专题08 一线三角型-九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）

专题08 一线三角型

【基本模型】

(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.

(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.

特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.

补充：其他常见的一线三等角图形

【例题精讲】

例1.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE．

(1)求证：△ABE∽△ECD；

(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长．

例2．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）

【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．

【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．

【变式训练1】如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．

（1）求证：△ABE∽△EGF；

（2）若EC＝2，求△CEF的面积；

（3）当△CEF的面积最大时，求EC．

【变式训练2】如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．

（1）求证△ABP∽△PCD；

（2）求△ABC的边长．

【变式训练3】如图，矩形ABCD中，E为AD边上一点（不与点A、D重合），EF⊥BE交CD于点F．

（1）求证：EA·ED＝AB·DF；

（2）若BE平分∠ABD，点G为BC中点，AG交BE于点K，H为AB边上一点，∠BEH＝45°，BD交EF于点J，当＝时，求；

（3）若AB＝BC，点K为线段BE的三等分点（BK＜EK），点J为射线EF上一点，且EK＝EJ，当＝_________时（直接写结果），tan∠DJE＝．

【课后训练】

1．如图，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中点，连接AE，tan∠AEB，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（　　）

A．或 B．或 C．或 D．或

2．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点G的运动路径=________，△CEF面积的最小值是 ________．

3．如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，将沿折叠使点落在点，连接并延长交于点，连接．若是以为腰的等腰三角形，则的长为________．

4．等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．

(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；

(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；

(3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．

5．【推理】

如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．

（1）求证：．

【运用】

（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长．

【拓展】

（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）．

6．在中与中，，，将绕点顺时针旋转，连接，点分别是的中点，连接．

（1）观察猜想

如图1，当点与点重合时，与的数量关系是__________，位置关系是__________；

（2）类比探究

当点与点不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由．

（3）问题解决在旋转过程中，请直接写出的面积的最大值与最小值．

7．已知正方形的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边、的延长线交于点E、F，连接．设．

（1）如图1，当被对角线平分时，求a、b的值；

（2）当是直角三角形时，求a、b的值；

（3）如图3，探索绕点A旋转的过程中，的面积是否发生变化？请说明理由．

8．如图1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD的中点，直角∠GEF的两直角边EF、EG分别交CD、BC于点F、G．

（1）若点F是边CD的中点，求EG的长．

（2）当直角∠GEF绕直角顶点E旋转，旋转过程中与边CD、BC交于点F、G．∠EFG的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠EFG的值．

（3）当直角∠GEF绕顶点E旋转，旋转过程中与边CD、BC所在的直线交于点F、G．在图2中画出图形，并判断∠EFG的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请直接写出tan∠EFG的值．

（4）如图3，连接CE交FG于点H，若，请求出CF的长．

9．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上．

（1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长

（2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时，

①求证：EF＝EG；

②求AF的长．

（3）如图3，当折痕的另一端F在AD边上，B点的对应点E在长方形内部，E到AD的距离为2cm，且BG＝10时，求AF的长．