山东省泰安市东平县东原实验学校2022-2023学年七年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）(解析版)

这是一份山东省泰安市东平县东原实验学校2022-2023学年七年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）(解析版)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省泰安市东平县东原实验学校七年级第一学期第一次月考数学试卷（五四学制）
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（　　）
A．14 B．10 C．3 D．2
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（　　）
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
4．某人在平面镜里看到的时间是12：01，此时实际时间是（　　）
A．12：01 B．10：51 C．10：21 D．15：10
5．将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为（　　）

A．75° B．95° C．105° D．120°
6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
7．等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（　　）
A．16cm B．17cm C．20cm D．16cm或20cm
8．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　）

A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
9．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：5：6，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（　　）

A．BC B．CE C．AD D．AC
11．如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（　　）

A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝OD
C．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD
12．如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（　　）

A．56° B．60° C．68° D．94°
二、填空题（每题4分，共16分）
13．等腰三角形的周长为18cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边长为　 　．
14．如图，在建筑工地上，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是　 　．

15．如图，∠BAC＝30°，P是∠BAC平分线上的一点，PM∥AC，PD⊥AC，PD＝28，则AM＝　 　．

16．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为　 　．

17．如图，点B、E、F、C在同一直线上，已知∠A＝∠D，∠B＝∠C，要使△ABF≌△DCE，以“AAS”需要补充的一个条件是　 　（写出一个即可）．

18．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是　 　．

三、解答题
19．已知△ABC中，∠B﹣∠A＝50°，∠C﹣∠B＝35°，求∠A，∠B，∠C的度数．
20．已知∠α和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于2∠α，且这两内角的夹边等于a．

21．如图，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．

22．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB．
（1）说明△ADE≌△CFE；
（2）判断线段AB、CF、BD之间的数量关系，并说明理由．

23．如图，△ABC为任意三角形，以边AB、AC为边分别向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD、BE，CD、BE相交于点P．
（1）试说明：△DAC≌△BAE；
（2）求∠BPC的度数．

24．△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，试说明BM＝MN＝NC．

25．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，DC＝AE，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D
（1）求证：AC＝CB；
（2）若AC＝12cm，求BD的长．



参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
2．若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（　　）
A．14 B．10 C．3 D．2
【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断．
解：设第三边为x，
则8﹣5＜x＜5+8，即3＜x＜13，
所以符合条件的整数为10，
故选：B．
【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（　　）
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．
解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；
当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．
故选：D．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出120°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．
4．某人在平面镜里看到的时间是12：01，此时实际时间是（　　）
A．12：01 B．10：51 C．10：21 D．15：10
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
解：从镜子中看到的是12：01，则真实时间应该是将此读数倒看：10：51．
故选：B．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质；解决此类题应认真观察，注意技巧，掌握做题方法．
5．将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为（　　）

A．75° B．95° C．105° D．120°
【分析】求出∠ACO的度数，根据三角形的外角性质得到∠AOB＝∠A+∠ACO，代入即可．
解：∠ACO＝45°﹣30°＝15°，
∴∠AOB＝∠A+∠ACO＝90°+15°＝105°．
故选：C．

【点评】本题主要考查对三角形的外角性质的理解和掌握，能熟练地运用三角形的外角性质进行计算是解此题的关键．
6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABC＝2∠ABE，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后根据∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD计算即可得解．
解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE＝2×25°＝50°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
7．等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（　　）
A．16cm B．17cm C．20cm D．16cm或20cm
【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况．
解：等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，
当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm＝8cm不满足三角形的三边关系；
当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
8．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　）

A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．
解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到．
9．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：5：6，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形的内角和等于180°分别求出各小题中的最大角的度数，即可得解．
解：①∵∠A+∠B＝∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
故正确；

②∵∠A：∠B：∠C＝1：5：6，
∴最大角∠C＝180°×＝90°，
故正确；

③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
故正确；

④∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝∠C+∠C+∠C＝2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
故正确；
综上所述，是直角三角形的是①②③④共4个．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟记定理并求出各小题中最大角的度数是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（　　）

A．BC B．CE C．AD D．AC
【分析】如图连接PC，只要证明PB＝PC，即可推出PB+PE＝PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．
解：如图连接PC，

∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PE＝PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故选：B．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11．如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（　　）

A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝OD
C．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD
【分析】要得到△POC≌△POD，现有的条件为有一对角相等，一条公共边，缺少角，或着是边，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．于是答案可得．
解：A．PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO＝∠PDO＝90°，根据AAS判定定理成立，
B．OC＝OD，根据SAS判定定理成立，
C．∠OPC＝∠OPD，根据ASA判定定理成立，
D．PC＝PD，根据SSA无判定定理不成立，
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（　　）

A．56° B．60° C．68° D．94°
【分析】根据角平分线的性质和三角形的内角和定理可得．
解：∵∠A＝52°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣52°＝128°，
又∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，
∴∠ABD1＝∠CBD1＝∠ABC，∠ACD1＝∠BCD1＝∠ACB，
∴∠CBD1+∠BCD1＝（∠ABC+∠ACB）＝×128°＝64°，
∴∠BD1C＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣64°＝116°，
同理∠BD2C＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣96°＝84°，
依此类推，∠BD5C＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣124°＝56°．
故选：A．
【点评】此题主要考查角平分线的性质和三角形的内角和定理．
二、填空题（每题4分，共16分）
13．等腰三角形的周长为18cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边长为　4cm　．
【分析】分4cm为底边长、4cm为腰长两种情况，根据等腰三角形的性质、三角形的三边关系解答．
解：当4cm为底边长时，腰长为（18﹣4）÷2＝7（cm），
当4cm为腰长时，底边长为18﹣4×2＝10（cm），
∵4+4＜10，
∴当4cm为腰长时，不能组成三角形，
∴该等腰三角形的底边长为4cm，
故答案为4cm．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的三边关系，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
14．如图，在建筑工地上，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是　三角形的稳定性　．

