相似三角形基本模型综合培优训练（一）-九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）

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相似三角形基本模型综合培优训练（一）
1．如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为（    ）

A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【详解】解：如图：四边形周长等于，
作，使，
即四边形PQEF是平行四边形，则，
作F关于BC的对称点，连接，交于点，即有，
∵四边形是矩形，，，E为DC中点，
∴，，∠D=90°，
∴，
即在Rt△ADE中，，即AE为定值，
即四边形周长=，其中为定值，
∵，
∴当共线时最小，即四边形周长最小，
∵，，
∴结合四边形是矩形，易证明四边形是矩形，
则，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．

故选：B．
2．如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F．若AC＝2，则线段EF的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H，

∵AD为BC边的中线，AC＝BC＝2，
∴CD＝BD＝1，
∴AD＝＝＝，
∵，
∴CE＝＝，
∵∠ADC+∠BCH＝90°，∠BCH+∠H＝90°，
∴∠ADC＝∠H，
在△ACD和△CBH中，
，
∴△ACD≌△CBH（AAS），
∴CD＝BH＝1，AD＝CH＝，
∵AC⊥BC，BH⊥BC，
∴AC∥BH，
∴△ACF∽△BHF，
∴＝，
∴CF＝，
∴EF＝CF﹣CE＝﹣＝，
故选：B．
3．如图，矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置．如图，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为_____．

【答案】
【详解】设GC、BE交于点O，如图，

∵四边形ABCD是矩形，AB=12，BC=15，
∴AB=DC=12，AD=BC=15，∠D=∠DCB=90°，
∴在Rt△DCG中，GD=5，
即，
根据翻折的性质，BC=BF，∠CBE=∠FBE，
∴结合BO=BO，可得△BCO≌△BFO，
∴CO=OF，∠BOC=∠BOF，
∵∠BOC+∠BOF=180°，
∴∠BOC=∠BOF=90°，
∴BO⊥GC，
∵∠BCO+∠DCG=180°，∠DCG+∠DGC=180°，
∴∠BCO=∠DGC，
∵∠D=∠BOC=90°，
∴△BOC∽△CDG，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
4．如图，在中，，点A在反比例函数的图像上，点B，C在轴上，，延长交轴于点，连接，若的面积等于，则的值为______．

【答案】6
【详解】解：如图，连接AO，过点A作AE⊥x轴于点E，

∵AC=AB，AE⊥BC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵∠AEC=∠DOC=90°，∠OCD=∠ECA，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：6．
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接、，交于，若平分反比例函数的图象经过点与的中点，矩形的面积为，则的值是______．

【答案】-3
【详解】解：连接，则，，

，
平分，
，
，
，
∽，
，
矩形的面积为，
，
，
，，
，
，
设，
，
，，
，
，
故答案为：．
6．如图，已知四边形ABCD是边长为8的正方形，点E，F分别是BC，CD的中点，AE与BF相交于点G，连接DE，交BF于点H，则GH的长为_____．

【答案】
【详解】解：取线段DE的中点M，连接MF，
∵点F为线段DC的中点，
∴MF是△DEC的中位线，
∴MFEC，，
∵点E，F分别是BC，CD的中点，四边形ABCD是边长为8的正方形，
∴CF＝BE＝4，BC＝AB＝8，∠BCF＝∠ABE＝90°，
∴BF4，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，
∴△BGE∽△BCF，
∴，
即，
解得BG，
∵，
∴△BEH∽△FMH，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴FHBF，
∴GH＝BF﹣BG﹣FH＝4，
故答案为：．

7．在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D为AB边上一点，AD＝3BD，CD＝2，点E在直线AC上，∠CDE＝45°，则AE＝______．
【答案】3或18
【详解】当点E在线段AC上时，

因为∠ACB＝90°，CA＝CB，
所以∠EAD=∠CBA=45°，
因为∠CDE＝45°，∠CDA=∠EDC+∠ADE=∠B+∠BCD，
所以∠ADE=∠BCD，
所以△ADE∽△BCD，
所以，
因为AD＝3BD，
所以AD=，BD=，
所以，
解得AE=．
因为∠CDE＝45°=∠A，∠ECD=∠CDA，
所以△CED∽△CDA，
所以，
因为CD＝2，
所以AC×CE=40，
所以即，
因为AE+CE=AC=，
所以
所以，
解得AE=3或AE=-3（舍去）．
当点E在线段AC的延长线上时，
设DE与BC的交点为M，

