专题6.17 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式（知识讲解）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

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专题6.17 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
（知识讲解）
【学习目标】
1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．
2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．
【要点梳理】
要点一、一次函数与一元一次不等式
　　由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
特别说明：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
要点二、一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.
要点三、如何确定两个不等式的大小关系
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．
【典型例题】
类型一、已知直线与坐标轴交点求方程的解
1．画出函数的图象，根据图象回答下列问题：求方程的解
【答案】图像见详解；．
【分析】利用两点法画出函数的图象，然后令，即直线与x轴的交点的横坐标就是方程的解．
解：∵函数，
令，则；令，则，
的图像如图所示：

由图可知，方程的解是；
【点拨】本题考查了画一次函数的图像，由图像求一元一次方程的解，解题的关键是掌握一次函数的性质进行解题．
举一反三：
【变式】已知：一次函数的图象经过，两点．
（1）求、的值；
（2）若一次函数的图象与轴的交点为，求的值．
（3）求的长．
【答案】（1），的值分别是1和2；（2）；（3）
【分析】（1）将，两点分别代入一次函数解析式中，即可得到、的值；
（2）由（1）中，的值得到一次函数的解析式，再将点代入，即可得到的值；
（3）根据题意画出直角坐标系及直线，得到，，，结合勾股定理解题即可．
解：（1）∵一次函数的图象经过，两点，
∴，解得，
∴，的值分别是1和2；
（2）∵由（1）得，，的值分别是1和2，
∴将，代入中得．
∵点在的图象上，
∴，即；
（3）如图，∵，，．
∴，
∴．

【点拨】本题考查一次函数的解析式、一次函数与x轴的交点，勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．如图，直线与轴，轴分别交于点，点，与函数的图象交于点．
（1）求，的值；
（2）点C在线段上，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，若，求点的坐标．

【答案】（1），；（2）点C（，）．
【分析】（1）由点在直线上，求出，由函数的图象过点，可得；
（2）由，可得OB=，由，可求，由点C在上，利用函数值构造方程，求出x即可．
解：（1）∵点在直线上，
∴，
解得，
∵函数的图象过点，
∴即；
（2）∵，
∴OB=，
∵，
∴，
∵点C在上，
，
解得，
点C（，）．

【点拨】本题考查待定系数法求一次函数解析式与正比例函数解析式，掌握待定系数法求一次函数解析式与正比例函数解析式，利用函数值构建方程是解题关键．
【变式】已知二元一次方程y＝3x+m所表示的直线经过点A（1，5）．
（1）求m的值；
（2）若该直线与x轴的交点为B，求点B的坐标及线段AB的长；
（3）求该直线与y轴的交点坐标．
【答案】（1）；（2）点B的坐标为（，0），；（3）（0，2）．
【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式计算即可求出m；
（2）令y=0求解即可得到点B的坐标，再利用勾股定理列式求解即可得到AB的长；
（3）令x=0求解即可得到与y轴的交点．
解：（1）∵y=3x+m所表示的直线经过点A（1，5），
∴3+m=5，
解得m=2；
（2）方程为y=3x+2，
令y=0，则3x+2=0，
解得x，
∴点B的坐标为（，0），
AB；
（3）令x=0，则y=2，
所以，直线与y轴的交点坐标为（0，2）．
【点评】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求直线与坐标轴的交点坐标，勾股定理的应用，需熟记．
类型二、由一元一次方程的解判断直线与x轴交点
3．已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
（1）求，两点的坐标；
（2）在平面直角坐标系内画出函数的图象.

