数学第一章 勾股定理1 探索勾股定理练习题

专题1.1  探索勾股定理

（专项训练）

1．（2020春•东城区校级期末）若三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（　　）

A．6 B．36 C．64 D．8

2．（2020秋•宝安区期末）若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为（　　）

A．10 B． C．10或 D．14

3．（2021春•祁阳县期末）如图，∠C＝90°，AD＝13，BC＝3，CD＝4．若∠ABD＝90°，则AB的长为（　　）

A．10 B．13 C．8 D．12

4．（2021•榆阳区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D，则CD的长是（　　）

A．5 B．7 C． D．

5．（2021秋•朝阳区校级月考）如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为25cm2，直角三角形①中较长的直角边长12cm，则直角三角形 ①的面积是（　　）

A．16cm2 B．25cm2 C．30cm2 D．169cm2

6．（2021秋•和平区期末）如图，分别以此直角三角形的三边为直径在三角形外部画半圆，若S1＝9π，S2＝16π，则S3＝　  　．

7．（2021秋•紫金县期中）如图，在△ABC中，∠ADC＝∠BDC＝90°，AC＝20，BC＝15，BD＝9，求AD的长．

8．下面图形能够验证勾股定理的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

9．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　）

A． B． 

C． D．

10．（2021秋•深圳期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（　　）

A．14 B．13 C．14 D．14

11．（2021秋•文登区期中）如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案．已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正确的是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④

12．（2021春•海淀区校级期末）勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D、E、F、G、H、I 都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（　　）

A．90 B．100 C．110 D．121

13．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为　     ．

14．【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．

【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．

【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．

求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．

专题1.1  探索勾股定理（专项训练）

1．（2020春•东城区校级期末）若三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（　　）

A．6 B．36 C．64 D．8

【答案】B

【解答】解：面积为100的正方形的边长为10，面积为64的正方形的边长为8，

由勾股定理得，正方形A的边长＝＝6，

∴正方形A的面积为36，

故选：B．

2．（2020秋•宝安区期末）若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为（　　）

A．10 B． C．10或 D．14

【答案】C

【解答】解：设第三边为x，

①当8是斜边，则62+x2＝82，

②当8是直角边，则62+82＝x2解得x＝10，

解得x＝2 ．

∴第三边长为10或2．

故选：C．

3．（2021春•祁阳县期末）如图，∠C＝90°，AD＝13，BC＝3，CD＝4．若∠ABD＝90°，则AB的长为（　　）

A．10 B．13 C．8 D．12

【答案】D

【解答】解：在Rt△BCD中，BC＝3，CD＝4，

根据勾股定理，得BD＝＝5．

在Rt△ABD中，AD＝13，BD＝5

根据勾股定理，得AD＝＝12．

故选：D．

4．（2021•榆阳区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D，则CD的长是（　　）

A．5 B．7 C． D．

【答案】C

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，

∴AB＝＝5，

∵×AC×BC＝×CD×AB，

∴×3×4＝×5×CD，

解得CD＝．

故选：C

5．（2021秋•朝阳区校级月考）如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为25cm2，直角三角形①中较长的直角边长12cm，则直角三角形 ①的面积是（　　）

A．16cm2 B．25cm2 C．30cm2 D．169cm2

【答案】C

【解答】解：∵两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方，

∴直角三角形①中较短的直角边长5cm，

∵直角三角形①中较长的直角边长12cm，

∴直角三角形 ①的面积＝（cm2），

故选：C．

6．（2021秋•和平区期末）如图，分别以此直角三角形的三边为直径在三角形外部画半圆，若S1＝9π，S2＝16π，则S3＝　  　．

【答案】25π

【解答】解：设面积为S1的半圆的直径为a，面积为S2的半圆的直径为b，面积为S3的半圆的直径为c，

由勾股定理得：a2+b2＝c2，

由题意得：×π×（）2＝9π，×π×（）2＝16π，

则a2＝72，b2＝128，

∴c2＝200，

∴S3＝×π×（）2＝25π，

故答案为：25π．

7．（2021秋•紫金县期中）如图，在△ABC中，∠ADC＝∠BDC＝90°，AC＝20，BC＝15，BD＝9，求AD的长．

【解答】解：在Rt△BDC中，由勾股定理得：

CD＝＝＝12，

在Rt△ACB中，由勾股定理得：

AD＝＝＝16．

8．下面图形能够验证勾股定理的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】A

【解答】解：第一个图形：中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4×ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理．

第二个图形：中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×ab；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理．

第三个图形：梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理．

第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积＝两个直角三角形的面积的和，即（b﹣）（a+）＝ab+cc，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理，

∴能够验证勾股定理的有4个．

故选：A．

9．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】D

【解答】解：在A选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，

∴，

整理可得a2+b2＝c2，

∴A选项可以证明勾股定理，

在B选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，

∴，

整理得a2+b2＝c2，

∴B选项可以证明勾股定理，

在C选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，

∴，

整理得a2+b2＝c2，

∴C选项可以说明勾股定理，

在D选项中，大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，

∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，

以上公式为完全平方公式，

∴D选项不能说明勾股定理，

故选：D．

10．（2021秋•深圳期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（　　）

A．14 B．13 C．14 D．14

【答案】D

【解答】解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，

小正方形的边长＝24﹣10＝14，

∴EF＝＝14．

故选：D．

11．（2021秋•文登区期中）如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案．已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正确的是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④

【答案】D

【解答】解：由题意可得小正方形的边长＝1，大正方形的边长＝5，

∴a2+b2＝斜边2＝大正方形的面积＝25，

故①正确；

∵小正方形的边长为1，

∴a﹣b＝1，

故②正确；

∵小正方形的面积+四个直角三角形的面积等于大正方形的面积，

∴1+2ab＝25，

∴ab＝12，

故③正确；

根据③可得2ab＝24，

∴（a+b）2＝a2+b2+24＝25+24＝49，

∴a+b＝7，

故④正确．

综上可得①②③④正确．

故选：D．

12．（2021春•海淀区校级期末）勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D、E、F、G、H、I 都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（　　）

A．90 B．100 C．110 D．121

【答案】C

【解答】解：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，如图所示：

则四边形OALP是矩形．

∵∠CBF＝90°，

∴∠ABC+∠OBF＝90°，

又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，

∴∠OBF＝∠ACB，

在△OBF和△ACB中，

，

∴△OBF≌△ACB（AAS），

∴AC＝OB，

同理：△ACB≌△PGC，

∴PC＝AB，

∴OA＝AP，

∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+AC＝3+4＝7，

∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，

∴长方形KLMJ的面积为10×11＝110．

故选：C．

13．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为　     ．

【答案】79

【解答】解：由图可知，（b﹣a）2＝5，

4×ab＝42﹣5＝37，

∴2ab＝37，

（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝5+2×37＝79．

故答案为79．

14．【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．

【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．

【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．

求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．

【解答】证明：【尝试探究】梯形的面积为S＝（a+b）（b+a）＝ab+（a2+b2），

利用分割法，梯形的面积为S＝△ABC+S△ABE+SADE＝ab+c2+ab＝ab+c2，

∴ab+（a2+b2）＝ab+c2，

∴a2+b2＝c2；

【定理应用】∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2，

∴a2c2+a2b2＝c4﹣b4．