2022-2023学年山东省青岛市黄岛区、胶州市、平度市、西海岸新区九年级上学期期中数学试题(解析版)

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2022-2023学年山东省青岛市黄岛区、胶州市、平度市、西海岸新区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 方程x2 ＝ 2x解是（ ）A. x＝2 B. ，＝ 0 C. ＝2，＝0 D. x ＝ 0【答案】C【解析】【分析】先移项得到x2－2x＝0，再把方程左边进行因式分解得到x（x－2）＝0，方程转化为两个一元一次方程：x＝0或x－2＝0，即可得到原方程的解为x1＝0，x2＝2．【详解】解：∵x2－2x＝0，∴x（x－2）＝0，∴x＝0或x－2＝0，∴＝2，＝0．故选：C．2. 对角线长为4cm的正方形其边长为（　　）A. 2cm B. cm C. 4cm D. cm【答案】B【解析】【分析】根据正方形性质可知：正方形的一条对角线即为内角平分线，对角线和正方形的两条相邻的边构成等腰直角三角形，根据勾股定理可知正方形的边长．【详解】解：设这个正方形的边长为x cm，则，解可得cm；则它的边长是cm；故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，理解对角线长，边长之间的关系是解题关键．3. 四条线段a，b，c，d成比例，其中，则线段c的长为（　　）A. 1cm B. 4cm C. 9cm D. 12cm【答案】B【解析】【分析】根据成比例线段的定义得到，据此求解即可【详解】解：∵四条线段a，b，c，d成比例，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了成比例线段，正确理解题意得到是解题的关键．4. 某市初中学业水平实验操作考试，要求九年级的每名学生从物理，化学两个学科中随机抽取一科参加测试，小敏和小慧都抽到化学学科的概率是（　　）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意画出树状图，然后利用概率的计算公式计算概率即可．【详解】解：根据题意画出树状图，如图所示：∵共有4种等可能的情况，其中小敏和小慧都抽到化学学科的情况数只有1种，∴小敏和小慧都抽到化学学科的概率为，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格．5. 某工厂1月份生产机器150台，计划2，3月份共生产396台，设2，3月份生产量的月平均增长率为x，则根据题意列出的方程为（　　）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设2，3月份生产量的月平均增长率为x，则2月份生产机器台，3月份生产机器台，据此列出方程即可．【详解】解：设2，3月份生产量的月平均增长率为x，由题意得，故选C．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意分别表示出2、3月生产机器的数量是解题的关键．6. 将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有（　　）A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组【答案】C【解析】【分析】根据相似多边形的判定条件求解即可．【详解】解：∵等边三角形，正方形，菱形的边长都相等，∴经过平移后，等边三角形，正方形，菱形的对应边成比例，对应角相等，∴等边三角形，正方形，菱形变化前后的两个多边形一定相似，矩形变化前后虽然对应角相等，但是对应边不一定成比例，即矩形变化前后两个多边形不一定相似，∴变化前后的两个多边形一定相似的有3组，故选C．【点睛】本题主要考查了相似图形的判定，熟知对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似是解题的关键．7. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，在其中一张纸条转动的过程中，下列结论一定成立的是（　　）A. B. 四边形面积不变C. D. 四边形周长不变【答案】A【解析】【分析】两张等宽的纸条的宽为h，根据题意可得，从而得到四边形是平行四边形，再由，可得，进而得到四边形是菱形，即可．【详解】解∶ 设两张等宽的纸条的宽为h，∵纸条的对边平行，∴，∴四边形是平行四边形，又∵，∴，∴四边形是菱形，∴，故A选项正确，符合题意，C选项错误，不符合题意；∵在旋转的过程中，在变化，∴四边形面积和周长也在变化，故B、D选项错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，面积法等知识，学握菱形的性质是解题的关键．8. 一个钢筋三脚架三边长分别为，现在要做一个和它相似的钢筋三脚架，而只有长为和的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（　　）A. 一种 B. 两种C. 三种 D. 四种或四种以上【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形对应边成比例，列方程即可解答．