【答案】（1）（－1，0），（0，2）（2）见解析
【分析】（1）令y＝0，求出与x轴的交点；令x＝0，求出与y轴的交点；
（2）根据（1）中求出的两个点的坐标画出图像即可.
解：（1）令y＝0，则x＝－1；令x＝0，则y＝2；
∴点A坐标为（－1，0）；
点B坐标为（0，2）．
（2）如图，

【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，及两点法画函数图像，正确求出与坐标轴的交点是解答本题的关键.
举一反三：
【变式】如图，直线AD:与轴交于点，直线与轴、轴分别交于、两点，并与直线交于点．
（1）求点的坐标；
（2）求四边形的面积．

【答案】（1）；（2）
【分析】（1）把与联立组成二元一次方程组，解出的值，即可求出点D的坐标，
（2）分别求出点A，B，C的坐标，可得AB=5，BC=2,再分别求出和的面积，利用二者的面积差可求四边形面积．
解：（1）直线AD与直线BC交于点D，
可列方程组：，
解得，
∴，
（2）∵直线与轴、轴分别交于、两点，
∴，，
∵直线中，当时，，解得，
∴，
又∵，
∴四边形的面积，

．
【点拨】本题考查了两直线相交的问题，关键是掌握两直线相交时，就是联立两个函数解析式，组成方程组，解出方程组即可得到交点坐标．
4．如图，直线l1经过点A(0，4)和C(12，﹣4)，点B的坐标为(8，4)，点P是线段AB上的动点（点P不与点A重合），直线l2：y＝kx+2k（k≠0）经过点P，并与l1交于点M．
（1）求直线l1的函数解析式；
（2）若点M坐标为(1，)，求；
（3）直线l2与x轴的交点坐标为　，点P的移动过程中，k的取值范围是　　．

【答案】（1）y＝﹣x+4；（2）；（3）(﹣2，0)，≤k≤2．
【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；
（2）根据M点的坐标求出直线l2的解析式，确定P点的坐标，即可求出△APM的面积；
（3）根据直线l2的解析式，求出与x 轴的交点即可，根据点P在AB上，分别与点A和点B重合时求出临界值即可确定k的取值范围．
解：（1）∵直线l1经过点A（0，4）和C（12，﹣4），
设直线l1的解析式为y＝sx+t，
代入A点、C点坐标，得，
解得，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x+4；
（2）∵点M坐标为(1，)，且点M在直线l2：y＝kx+2k（k≠0）上，
∴k+2k＝，
∴k＝，
∴直线l2的解析式为y＝x+，
∵点A(0，4)，点B (8，4)，
∴AB//x，
当y=4时，x+=4，
∴x=，
∴P点的坐标为(，4)，
∴S△APM＝×(﹣0)×(4﹣)＝；
（3）∵直线l2：y＝kx+2k（k≠0），
∴当y＝0时，k＝﹣2，
∴直线l2与x轴的交点坐标为(﹣2，0)，
∵点P在线段AB上，
∴当点P与A点重合时，2k＝4，
解得k＝2，
当点P与B点重合时，8k+2k＝4，
解得k＝，
∴k的取值范围是≤k≤2，
故答案为：(﹣2，0)，≤k≤2．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形的性质，以及一次函数的性质，熟练使用待定系数法求解析式及用临界值法求取值范围是解题的关键．
【变式】已知一次函数，当时，；当，．
（1）在所给坐标系中画出一次函数的图象：
（2）求k，b的值；
（3）将一次函数的图象向上平移2个单位长度，求所得到新的函数图象与x轴、y轴的交点坐标．

【答案】（1）图象见解析；（2）k=2，b=-3；（3）与x轴，y轴的交点坐标分别为和（0，-1）．
【分析】（1）依据两对对应值作为点的坐标，即可在所给坐标系中画出一次函数y=kx+b的图象；
（2）将已知的两对x与y的值代入一次函数解析式，即可求出k与b的值；
（3）依据一次函数图象平移的规律，即可得到新的函数及其图象与x轴，y轴的交点坐标．
解：（1）函数图象如图所示，

（2）将x=1，y=-1；x=-1，y=-5分别代入一次函数解析式得：
，解得；
（3）由（2）可得，一次函数的关系式为y=2x-3．
一次函数y=2x-3的图象向上平移2个单位长度，
可得y=2x-1，
令y=0，则；令x=0，则y=-1，
∴与x轴，y轴的交点坐标分别为和（0，-1）．
【点拨】本题考查一次函数的平移，求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题．一次函数的平移规律是：上加下减，左加右减．
类型三、利用图象法解二元一次方程
5．画出函数y＝2x+6的图象，利用图象：
（1）求方程2x+6＝0的解；
（2）求不等式2x+6＞0的解；
（3）若﹣2≤y≤2，求x的取值范围．

