广东省深圳市深圳高级中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题

深圳高级中学（集团）2021-2022学年第一学期期末考试高一数学

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1 已知集合，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】解一元二次不等式求出集合，解不等式求出集合，再进行交集运算即可求解.

【详解】因为，

，

所以，

故选：C.

2. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意知原命题为假命题，故命题的否定为真命题，再利用，即可得到答案.

【详解】由题意可得“”是真命题，故或.

故选：A.

3. “”是“”的（　　）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】化简不等式，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.

【详解】解不等式得：或，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

4. 已知函数（，且）的图象恒过点P，若角的终边经过点P，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题可得点，再利用三角函数的定义即求.

【详解】令，则，

所以函数（，且）的图象恒过点，

又角的终边经过点，

所以，

故选：A.

5. 设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据正切函数，指数函数，对数函数性质估计的大小，由此确定它们的大小关系.

【详解】∵是第二象限角，

∴，

∵ 指数函数在上为减函数，且，

∴，

∴ ，

∵为上的增函数，

∴，

∴

故选：B.

6. 设正实数满足，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据基本不等式可求得最值.

【详解】由基本不等式可得，

即，

解得，

当且仅当，即，时，取等号，

故选：C.

7. 函数的部分图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定函数探讨其对称性可排除选项A，B；再由时的函数值符号即可判断作答.

【详解】函数定义域为，其 图象可由函数的图象右移3个单位而得，

而，即函数是奇函数，其图象关于原点对称，

因此，函数图象关于点对称，选项A，B不满足；

又当时，，，即有，则当时，图象x轴上方，D不满足，

所以函数的部分图象大致为C.

故选：C

8. 生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的，则可推断该文物属于（    ）

参考数据：

参考时间轴：

A. 宋 B. 唐 C. 汉 D. 战国

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件可得函数关系，取即可计算得解.

【详解】依题意，当时，，而与死亡年数之间的函数关系式为，

则有，解得，于是得，

当时，，于是得：，解得，

由得，对应朝代为战国，

所以可推断该文物属于战国.

故选：D

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9. 下列四个命题，其中为假命题的是(    )

A. 若函数f(x)在上是增函数，在上也是增函数，则f(x)是增函数

B. y＝x＋1和表示同一函数

C. 函数的单调递增区间是

D. 若函数值域是，则实数a＝0或

【答案】ABC

【解析】

【分析】A：根据单调性的定义即可判断；

B：同一函数，定义域相同，对应关系相同；

C：对数型复合函数单调性根据“同增异减”原则在定义域内进行研究；

D：根据开口向上的二次函数的值域计算方法求出参数a即可.

【详解】A中，如在上是增函数，在上也是增函数，但不能说为增函数，故A是假命题；

B中，与的对应关系不同，故B是假命题；

C中，，

在单调递减，

在单调递增，在单调递减，

所以在单调递增，故C为假命题；

D中，若函数的值域是，，

则，解得或，故D是真命题，

故选：ABC．

10. 函数s=f（t）的图象如图所示（图象与t正半轴无限接近，但永不相交），则下列说法正确的是（    ）

A. 函数s=f（t）的定义城为[-3，-1]∪[0，+∞）

B. 函数s=f（t）的值域为（0，5]

C. 当s∈[2，4]时，有三个不同的t值与之对应

D. 当时，

【答案】ABD

【解析】

【分析】直接由函数定义域和值域对应关系可判断，结合单调性定义可判断D.

【详解】由函数图象可知，函数s=f（t）的定义域为[-3，-1]∪[0，+∞），值域为（0，5]，故AB正确；

当时，有三个不同的t值与之对应，当时，有两个不同的t值与之对应，故C错；

因为函数s=f（t）在上单调递增，

所以当时，，故D正确；

故选：ABD

11. 设函数，则在下列区间中函数存在零点的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】结合图象，再计算端点处的函数值，根据零点存在定理可判断每个选项的正误.

【详解】 ,

由于 ，故 ，所以 ，故在上存在零点，

，由于 ，，

故在 上存在零点，也在上存在零点，

取 ，则，

而，故在上存在零点，

作出函数 的图象，如图：

由于  ，，

结合图象可知在上没有零点，

故选：BCD

【点睛】

12. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 函数为偶函数

B.

C. 若，则的最小值为

D. 函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

【答案】AC

【解析】

【分析】A选项，化简得到，判断出偶函数；B选项，代入求解即可；C选项，结合最大值为1，最小值为及题干条件得到，或，进而得到的最小值为；D选项，平移变换得到函数解析式.