【详解】解：由相似三角形对应边成比例得，只能将长的作为一边，将长的截成两段，设从的钢筋上载下的两段分别长，当长的边对应长的边时，，解得：，此时， 所以此截法不可行；当长的边对应长的边时，，解得：，此时， 所以此截法可行；当长的边对应长的边时，，解得：，此时，所以此截法可行，综上所述，截法有两种，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题时，只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出等式，求解即可得出另一边的长度．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9. 已知，（b+d≠0），则＝_____．【答案】【解析】【分析】根据等比性质，可知═3．【详解】根据等比性质，∵，∴＝．故答案为．【点睛】本题考查等比性质，解题的关键是掌握等比性质.10. 若一元二次方程的两个根是，则的值是____．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵一元二次方程的两个根是，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若是关于的一元二次的两根，则．11. 比值为（约为0.618）的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比，电视机屏幕的宽与长之比就非常接近这个比例．如果某款电视机屏幕的长为90厘米，则其宽约为____厘米．（精确到1厘米）【答案】56【解析】【分析】根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．【详解】解：∵电视机屏幕宽与长之比非常接近黄金分割比，∴宽≈（cm），∴其宽约为56厘米，故答案为：56．【点睛】本题考查了黄金分割，近似数和有效数字，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．12. 如图，将一个边长为10cm的正方形活动据架（边框粗细忽略不计）拉动成四边形ABCD，若∠BAD＝60°，则AC＝____cm．【答案】【解析】【分析】作交于点E，的延长线于点F，连接，根据已知条件利用三角函数求出与的长，再根据勾股定理求得的长．【详解】解：如图，作交于点E，的延长线于点F，连接，∵cm， ，∴ ， ，在中， ，∴ ．故答案为 ．【点睛】本题考查了三角函数与勾股定理，解题关键是构造直角三角形．13. 某种服装，平均每天可销售30件，每件赢利40元，网查发现，若每件降价1元，则每天可多售6件，如果每天要赢利2100元，每件应降价多少元？设该服装每件降价x元，根据题意可列方程____．【答案】【解析】【分析】利用总利润=每件盈利×日销售量，即可得出关于x一元二次方程即可．【详解】解：设每件应降价x元，依题意得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14. 如图，在矩形中，点E，点F分别是边和边的中点，于点M，连接，下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有____．（只填写序号即可）【答案】①③④【解析】【分析】根据矩形的性质得到，，得，得，便可判断①；根据不同底，等高的三角形的面积比等于底边之比，得出的面积与的面积关系，便可判断②；由同角的余角相等即可证明，根据有两个角对应相等的两个三角形相似得，便可判断③；证明，，得四边形是平行四边形，得，证明，进而得垂直平分，得，便可判断④．【详解】解：∵于点M，∴连接,三点共线，在矩形中：,，∴，∴，∵点E是AD边的中点，∴，∴，∴，故①正确；∵，∴，∴，∴，故②错误；∵，∴，∴，在矩形中，∴，故③正确；设与的交点为点，在矩形中，，，∵，分别是，的中点，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴垂直平分，∴，故④正确；故答案为：①③④．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，线段垂直平分线的判定与性质，灵活运用以上知识点是解题的关键．三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15. 已知：线段，直线及直线外一点．求作：矩形，使得边在直线上，垂足为，对角线的长度为．【答案】见解析【解析】【分析】过点作的垂线，垂足为点，再以点为圆心，为半径画弧交直线于点，然后分别以点为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，则四边形满足条件．【详解】解：如图，矩形为所作．【点睛】本题考查了矩形的判定，作垂线，作线段等于已知线段，掌握基本作图以及矩形的性质是解题的关键．四、解答题（本大题共8小题，共74分）16. （1）解方程：（配方法）；（2）解方程：；（3）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的a，b的值，并求出此时方程的根．