时，12（140°﹣4t）﹣40°＝0，解得t＝15．
∴0≤t≤15时，|∠BOP﹣∠MON′|的值不变，是40°．
当射线OP返回时与OB重合时．时间t＝20+103=703，
当运动到射线OD与OA共线时，60°+6（t﹣20）＝180°时，解得t＝40，
观察图象可知，703≤t≤40时，|∠BOP﹣∠MON′|的值不变，是40°．
当射线OD运动到与射线OB共线时，20°+6（t﹣20）＝180°，解得t=1403，
当1403≤t≤50时，如图4中，同法可得，∠PON′＝20°，
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|∠BOM+∠PON′|＝40°，

综上所述，满足条件的t的值为：0≤t≤15或703≤t≤40或1403≤t≤50．


11．如图，已知点O为直线AB上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，将三角板的一边ON与射线OB重合，过点O在三角板的内部，作射线OC，使∠NOC：∠MOC＝2：1，求∠AOC的度数；
（2）如图2，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度到图2的位置，过点O在三角板MON的内部作射线OC，使得OC恰好是∠MOB的角平分线，此时∠AOM与∠NOC满足怎样的数量关系？并说明理由．

试题分析：（1）根据角的倍分关系，以及角的和差关系即可求解；
（2）令∠NOC为β，∠AOM为γ，∠MOC＝90°﹣β，根据∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°即可得到∠AOM与∠NOC满足的数量关系．
答案详解：解：（1）∵∠NOC：∠MOC＝2：1，
∴∠MOC＝90°×12+1=30°，
∴∠AOC＝∠AOM+∠MOC＝90°+30°＝120°．
（2）∠AOM＝2∠NOC，
令∠NOC为β，∠AOM为γ，∠MOC＝90°﹣β，
∵∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°，
∴γ+90°﹣β+90°﹣β＝180°，
∴γ﹣2β＝0，即γ＝2β，
∴∠AOM＝2∠NOC．
12．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC．将一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒10⁰的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．

（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间有何数量关系？并说明理由．
（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°．
①则当旋转时间t＝　7或25　秒时，边AB所在的直线与OC平行？
②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由．
③在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时（如图3），求∠AOC﹣∠BOE的值．
试题分析：（1）由∠AOB＝90°知∠BOC+∠AOC＝90°、∠AOD+∠BOE＝90°，根据∠AOD＝∠AOC可得答案；
（2）①由∠COE＝140°知∠COD＝40°，分AB在直线DE上方和下方两种情况，根据平行线的性质分别求得∠AOD度数，从而求得t的值；
②当OA平分∠COD时∠AOD＝∠AOC、当OC平分∠AOD时∠AOC＝∠COD、当OD平分∠AOC时∠AOD＝∠COD，分别列出关于t的方程，解之可得；
③由∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝140°﹣∠AOE、∠BOE＝90°﹣∠AOE得∠AOC﹣∠BOE＝（140°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝50°．
答案详解：解：（1）∠BOC＝∠BOE，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，
∵OA平分∠COD，
∴∠AOD＝∠AOC，
∴∠BOC＝∠BOE；

（2）①∵∠COE＝140°，
∴∠COD＝40°，
如图1，当AB在直线DE上方时，

∵AB∥OC，
∴∠AOC＝∠A＝30°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝70°，即t＝7；
如图2，当AB在直线DE下方时，

∵AB∥OC，
∴∠COB＝∠B＝60°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝20°，
则∠AOD＝90°+20°＝110°，
∴t=360°−110°10=25，
所以答案是：7或25；
②当OA平分∠COD时，∠AOD＝∠AOC，即10t＝20，解得t＝2；
当OC平分∠AOD时，∠AOC＝∠COD，即10t﹣40＝40，解得t＝8；
当OD平分∠AOC时，∠AOD＝∠COD，即360﹣10t＝40，解得：t＝32；
综上，t的值为2、8、32；
③∵∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝140°﹣∠AOE，∠BOE＝90°﹣∠AOE，
∴∠AOC﹣∠BOE＝（140°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝50°，
∴∠AOC﹣∠BOE的值为50°．
13．如图，已知点O为直线AB上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，将三角板的一边ON与射线OB重合，过点O在三角板的内部，作射线OC，使∠NOC：∠MOC＝2：1，则∠MOC＝　30°　．
（2）如图2，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度到图2的位置，过点O在三角板MON的内部作射线OC，使得OC恰好是∠MOB对的角平分线；
试研究：∠AOM与∠NOC满足的数量关系，并说明理由．
（3）将如图1所示的三角板MON绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜90°）到如图3所示的位置，在∠BON的内部作射线OC使得∠NOC=16∠AON，则∠BOC的度数为　76α°﹣30°　（用含α的代数式表示）（请直接写出答案）