因为∠CDE＝45°，∠DCM=∠BCD，
所以△CDM∽△CBD，
所以，
因为CD＝2，AC=BC，
所以BC×CM=40即，
因为∠A=∠CDE＝45°，∠EDB=∠A+∠E, ∠DCA=∠E+∠CDE，
所以∠EDB=∠DCA，
因为∠A=∠B＝45°，
所以△BDM∽△ACD，
所以，
因为AD＝3BD，AC=BC，AB=，
所以AD=，BD=，
所以，
解得BM=．
因为BM+CM=AC，
所以
所以，
解得AC=8或AC=-8（舍去）．
作，交AC于点N，
所以，
所以
所以CN=2，
因为=5，
所以，
所以，
解得CE=10，
所以AE=CE+AC=18．
综上所述AE的长为3或18和18或3．
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D、E分别在AC、BC上，CE=AD，CG⊥DE于点F，FE=1，FG=3，则AC=______．

【答案】
【详解】解：过点D作DT⊥AD交AB于点T，连接ET，连接CT交DE于点M，

∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵DT⊥AD，
∴△ADT为等腰直角三角形，
∵CE=AD，
∴DT=CE，
∵DTCE，∠DCE=90°，
∴四边形DTEC为矩形，
∴DE=CT，
设∠BCG=α，则∠CDE=α，
∴∠DCT=α，
∴∠CTB=45°+α，
∵∠CGT=45°+α，
∴CT=CG，
∴DE=CG，
设CF=x,则DE=CG=x+3，
∴DF=x+2，
∵△CFE∽△DFC，
∴，即，
∴，
解得x=2或x=-1（舍），
∴CF=2，
∴DF=4，CE=AD=，
∴CD=2，
∴AC=3．
故答案为：3．
9．如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别为AB，AD边上任意一点，现将△AEF沿直线EF对折，点A对应点为点G．

(1)如图2，当EFBD，且点G落在对角线BD上时，求线段EF的长；

(2)如图3，连接DG，当EFBD且点D，G，E三点共线时，求线段AE的长；

(3)当AE＝2AF时，FG的延长线交△BCD的边于点H，是否存在一点H，使得以E，H，G为顶点的三角形与△AEF相似，若存在，请求出线段AE的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)5；(2)；(3)3或或或
【解析】（1）解：如图，连接AG，

由折叠性质得AG⊥EF，
∵EFBD，
∴AG⊥BD，
在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，
∴∠DAB=90°，AD=BC=6，
∴DB==10，
∵△GEF是由△AEF沿直线EF对折而成，
∴△GEF≌△AEF，
∴EF为AG中垂线，
∵EFBD，
∴EF=BD=5；
（2）
解：∵点D，G，E三点共线，
∴∠DGF=90°，
设AF=3t，则FG=3t，AE=4t，DF=6-3t，
在Rt△DFG中，，即=36-36t，
∵tan∠FDG=，
∴，
∴t=，
∴AE=；
（3）
解：①当△AEF∽△GHE时，如图，过点H作HP⊥AB于P，

∵∠AEF=∠FEG=∠EHG，∠EHG+∠HEG=90°，
∴∠FEG+∠HEG=90°，
∴∠A=∠FEH=90°，
∴△AEF∽△EHF，
∴EF：HE=AF：AE=1：2，
∵∠A=∠HPE=90°，
∴∠AEF+∠HEP=90°，∠HEP+∠EHP=90°，
∴∠AEF=∠EHP，
∴△AEF∽△HPE，
∴AE：HP=EF：EH=1：2，
∴HP=6，
∴AE=3；
②当△AEF∽△GHE时，如图，过点H作HP⊥AB于P，

同理可得EF：HE=1：2，EA：HP=1：2，
设AF=t，则AE=2t，EP=2t，HP=4t，BP=8-4t，
∵△BHP∽△BDA，
∴4t：6=（8-4t）：8，
∴t=，
∴AE=；
③当△AEF∽△GEH时，如图，过点G作MNAB交AD于点M，过点E作EN⊥MN于N，

设AF=t，则AE=2t，DF=6-t，
由折叠可知，△AEF≌△GEF，
∴AE=GE，
∵△AEF∽△GEH，AE=GE，
∴△AEF≌△GEH（AAS），
∴FG=GH，
∵MGDH，
∴FM=（6-t），
∴AN=EN=AF+FM=，
∵△FMG∽△GNE，GF：GE=1：2，
∴MG=NE=AM=，GH=2FN=6-t，
∵MN=AE，
∴+6-t=2t，
∴t=，
∴AE=；
④当△AEF∽△GEH时，如图，过点G作MNAB交AD于点M，过点E作EN⊥MN于N，过点H作HQ⊥AD于Q，