【详解】，为偶函数，A正确；

，B错误；

最大值为1，最小值为，又，所以，或，

当时，，，，，故，，的最小值为；

同理当时，的最小值为；综上：的最小值为，C正确；

函数的图象向右平移个单位长度得到函数，D错误；

故选：AC

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 的值为_______

【答案】

【解析】

【分析】直接按照诱导公式转化计算即可．

【详解】tan300°=tan（300°﹣360°）=tan（﹣60°）=﹣tan60°=

故答案为：

【点睛】本题考查诱导公式的应用：求值．一般采用“大角化小角，负角化正角”的思路进行转化．

14. 若函数，则______．

【答案】##0.5

【解析】

【分析】首先计算，从而得到，即可得到答案.

【详解】因为，

所以.

故答案为：

15. 已知，则___________.

【答案】##-0.28

【解析】

【分析】利用诱导公式变形，再借助二倍角的余弦公式计算作答.

【详解】因为，则

.

故答案为：.

16. 设当时，函数取得最大值，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据最值情况可得解.

【详解】由辅助角公式可知，，，，

当，时取最大值，

即，

，

故答案为.

四､解答题：共70分，其中第17题10分，其余题目每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 计算：

（1）；

（2）.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算即可；

（2）利用对数的运算性质计算即可.

【小问1详解】

原式；

【小问2详解】

原式

18. 已知为第三象限角，且.

（1）化简；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；   

（2）﹒

【解析】

【分析】(1)利用三角函数的诱导公式即可化简；

(2)根据求出sinα，＝－cosα＝即可求得﹒

【小问1详解】

．

【小问2详解】

∵，∴，

又为第三象限角，∴，

∴．

19. 已知函数．

（1）求函数的最小正周期与单调增区间；

（2）求函数在上的最大值与最小值．

【答案】（1），单调增区间   

（2），

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，可得函数的最小正周期与的单调区间；

（2）利用整体法求函数的最值.

【小问1详解】

解：

，

函数的最小正周期，

令，

解得，

所以单调递增区间为

【小问2详解】

，

，

，

即，

所以，.

20. 第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.

（1）求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；

（2）2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.

【答案】（1）   

（2）当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元

【解析】

【分析】（1）由题意可知时，R=4000，代入函数中可求出，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式，

（2）分别当和求出函数的最大值，比较即可得答案

【小问1详解】

由题意知，当时，，所以a=300.

当时，；

当时，.

所以，

【小问2详解】

当时，，所以当时，W有最大值，最大值为8740；

当时，，

当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.

因为，

所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.

21. 已知函数的部分图象如图所示.

（1）求的解析式及对称中心坐标：

（2）先把图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）由最大值和最小值求得，的值，由以及可得的值，再由最高点可求得的值，即可得的解析式，由正弦函数的对称中心可得对称中心；

（2）由图象的平移变换求得的解析式，由正弦函数的性质可得的值域，令的取值为的值域，解不等式即可求解.

【小问1详解】

由题意可得：，可得，所以，

因为，所以，可得，

所以，

由可得，

因为，所以，，所以.

令可得，所以对称中心为.

【小问2详解】

由题意可得：，

当时，，，

若关于的方程有实数根，则有实根，

所以，可得：.

所以实数的取值范围为.

22. 已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围；

（3）若函数，讨论函数的零点个数.

【答案】（1）   

（2）   

（3）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意条件，分别求解的定义域和解对数不等式即可完成求解；

（2）通过题意条件，找到和两函数值域的关系，分别求解出对应的值域，通过分类讨论即可完成求解；

（3）通过题意条件，通过讨论的值，分别作出对应的函数图像，借助换元，观察函数图像的交点状况，从而完成求解.

【小问1详解】

函数，由，可得，即的定义域为；

不等式，所以

，即为，

解得，

则原不等式的解为；

【小问2详解】

函数，

若存在，使得成立，

则和在上的值域的交集不为空集；

由（1）可知：时，

显然单调递减，所以其值域为；

若，则在上单调递减，所以的值域为，

此时只需，即，所以；

若，则在递增，可得的值域为，

此时与的交集显然为空集，不满足题意；

综上，实数的范围是；

【小问3详解】

由，

得，令，则，

画出图象，

当，只有一个，对应3个零点，

当时，，

此时，

由，

得在，三个分别对应一个零点，共3个，

在时，，三个分别对应1个，1个，3个零点，共5个，

综上所述：当时，只有1个零点，

当或时，有3个零点，

当时，有5个零点.

【点睛】方法点睛：对于“存在，使得成立”，需要将其转化成两函数值域的关系，即两个函数的值域有交集，需根据函数的具体范围进行适时的分类讨论即可.