试题分析：（1）根据角的倍分关系即可求解；
（2）令∠NOC为β，∠AOM为γ，∠MOC＝90°﹣β，根据∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°即可得到∠AOM与∠NOC满足的数量关系；
（3）根据∠BON＝α°，得到∠AON＝180°﹣α°，得到∠AOC＝210°−76α°，再根据平角的定义得到∠BOC的度数．
答案详解：解：（1）∵∠NOC：∠MOC＝2：1，
∴∠MOC＝90°×12+1=30°．
（2）∠AOM＝2∠NOC，
令∠NOC为β，∠AOM为γ，∠MOC＝90°﹣β，
∵∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°，
∴γ+90°﹣β+90°﹣β＝180°，
∴γ﹣2β＝0，即γ＝2β，
∴∠AOM＝2∠NOC．
（3）∠BOC的度数为76α°﹣30°．
∵∠BON＝α°，
∴∠AON＝180°﹣α°，
∴∠AOC＝∠AON+∠NOC＝∠AON+16∠AON=76∠AON＝210°−76α°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC=76α°﹣30°．
所以答案是：30°；76α°﹣30°．
四．角的动边之存在性
14．如图，∠AOB＝120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．
（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；
（2）当t为何值时，射线OC⊥OD；
（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．

试题分析：（1）根据题意可得，射线OC与OD重合时，20t＝5t+120，可得t的值；
（2）根据题意可得，射线OC⊥OD时，20t+90＝120+5t或20t﹣90＝120+5t，可得t的值；
（3）分三种情况，一种是以OB为角平分线，一种是以OC为角平分线，一种是以OD为角平分线，然后分别进行讨论即可解答本题．
答案详解：解：（1）由题意可得，
20t＝5t+120
解得t＝8，
即t＝8min时，射线OC与OD重合；
（2）由题意得，
20t+90＝120+5t或20t﹣90＝120+5t，
解得，t＝2或t＝14
即当t＝2min或t＝14min时，射线OC⊥OD；
（3）存在，
由题意得，120﹣20t＝5t或20t﹣120＝5t+120﹣20t或20t﹣120﹣5t＝5t，
解得t＝4.8或t=487或t＝12，
即当以OB为角平分线时，t的值为4.8min；当以OC为角平分线时，t的值为487min，当以OD为角平分线时，t的值为12min．
15．已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤90秒）．
（1）用含t的代数式表示∠MOA的度数．
（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值．
（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．

试题分析：（1）∠AOM的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间；
（2）当∠AOB第二次达到60°时，射线OB在OA的左侧，根据∠AOM+∠BON﹣∠MON＝60°列方程求解可得；
（3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有三种情况：
①OB平分∠AOM时，根据12∠AOM＝∠BOM，列方程求解，
②OB平分∠MON时，根据∠BOM=12∠MON，列方程求解，
③OB平分∠AON时，根据∠BON=12∠AON，列方程求解．
答案详解：解：（1）∠MOA＝2t°；

（2）如图，

根据题意知：∠AOM＝2t°，∠BON＝4t°，
当∠AOB第二次达到60°时，∠AOM+∠BON﹣∠MON＝60°，
即2t+4t﹣180＝60，解得：t＝40，
故t＝40秒时，∠AOB第二次达到60°；