【答案】（1）；（2）；（3）取，．【解析】【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）先将已知方程转化为一般式方程，然后再利用配方法求解即可；（3）由根的判别式，可得，然后取，再解出方程，即可得出结论．【详解】解：（1）∴，∴，∴，解得：；（2）整理得：，∴ ，∴，即，解得：；（3）∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，解得：，取，此时方程为，解得：．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，一元二次方程根的判别式．17. 如图，在矩形中，两条对角线与相交于点O，，求与的长．【答案】，，【解析】【分析】根据矩形的性质可得，再由勾股定理可得，即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．18. 如图所示为某商场的一个可以自由转动的转盘，商场规定顾客购物满100元即可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品，如表是活动进行中的统计数据：根据以上信息，解析下列问题：（1）请估计转动该转盘一次，获得纸巾的概率是＿＿＿＿；（精确到0.1）（2）现有若干个除颜色外都相同的白球和黑球，根据（1）的结论，在保证获得纸巾和免洗洗手液概率不变的情况下，请你设计一个可行的摸球抽奖规则，详细说明步骤；（3）小明和小亮都购买了超过100元的商品，均获得一次转动转盘的机会，根据（2）中设计的规则，利用画树状图或列表的方法求两人都获得纸巾的概率．【答案】（1）0.6 （2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率进行求解即可；（2）根据（1）所求可知摸到纸巾和摸到洗手液的概率，设计一个摸球规则使得摸到白球的概率为0.6（摸到白球送纸巾），黑球的概率为0.4（摸到黑球送洗手液）即可；（3）先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到恰好都获得纸巾的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【小问1详解】解：由题意得估计转动该转盘一次，获得纸巾的概率是，故答案为：0.6；【小问2详解】解：由（1）获得纸巾的概率为0.6，则获得洗手液的概率为0.4，∴可设置如下摸球规则：把2个黑球和3个白球放入一个不透明箱子中（5个球除了颜色不同外其他都相同），顾客购物满100元即可获得一次抽奖机会，抽到白球时，奖品为纸巾，抽到黑球时奖品为洗手液；【小问3详解】解：画树状图如下：由树状图可知一共有25种等可能性的结果数，其中两人都获得纸巾的结果数有9种，∴两人都获得纸巾的概率为；【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，树状图或列表法求解概率，熟知概率的相关知识是解题的关键．19. 数学思想方法作为数学学科的一般原理，在数学学习中至关重要．我们经常运用类比，转化，从特殊到一般等思想方法来解决一些数学问题．如图①，在平行四边形中，点是边的中点，点是线段上一点，的延长线交于点．若，求的值． 　【尝试探究】在图①中，过点作交于点，则的值为＿＿＿＿，的值为＿＿，的值为＿＿＿＿．【类比延伸】如图②，在原题的条件下，若，则的值为＿＿＿＿（用含的代数式表示）．【拓展迁移】如图③，若点在线段的延长线上，的延长线交的延长线于点，，则的值为＿＿＿＿（用含的代数式表示）．【答案】（1）5，2，；（2）；（3）【解析】【分析】（1）过点作交于点，根据相似三角形的性质和平行四边形的性质以及三角形中位线定理即可得到结论；（2）根据（1）的方法即可求解；（3）根据（1）的方法求解即可．【详解】解：（1）如图①，过点作交于点，∵，∴∴，∴，∵，∴，又∵点是边的中点，∴为的中位线，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，故答案为：，；（2）如图②，过点作交于点，∵，∴∴∴，∵，∴，又∵点是边的中点，∴为的中位线，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，，故答案为：；（3）如图③，过点作交于点，∵，∴∴∴，∵，∴，又∵点是边的中点，∴为的中位线，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，中位线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形．20. 光明中学准备在校园里利用围墙（墙长15m）和42m长的篱笆墙围建劳动实践基地．该校某数学兴趣小组设计了如下的围建方案（除围墙外，实线部分均为篱笆墙，且不浪费篱笆墙）：利用围墙和篱笆围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地，且在Ⅱ区中留一个宽度m的水池．已知，劳动基地的总面积（不包含水池）为60，则的长是多少？【答案】米【解析】【分析】设，则，，结合题意，劳动基地的总面积（不包含水池）为，列出一元二次方程，解方程即可得到答案．