【答案】（1）x＝﹣3；（2）x＞﹣3；（3）﹣4≤x≤﹣2．
【分析】（1）利用两点法作图即可作出函数的图象，图象与x轴的交点坐标的横坐标就是该方程的解；
（2）2x＋6＞0就是函数的图象位于x轴的上方的部分对应的自变量的取值范围；
（3）结合图象根据函数值的取值范围得到自变量的取值范围即可．
解：图象为：

（1）观察图象知：该函数图象经过点（﹣3，0），
故方程2x＋6＝0的解为x＝﹣3；
（2）观察图象知：当x＞﹣3时，y＞0，
故不等式2x＋6＞0的解集为x＞﹣3；
（3）当﹣2≤y≤2时，﹣4≤x≤﹣2．
【点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程、一次不等式的关系，解答的关键在于准确的画出图形和掌握一次函数与一元一次方程、一次不等式的关系．
举一反三：
【变式】根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案：
（1）关于x的方程kx+b＝0的解；
（2）代数式k+b的值；
（3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解．

【答案】（1）x＝2；（2）﹣1；（3）x＝﹣1．
【分析】（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可；
（2）利用函数图象写出x＝1时对应的函数值即可
（3）利用函数图象写出函数值为−3时对应的自变量的值即可．
解：（1）当x＝2时，y＝0，
所以方程kx+b＝0的解为x＝2；
（2）当x＝1时，y＝﹣1，
所以代数式k+b的值为﹣1；
（3）当x＝﹣1时，y＝﹣3，
所以方程kx+b＝﹣3的解为x＝﹣1．
【点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用数形结合是求解的关键．
6．（1）如图1，结合函数y＝x﹣1的图象填空：y随x的增大而　 　，当﹣1≤x≤3时，该函数的最大值为　 　，最小值为　 　．

（2）根据学习函数的经验来探究函数y＝|x﹣1|+1的最小值．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
4
3
2
1
2
3
4
…
①若点A（a，n）和点B（b，n）是该函数图象上的两点，则a+b＝　 　；
②在平面直角坐标系中描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；
③由图象可知，函数y＝|x﹣1|+1的最小值为　 　．
（3）请结合a的取值范围判断方程|x﹣1|+1＝a的解的个数．（直接写出结果）
【答案】（1）增大，2，-2；（2）①2；②见解析；③1；（3）见解析
【分析】（1）k=1＞0，故y随x的增大而增大，x=-1时，y取得最小值为-2，当x=3时，y取得最大值为：2，即可求解；
（2）①由函数的对称性，从表格看，相同的y值对应的x轴的和为2，即可求解；
②通过描点画出如下图象；
③从图象看，函数的最小值为1；
（3）从图象看，当a＜1时，原方程无解，当a=1时，原方程有1个解，当a＞1时，原方程有两个不相等的解（或有两个解）．
解：（1）k=1＞0，故y随x的增大而增大，
x=-1时，y取得最小值为-2，当x=3时，y取得最大值为：2，
故答案为：增大，2，-2；
（2）①由函数的对称性，从表格看，相同的y值对应的x轴的和为2，
故a+b=2，
故答案为：2；
②通过描点画出如下图象：

③从图象看，函数的最小值为1；
（3）从图象看，当a＜1时，原方程无解，
当a=1时，原方程有1个解，
当a＞1时，原方程有两个不相等的解（或有两个解）．
【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，要求学生根据题设条件，确定函数的图象，再根据图象上点的特征，完成相关数据的求解．
【变式】如图，直线与轴、轴分别交于点、点，点的坐标为，点A的坐标为．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点是线段（不与点、重合）上的一点，试写出的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下探究：当点在什么位置时，的面积为，并说明理由．