（3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况：
①OB平分∠AOM时，∵12∠AOM＝∠BOM，
∴t＝180﹣4t，
解得：t＝36；
②OB平分∠MON时，∵∠BOM=12∠MON，即∠BOM＝90°，
∴4t＝90，或4t﹣180＝90，
解得：t＝22.5，或t＝67.5；
③OB平分∠AON时，∵∠BON=12∠AON，
∴4t=12（180﹣2t），
解得：t＝18；
综上，当t的值分别为18、22.5、36、67.5秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线．
16．如图1，∠AOB＝120°，∠COE＝60°，OF平分∠AOE
（1）若∠COF＝20°，则∠BOE＝　40　°
（2）将∠COE绕点O旋转至如图2位置，求∠BOE和∠COF的数量关系
（3）在（2）的条件下，在∠BOE内部是否存在射线OD，使∠DOF＝3∠DOE，且∠BOD＝70°？若存在，求∠DOF∠COF的值，若不存在，请说明理由．

试题分析：（1）根据∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE，求出∠AOE即可解决问题；
（2）由题意∠AOE＝2∠EOF，可得120°﹣∠BOE＝2（60°﹣∠COF）即可推出∠BOE＝2∠COF；
（3）存在．∠DOF＝3∠DOE，设∠DOE＝α，∠DOF＝3α，构建方程求出α，求出∠DOF，∠COF即可；
答案详解：解：（1）∵∠COE＝60°，∠COF＝20°，
∴∠EOF＝60°﹣20°＝40°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝40°，
∴∠AOE＝80°，
∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝120°﹣80°＝40°，
所以答案是40；

（2）∵∠AOE＝2∠EOF，
∴120°﹣∠BOE＝2（60°﹣∠COF）
∴∠BOE＝2∠COF；

（3）存在．理由如下：
∵∠DOF＝3∠DOE，
设∠DOE＝α，∠DOF＝3α，
∴∠EOF＝∠AOF＝2α，∠AOD＝5α，
∵∠AOD+∠BOD＝120°，
∴5α+70°＝120°，
∴α＝10°，
∴∠DOF＝30°，∠AOE＝40°，∠AOC＝60°﹣40°＝20°，
∴∠COF＝40°，
∴∠DOF∠COF=34．

五．新定义
17．如图1，射线OC在∠AOB的内部，在∠AOB，∠AOC和∠BOC中，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．

（1）一个角的平分线　是　这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若∠AOB＝α，且射线OC是∠AOB的“巧分线”，则∠AOC＝　12α或13α或23α　；（用含α的代数式表示出所有可能的结果）
（3）如图3，若∠AOB＝60°，且射线OC绕点O从OB位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当OC与OB成180°时停止旋转，设旋转的时间为t秒，则当t为何值时，射线OA是∠BOC的“巧分线”？
试题分析：（1）根据巧分线定义即可求解；
（2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解；
（3）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可．
答案详解：解：（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”；

（2）∵∠AOB＝α，
∴∠AOC=12α或13α或23α；

（3）依题意有
①10t＝60+12×60，
解得t＝9；
②10t＝2×60，
解得t＝12；
③10t＝60+2×60，
解得t＝18．
故当t为9或12或18时，射线OA是∠BOC的“巧分线”；
所以答案是：是；12α或13α或23α．
18．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
（1）一个角的角平分线　是　这个角的奇妙线．（填是或不是）
（2）如图2，若∠MPN＝60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当∠QPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．
①当t为何值时，射线PM是∠QPN的奇妙线？
②若射线PM同时绕点P以每秒6°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止旋转．请求出当射线PQ是∠MPN的奇妙线时t的值．

试题分析：（1）根据奇妙线定义即可求解；
（2）①分3种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可；
②分3种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可．
答案详解：解：（1）一个角的平分线是这个角的“奇妙线”；
（2）①依题意有
（a）10t＝60+12×60，
解得t＝9；
（b）10t＝2×60，
解得t＝12；
（c）10t＝60+2×60，
解得t＝18．
故当t为9或12或18时，射线PM是∠QPN的“奇妙线”；
②依题意有
（a）10t=13（6t+60），
解得t=52；
（b）10t=12（6t+60），
解得t=307；
（c）10t=23（6t+60），
解得t=203．
故当射线PQ是∠MPN的奇妙线时t的值为52或307或203．
所以答案是：是．
19．【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=13∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC=13∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD=13∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝　40　°；
（2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出答案）