【详解】解：根据题意，设，则，∴，∵劳动基地的总面积（不包含水池）为60，∴，整理得：，解得：或；∵，∴；∴；∴的长是米；【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21. 如图，在中，相交于点O，E，F分别是的中点．（1）求证：；（2）连接，已知＿＿＿＿（从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．条件①：；条件②：．（注：如果选择条件①条件②分别进行解容，按第一个解答计分）【答案】（1）见解析 （2）选条件①：四边形是矩形，理由见解析；选条件②：四边形是菱形，理由见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，从而得到，可证得，即可；（2）先证得四边形是平行四边形，选条件①：可得，从而得到四边形是矩形；选条件②：可得四边形是菱形，从而得到，进而得到四边形是菱形．【小问1详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵E，F分别是的中点，∴，∵，∴，∴；【小问2详解】解∶由（1）得：，，∴四边形是平行四边形，选条件①：四边形是矩形，理由如下：∵， ，∴，即，∵，∴，∵四边形是平行四边形，∴四边形是矩形；选条件②：四边形是菱形，理由如下：∵四边形是平行四边形，，∴四边形是菱形，∴，∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形和菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定和性质，矩形和菱形的判定定理是解题的关键．22. 小睿在做数学练习时，遇到下面的题目．小睿的计算结果与参考答案不同，因此她对参考容案产生了质疑，下面是她分析、探究的过程，请你补充完整．第一步，读题，并标记题目条件如下：在中，D为边上一点，①，②；③，④，⑤的周长为5．第二步，根据条件③④⑤，可以求得＿＿＿＿；第三步，做出，如图（2）所示；第四步，根据条件①，在图（2）中作出（尺规作图，保留作图痕迹）；第五步，对所作图形进行观察、测量，发现与标记的条件＿＿＿＿不符（填序号），去掉这个条件，题目其他部分保持不变，则的长为＿＿＿＿．【答案】2，②，4【解析】【分析】在图（2）中作出，然后对所作图形进行观察、测量，发现与标记的条件②不符，然后去掉矛盾的条件后，设于点Q，过点B作于点T，可证得，即可求解．【详解】解：第一步，读题，并标记题目条件如下：在中，D为边上一点，①，②；③，④，⑤的周长为5．第二步，根据条件③④⑤，可以求得；第三步，做出，如图（2）所示；第四步，根据条件①，在图（2）中作出，第五步，对所作图形进行观察、测量，发现与标记的条件②不符（填序号），设于点Q，过点B作于点T，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，∴．故答案为：2，②，4【点睛】本题考查尺规作图——垂直平分线，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题关键是理解题意，学会构造相似三角形解决问题．23. 如图，在中，，cm，cm，点M从点A出发，沿折线→以2cm/s速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿方向以1cm/s的速度向点A运动，点M到达点C时，点M，D同时停止运动，当点M不与A，C重合时，作点M关于直线的对称点N，连接交于点E，连接，．设运动时间为t（s）（），请解答下列问题：（1）当t为何值时，？（2）点M在线段上运动时，是否存在某一时划t使得∽？若存在，请求出此刻的t值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，为直角三角形？【答案】（1）时，； （2）时，∽； （3）或时，为直角三角形．【解析】【分析】（1）当时，得∽，则，代入计算即可；（2）当∽时，得，代入计算即可；（3）分点M在上或点M在上，由轴对称性知，是等腰三角形，从而点D为直角顶点，利用三角函数表示出和的长，进而解决问题．【小问1详解】解：Rt中，由勾股定理得，，当时，∴∽，∴，∴，解得，∴时，；【小问2详解】解：当∽时，∴，∴，解得，∴时，∽；【小问3详解】解：当点M在上时，如图，设与交于点H，∵点M关于直线的对称点N，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，解得，当点M在上时，同理可得，则，∵，，∴，，∴，解得，综上：或时，为直角三角形．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角函数等知识，熟练利用三角函数表示线段的长是解题的关键．转动转盘的次数50100200500800100020005000落在“纸巾”区的次数227110931247361211933004题目：如图（1），在中，D为边上一点，，若的周长为5，求的长．小睿：“该题目的已知条件存在自相矛盾的地方，若去掉矛盾的条件后，便可求出的长．”老师：“质疑是开启创新之门的钥匙！”