【答案】（1）；（2）；；（3）当的坐标为时，的面积为，见解析
【分析】（1）把点E的坐标为（-8，0）代入求出k即可解决问题；
（2）△OPA是以OA长度6为底边，P点的纵坐标为高的三角形，根据 列出函数关系式即可；
（3）利用（2）的结论，列出方程即可解决问题；
解：（1）把代入中
有
∴
∴一次函数解析式为
（2）如图：

∵是以为底边，点的纵坐标为高的三角形
∵
∴
∴
自变量的取值范围：
（3）当的面积为时，有
解得
把代入一次函数中，得
∴当的坐标为时，的面积为
【点拨】本题考查一次函数综合题、三角形的面积、一元一次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建一次函数或方程解决实际问题．
类型四、由直线与坐标轴交点求不等式的解集
7．直线y=kx+b经过A（0，-3）)和B（-3，0）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）画出图象，并根据图象说明不等式kx+b<0的解集．

【答案】（1）；（2）
【分析】（1）将代入，用待定系数法求出即可；
（2）由图象可知：直线从左往右逐渐下降，即随的增大而减小，又当时，，右侧即可得到不等式的解集．
解：将代入得，
，
解得：，
，
一次函数的解析式为：．
（2）作图如下：

由图象可知：直线从左往右逐渐下降，即随的增大而减小，
当时，，
的解集为：．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一次不等式的关系、一次函数的图象，解题的关键是能根据图象进行求解，利用数学结合的思想解答．
举一反三：
【变式】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+b交于点A(a，3)，点B(2，4)在直线l2上．
（1）求a的值及直线l2的函数解析式；
（2）直接写出关于x的不等式kx+b＜3x的解集．

【答案】（1）a＝1，y＝x+2；（2）x＞1
【分析】（1）把A（a，3）代入y＝3x可求出a的值；利用待定系数法求直线l2的解析式；
（2）写出直线l2：y＝kx+b在直线l1：y＝3x下方所对应的自变量的范围即可．
解：（1）直线 l1：y＝3x 与直线 l2：y＝kx+b 交于点 A（a，3），所以3a＝3．
解得a＝1．
∴点 A（1，3），
直线 l2：y＝kx+b 过点 A（1，3），点 B （ 2，4 ），
所以，
解得，
所以直线 l2的解析式为 y＝x+2，
（2）不等式kx+b＜3x的解集为x＞1．

【点拨】本题主要考查了一次函数的图象性质，一次函数与不等式的解集等知识点，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
8．如图，已知直线y1=﹣x+1与x轴交于点A，与直线y2=﹣x交于点B．
（1）求△AOB的面积；
（2）求y1＞y2时x的取值范围．