试题分析：（1）根据新定义直接可得答案；
（2）①分两种情况：在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°，即可解得答案；
②分4种情况：相遇之前，（Ⅰ）OC是OA的友好线时，∠AOC=13∠AOD，即2t°=13（180°﹣3t°），（Ⅱ）OC是OD的友好线时，∠DOC=13∠AOD，即180°﹣3t°﹣2t°=13（180°﹣3t°），相遇之后：（Ⅲ）OD是OC的友好线∠COD=13∠AOC，即3t°+2t°﹣180°=13×2t°，（Ⅳ）OD是OA的友好线，∠AOD=13∠AOC，即180°﹣3t°=13×2t°，分别解方程即可．
答案详解：解：（1）∵射线OM是射线OA的友好线，
∴∠AOM=13∠AOB＝40°，
所以答案是：40；
（2）射线OD与射线OA重合时，t＝60（秒），
①存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，有两种情况：
在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，
∴t＝28；
在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°，
∴t＝44，
综上所述，当t为28秒或44秒时，∠COD的度数是40°；
②相遇之前，
（Ⅰ）如图：

OC是OA的友好线时，
∠AOC=13∠AOD，即2t°=13（180°﹣3t°），
∴t＝20；
（Ⅱ）如图：

OC是OD的友好线时，
∠DOC=13∠AOD，即180°﹣3t°﹣2t°=13（180°﹣3t°），
∴t＝30；
相遇之后：
（Ⅲ）

OD是OC的友好线，
∠COD=13∠AOC，即3t°+2t°﹣180°=13×2t°，
∴t=54013，
（Ⅳ）

OD是OA的友好线，
∠AOD=13∠AOC，即180°﹣3t°=13×2t°，
∴t=54011，
综上所述，当t为20秒或30秒或54013秒或54011秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．
20．对于同一平面内以O为端点的射线与∠MON，其中∠MON＝60°，给出如下定义：OP1，OP2，…，OPn﹣1，OPn是∠MON内或与射线OM，ON重合的n条不同的射线（n≥3），这些射线与射线l形成的小于平角的角的大小分别为α1，α2，…αn﹣1，αn，若这n条射线满足α1+α2+…+αn﹣1＝αn，则称这n条射线为∠MON关于射线l的一个基准射线族，其中αn为该基准射线族的基准角度．