设AF=t，则AE=2t，
设FM=a，则NG=2a，NE=a+t，
∴MG=EN=AM=，
∴+2a=2t，
由上题知，MF=MQ=a，QH=2MG=a+t，
∴DQ=6-t-2a，
∵，
∴，
∴t=，
∴AE=．
综上，满足条件取线段AE的长为：3或或或．
10．如图1，四边形是矩形，点P是对角线上的一个动点（不与A、C重合），过点P作于点E，连接，已知，设．

(1)当时，求的长；
(2)如图2，连接，交于点O，若，求此时m的值？
(3)如图3，过点P作交边于点F，设，试判断的值是否发生变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)不变，16
【解析】（1）解：由已知，在Rt△ADC中，，
当AP＝m＝2时，PC＝AC﹣AP＝5﹣2＝3，
∵PE⊥CD，
∴∠PEC＝∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝∠PCE，
∴△ACD∽△PCE，
∴，
即,
∴PE＝；
（2）解：如图， BE⊥AC

∴∠BOC＝∠EOC＝90°，
∴∠BOC＝∠ABC
∵∠BCO＝∠ACB
∴△BOC∽△ACB，
∴，
即，
∴OC＝；
∵AP＝m，则PC＝5﹣m，
由（1）得：△ACD∽△PCE，
∴，
即，
∴CE＝，
∵∠EOC＝∠ADC＝90°，∠ECO＝∠ACD
∴△EOC∽△ADC，
∴， 即，
解得：m＝
（3）如图2，延长EP交AB于G，

∵BP⊥PF，
∴∠BPF＝90°，
∴∠EPF+∠BPG＝90°，
∵EG⊥AB，
∴∠PGB＝90°，
∴∠BPG+∠PBG＝90°，
∴∠PBG＝∠EPF，
∵∠PEF＝∠PGB＝90°，
∴△BPG∽△PFE，
∴，
由（1）得：△PCE∽△ACD，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴5m+4n＝16．
11．【问题探究】
（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．
①请写出AD与BD之间的位置关系：________；
②若AC=BC=，DC=CE=，求线段AD的长；
【拓展延伸】
（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=，BC=，CD=，CE=1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，直接写出线段AD的长．

【答案】（1）①垂直；②AD=4；（2）或
【详解】解：（1）①结论：AD⊥BD．
理由：∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ABC=∠DEC=45°=∠CDE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，且AC=BC，CE=CD，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC=∠BEC=45°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°，
∴AD⊥BD；
②如图，过点C作CF⊥AD于点F，

∵∠ADC=45°，CF⊥AD，CD=，
∴DF=CF=1，
∴AF==3，
∴AD=AF+DF=4；
（2）若点D在BC右侧，
如图，过点C作CF⊥AD于点F，

∵∠ACB=∠DCE=90°，AC=，BC=，CD=，CE=1．
∴∠ACD=∠BCE，，
∴△ACD∽△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵CD=，CE=1，
∴DE==2，
∵∠ADC=∠BEC，∠DCE=∠CFD=90°，
∴△DCE∽△CFD，
∴，
即，
∴CF=，DF=，
∴AF=，
∴AD=DF+AF=3，
若点D在BC左侧，

∵∠ACB=∠DCE=90°，AC=，BC=，CD=，CE=1．
∴∠ACD=∠BCE，，
∴△ACD∽△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∴∠CED=∠CDF，
∵CD=，CE=1，
∴DE==2，
∵∠CED=∠CDF，∠DCE=∠CFD=90°，
∴△DCE∽△CFD，
∴，
即，∴CF=，DF=，  
∴AF=，∴AD=AF-DF=2．
综上所述，满足条件的AD的值为3或2．
12．[问题背景]
(1)如图①，已知，求证：．

[尝试应用]
(2)如图②，在和中，，，与相交于点，点在边上，，求①______．②的值．

[拓展延伸]
(3)如图③，是内一点，，，，，直接写出的长______．

【答案】(1)证明见解析；(2)①；②3；(3)
【解析】（1）证明：∵△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，，∴△ABD∽△ACE；
（2）解：①如图1，连接EC，

∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，∴△ABC∽△ADE，
由（1）知△ABD∽△ACE，
∴；
②∵△ABD∽△ACE，
∴，∠ACE=∠ABD=∠ADE，
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，∴，∴．
∵∠ADF=∠ECF，∠AFD=∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴．
（3）解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，

∵∠BAD=30°，
∴∠DAM=60°，
∴∠AMD=30°，
∴∠AMD=∠DBC，
又∵∠ADM=∠BDC=90°，
∴△BDC∽△MDA，
∴，
又∠BDC=∠MDA，
∴∠BDC+∠CDM=∠ADM+∠CDM，
即∠BDM=∠CDA，
∴△BDM∽△CDA，
∴，
∵AC=2，
∴BM=2×=6，
∴在Rt△ABM中，AM=，
∴AD=AM=．
13．如图1，在矩形中，P为边上一点．M在上，且，过点B作交于点N．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)求证：；
(3)如图2，连接，分别交，于点E，F，若，，求的值．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)
【解析】（1）证明：在矩形ABCD中，，
∴∠BPC=∠PBM．
∵，
∴四边形PMBN是平行四边形．
∵∠APB=90°，
∴∠APM+∠BPM=90°，∠APD+∠BPC=90°．
∵∠APM=∠APD，
∴∠BPM=∠BPC．
∵∠BPC=∠PBM，
∴∠BPM=∠PBM，
∴MP=MB，
∴平行四边形PMBN是菱形；
（2）证明：在矩形ABCD中，∠D=∠C=90°，
∴∠APD+∠DAP=90°，
∵∠APD+∠BPC=90°，
∴∠DAP=∠BPC，
∴△ADP∽△PCB，
∴，
∴；
（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=2．
由（2）得，即，
∴PC=4．
在矩形ABCD中，，
∴∠APD=∠PAM．
∵∠APM=∠APD，
∴∠PAM=∠APM，
∴AM=MP．
由（1）得MP=MB，
∴AM=MB=．
∵，
∴∠PCA=∠CAB．
∵∠PFC=∠BFA，
∴△PCF∽△BAF，
∴，
∴CF=．
同理可证△PCE∽△MAE，
∴，
∴AE=．
∴EF=AC-CF-AE=，
∴．
14．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，D为BC边上的一点．过点D作射线DE⊥DF，分别交边AB，AC于点E，F．


(1)当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，如图①，______．
(2)①若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图②位置时，______．
②若改变点D的位置，且时，求的值，请就图③的情形写出解答过程．
(3)如图③连接EF，当BD＝______时，△DEF与△ABC相似．
【答案】(1)；(2)①；②，解答过程见解析；(3)或
【解析】（1）解：，，，
，，
点是的中点，
、是的中位线，
，，
，
故答案为：3；
（2）①过点作于点，于点，如图2所示：

则，
四边形是矩形，
，即，
，
，即，
，
，
，
同（1）得：，
，
故答案为：3；
②过点作于点，于点，如图3所示：

，
四边形是矩形，
，，，，
，
，，
，，
，，
，，
，，
与①同理得：，
；
（3）如图所示：

在中，由勾股定理得：，
，
与相似分两种情况：
①，则，即，整理得：，，
；
②，则，即，整理得：，
，；
综上所述，当或时，与相似；故答案为：或．

15．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，过点C做射线CN⊥BC于点C，点E是射线BM上的一个动点，连接AE，过点E作ED⊥AE，在射线ED上找一点F，使得EF=AE，连接CF，AF，AF交射线CN于点G，连接EG．

(1)如图1，当BE=3时，△ABE的周长= ．
(2)如图1，当点E在线段BC上时，求证：CF平分∠NCM．
(3)如图2，当BE=6时，求EG的长．
【答案】(1)12；(2)见详解；(3)5.2
【解析】（1）解：如图1，当BE=3时，
∵∠B=90°，AB= 4，
∴在Rt△ABE中，由勾股定理可得，
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=4+3+5=12．
故答案为：12；
（2）如下图，过点F作于点H，则，

∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，，
∴，  
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴CF平分；
（3）当BE=6时，，
如下图，过点A作于点J，交CN于点K，作于点N，

由（1）可知，
∴，
∵，，，，，
∴四边形ABHJ、四边形FNKJ、四边形JKCH以及四边形ABCK均为矩形，
∴，，，
，，
∵，，∴，
∴，  
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
在中，，
即EG的长为5.2．