【答案】（1）1.5；（2）x＞﹣1．
【分析】（1）由函数的解析式可求出点A和点B的坐标，进而可求出△AOB的面积；
（2）结合函数图象即可求出y1＞y2时x的取值范围．
解：（1）由y1=﹣x+1，
可知当y=0时，x=2，
∴点A的坐标是（2，0），
∴AO=2，
∵y1=﹣x+1与x与直线y2=﹣x交于点B，
∴B点的坐标是（﹣1，1.5），
∴△AOB的面积=×2×1.5=1.5；
（2）由（1）可知交点B的坐标是（﹣1，1.5），
由函数图象可知y1＞y2时x＞﹣1．
考点：一次函数与一元一次不等式．
【变式】在平面直角坐标系中，一次函数（k，b是常数，且）的图象经过点和．
（1）求该函数的表达式；
（2）若点在该函数的图象上，求点P的坐标；
（3）当时，求x的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）利用待定系数即可求得函数的表达式；
（2）将代入函数解析式，求得a的值后即可求得P的坐标；
（3）根据y的取值范围，可得x的不等式，求解即可．
解：（1）一次函数过（2，1）和（-1,7），
∴，
解得：，
∴；
（2）由（1）可知：，
将代入，
∴，解得，
即，
∴；
（3）∵，
当时，
则，
解得：，
∴x的取值范围：．
【点拨】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式．解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
类型五、由两条直线的交点求不等式的解集
9．已知一次函数（k为常数，k≠0）和．
（1）当k＝﹣2时，若＞，求x的取值范围；
（2）当x＜1时，＞．结合图像，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）；（2）且.
【分析】（1）解不等式−2x＋2＞x−3即可；
（2）先计算出x＝1对应的y2的函数值，然后根据x＜1时，一次函数y1＝kx＋2（k为常数，k≠0）的图象在直线y2＝x−3的上方确定k的范围．
解：（1）当时，.
根据题意，得.
解得.
（2）当x＝1时，y＝x−3＝−2，
把（1，−2）代入y1＝kx＋2得k＋2＝−2，解得k＝−4，
当−4≤k＜0时，y1＞y2；
当0＜k≤1时，y1＞y2．
∴k的取值范围是：且.
【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
举一反三：
【变式】如图,根据图中信息解答下列问题:
(1)关于x的不等式ax+b>0的解集是　　. 
(2)关于x的不等式mx+n<1的解集是　　. 
(3)当x为何值时,y1≤y2?
(4)当x为何值时,0
【答案】:(1) x<4;(2) x<0;(3)x≤2;(4)2 【分析】（1）求ax+b＞0的解集，只需确定直线y2在x轴上方时x的取值范围即可；
（2）求mx+n＜1的解集，也就是求直线y1在y=1下方时x的取值范围，据此解答即可；
（3）找出直线y1在直线y2的下方与相交时x的取值范围，据此可确定y1≤y2时x的取值范围；
（4）根据函数图象，找出直线y2在直线y1的下方且在x轴上方时x的取值范围即可.
解：(1)∵直线y2=ax+b与x轴的交点是(4,0),
∴当x<4时, y2>0，即不等式ax+b>0的解集是x<4；
(2)∵直线y1=mx+n与y轴的交点是(0,1)，
∴当x<0时, y1<1，即不等式mx+n<1的解集是x<0；．
(3)由一次函数的图象知,两条直线的交点坐标是(2,1.8),当函数y1的图象在y2的下面时，有x⩽2，
所以当x≤2时, y1≤ y2；
(4)如图所示,当2 故答案为(1) x<4; (2) x<0; (3)x≤2; (4)2 【点拨】本题考查一次函数与一元一次不等式.
10．如图，已知直线y=kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，直线y=2x﹣4交x轴于点D，与直线AB相交于点C（3，2）．
（1）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集；
（2）若点A的坐标为（5，0），求直线AB的解析式；
（3）在（2）的条件下，求四边形BODC的面积．

【答案】（1）x＞3（2）y=-x+5（3）9.5
【分析】（1）根据C点坐标结合图象可直接得到答案；
（2）利用待定系数法把点A（5，0），C（3，2）代入y=kx+b可得关于k、b得方程组，再解方程组即可；
（3）由直线解析式求得点A、点B和点D的坐标，进而根据S四边形BODC=S△AOB-S△ACD进行求解即可得.
解：（1）根据图象可得不等式2x-4＞kx+b的解集为：x＞3；
（2）把点A（5，0），C（3，2）代入y=kx+b可得：
，解得：，
所以解析式为：y=-x+5；
（3）把x=0代入y=-x+5得：y=5，
所以点B（0，5），
把y=0代入y=-x+5得：x=2，
所以点A（5，0），
把y=0代入y=2x-4得：x=2，
所以点D（2，0），
所以DA=3，
所以S四边形BODC=S△AOB-S△ACD==9.5.
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，不规则图形的面积等，熟练掌握待定系数法、注意数形结合思想的运用是解题的关键.
【变式】如图，已知直线与直线相交于点.
（1）求、的值；
（2）请结合图象直接写出不等式的解集.

【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）把点P的坐标分别代入l1与l2的函数关系式，解方程即可；
（2）利用函数图象，写出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可.
解：（1）因为点P是两条直线的交点，所以把点分别代入与中，得，，解得，.
（2）当时，的图象在的上面，
所以，不等式的解集是.
【点拨】本题考查了一次函数的交点问题和一次函数与一元一次不等式的关系，读懂图象，弄清一次函数图象的交点与解析式的关系和一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键.