（1）如图1，当射线OA与射线l恰为∠MON的两条三等分线时，判断射线OM，OA，ON是否为∠MON关于射线l的一个基准射线族？如果是，求出它的基准角度；如果不是，请说明理由；
（2）如图2，∠MON的边ON与射线l重合，固定射线l的位置不动，将∠MON以每秒5°的速度绕着点O逆时针转动一周．当转动时间为t秒时，OP1，OP2，…，OPn﹣1，OPn是∠MON关于射线l的一个基准射线族．
①若t＝8，求该基准射线族的基准角度αn的最大值；
②若n的最大值等于6，直接写出t的取值范围．
试题分析：（1）由已知可求∠MOB＝∠BOA＝∠AON＝20°，则有∠NOB＝∠BOM+∠AOB，满足定义，即可求解；
（2）①t＝8时，∠NON'＝40°，∠M'ON＝＝100°，满足∠M'ON＝∠N'ON+∠MON，则可求该基准射线族的基准角是∠M'ON；②分四种情况讨论：当0≤t＜24时，即∠MON在直线OB上侧；24≤t≤36时，即射线OB的反向延长线在∠MON内部或与一边重合；当36＜t＜60时，及∠MON在直线OB下侧；当60≤t≤72时，即射线OB的反向延长线在∠MON内部或与一边重合；分别求出t的取值范围即可．
答案详解：解：（1）如图1：∵射线OA与射线l恰为∠MON的两条三等分线，∠MON＝60°，
∴∠MOB＝∠BOA＝∠AON＝20°，
∴∠NOB＝40°，
∴∠NOB＝∠BOM+∠AOB，
∴射线OM，OA，ON是∠MON关于射线l的一个基准射线族，基准角度为40°；
（2）①如图2：t＝8时，∠NON'＝5°×8＝40°，∠M'ON＝60°+40°＝100°，
∴∠M'ON＝∠N'ON+∠MON，
∴该基准射线族的基准角是∠M'ON，
∴该基准射线族的基准角度αn的最大值100°；
②∵n的最大值等于6，
∴n＝6时，存在∠P1OB+∠P2OB+∠P3OB+∠P4OB+∠P5OB＝∠P6OB，且n＝7时不成立，
分以下四种情况讨论：
如图3，当0≤t＜24时，即∠MON在直线OB上侧，对应n＝6，
∵OP1，OP2，…，OP6在∠MON内或与射线OM，ON重合，
∴∠PiOB≥∠NOB＝（5t）° （i＝1，2，3，4，5），∠P6OB≤MOB＝（5t+60）°，
∴5×（5t）°≤∠P1OB+∠P2OB+∠P3OB+∠P4OB+∠P5OB＝∠P6OB≤（5t+60）°，
∴i≤3，当且仅当OP1，OP2，…，OP5与ON重合时取等，
∵OP1，OP2，…，OP5互不相同，
∴等号不成立，t＜3，
∵n＝7时等式不成立，
∴∠P1OB+∠P2OB+∠P3OB+∠P4OB+∠P5OB+∠P6OB＞P7OB恒成立，
∴∠P1OB+∠P2OB+∠P3OB+∠P4OB+∠P5OB+∠P6OB的最小值大于∠P7OB的最大值，
∴6×（5t）°＞（5t+60）°，即t＞125，
∵OP1，OP2，…，OP7互不相同，
∴t=125时∠P1OB+∠P2OB+∠P3OB+∠P4OB+∠P5OB+∠P6OB＞6×（5t）°≥∠P7OB满足要求，
∴t≥125，
∴125≤t＜3；
如图4，24≤t≤36时，即射线OB的反向延长线在∠MON内部或与一边重合，
∵∠PiOB≥∠NOB≥5°×24＝120° 或∠PiOB≥∠MOB≥5°×24＝120° （i＝1，2，3，4，5），
∴∠P1OB+∠P2OB+∠P3OB+∠P4OB+∠P5OB≥5°×24＞∠P6OB，
∴此时不存在符合条件的t；
如图5，当36＜t＜60时，及∠MON在直线OB下侧，对应n＝6，
∵OP1，OP2，…，OP6在∠MON内或与射线OM，ON重合，
∴∠PiOB≥∠MOB＝（360﹣60﹣5t）°＝（300﹣5t）°（i＝1，2，3，4，5），∠P6OB≤∠NOB＝（360﹣5t）°，
∴5×＝（300﹣5t）°≤∠P1OB+∠P2OB+∠P3OB+∠P4OB+∠P5OB＝∠P6OB≤（360﹣5t）°，
∴t≥57，当且仅当OP1，OP2，…，OP5与OM重合时取等号，
∵OP1，OP2，…，OP5互不相同，
∴等号不成立，t＞57，
∵n＝7时等号不成立，
∴∠P1OB+∠P2OB+∠P3OB+∠P4OB+∠P5OB+∠P6OB＞∠P7OB恒成立，
∴∠P1OB+∠P2OB+∠P3OB+∠P4OB+∠P5OB+∠P6OB的最小值大于∠P7OB的最大值，
∴6×（300﹣5t）°＞（360﹣5t）°，
∴t＜2885，
∵OP1，OP2，…，OP7互不相同，
∴t=2885时，∠P1OB+∠P2OB+∠P3OB+∠P4OB+∠P5OB+∠P6OB＞6×（300﹣5t）°＝（360﹣5t）°≥∠P7OB满足要求，
∴t≤2885，
∴57＜t≤2885；
如图6，当60≤t≤72时，即射线OB的反向延长线在∠MON内部或与一边重合，取∠P7OB＝21°（∠P7OB≤12∠MON即可），
∠PiOB＝i°（i＝1，2，3，4，5），
∴∠P1OB+∠P2OB+∠P3OB+∠P4OB+∠P5OB+∠P6OB＝∠P7OB，
∴n＝7成立，
∴不满足要求；
综上所述，125≤t＜3或57＜t≤2885．