【分析】用木条EF固定长方形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
解：加上EF后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
15．如图，∠BAC＝30°，P是∠BAC平分线上的一点，PM∥AC，PD⊥AC，PD＝28，则AM＝　56　．

【分析】过P作PE⊥AB于E，根据AP是∠BAC的角平分线，可知PD＝PE＝28，∠1＝∠2，由平行线的性质得出∠BAC＝∠4＝30°，AM＝PM，在Rt△PME中根据直角三角形的性质即可得出结论．
解：过P作PE⊥AB于E，
∵AP是∠BAC的角平分线，
∴PD＝PE＝28，∠1＝∠2，
∵PM∥AC，
∴∠2＝∠3，∠BAC＝∠4＝30°，
∴∠1＝∠3，
∴AM＝PM，
在Rt△PME中，
∵PE＝28，∠4＝30°，
∴PM＝2PE＝56，即AM＝56．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰三角形的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
16．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为　15　．

【分析】P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2，故有PM＝P1M，PN＝P2N．
解：∵P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2，
∴PM＝P1M，PN＝P2N．
∴△PMN的周长为PM+PN+MN＝MN+P1M+P2N＝P1P2＝15．
故答案为：15
【点评】本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
17．如图，点B、E、F、C在同一直线上，已知∠A＝∠D，∠B＝∠C，要使△ABF≌△DCE，以“AAS”需要补充的一个条件是　AF＝DE　（写出一个即可）．

【分析】用AAS证明△ABF≌△DCE，需要添加的条件为∠A、∠D的对边，或∠B、∠C的对边相等即可．
解：∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴要使△ABF≌△DCE，以“AAS”需要补充的一个条件是AF＝DE（或BF＝CE）．
故答案为：AF＝DE．（答案不唯一）
【点评】本题考查了全等三角形的判定，属于开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．
18．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是　180°　．

【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6＝180°，∠5+∠7+∠8＝180°，进而得出答案．
解：如图所示：
由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°，
∵三个全等三角形，
∴∠4+∠9+∠6＝180°，
又∵∠5+∠7+∠8＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．
故答案为：180°

【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
三、解答题
19．已知△ABC中，∠B﹣∠A＝50°，∠C﹣∠B＝35°，求∠A，∠B，∠C的度数．
【分析】根据三角形的内角和及题意可直接进行求解．
解：∵∠B﹣∠A＝50°，∠C﹣∠B＝35°，
∴∠A＝∠B﹣50°，∠C＝∠B+35°，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B﹣50°+∠B+∠B+35°＝180°，
∴∠B＝65°，
∴∠A＝65°﹣50°＝15°，
∠C＝65°+35°＝100°，
答：∠A＝15°，∠B＝65°，∠C＝100°．
【点评】本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
20．已知∠α和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于2∠α，且这两内角的夹边等于a．

【分析】根据尺规作图，作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于2∠α，且这两内角的夹边等于a即可．
解：如图，

三角形ABC即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，解决本题的关键是根据题意准确画图．
21．如图，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．

【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAE，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠AED，再根据直角三角形两锐角互余列式进行计算即可得解．
解：由三角形内角和定理，得∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣34°﹣104°＝42°，
又∵AE平分∠BAC．
∴∠BAE＝∠BAC＝×42°＝21°
∴∠AED＝∠B+∠BAE＝34°+21°＝55°，
又∵∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣55°＝35°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的高线以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，准确识图并熟记性质与定理是解题的关键．
22．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB．
（1）说明△ADE≌△CFE；
（2）判断线段AB、CF、BD之间的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）先由FC∥AB得∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，进而利用AAS即可证得△ADE≌CFE；
（2）由△ADE≌CFE得AD＝CF，再根据AB＝AD+BD即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵FC∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，
在△ADE与△CFE中：
∵，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
（2）解：AB＝CF+BD，理由如下：
∵△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF，
∵AB＝AD+BD，
∴AB＝CF+BD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决本题的关键．
23．如图，△ABC为任意三角形，以边AB、AC为边分别向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD、BE，CD、BE相交于点P．
（1）试说明：△DAC≌△BAE；
（2）求∠BPC的度数．

【分析】（1）由△ABD和△ACE都是等边三角形得AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，则∠DAC＝∠BAE＝60°+∠BAC，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△DAC≌△BAE；
（2）由∠ADC＝∠ABE推导出∠BPC＝∠PBD+∠PDB＝∠ABD+∠ADB，因为∠ABD＝∠ADB＝60°，所以∠BPC＝120°．
解：（1）∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE＝60°+∠BAC，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS）．
（2）由（1）得∠ADC＝∠ABE，
∴∠BPC＝∠PBD+∠PDB＝∠ABD+∠ABE+∠PDB＝∠ABD+∠ADC+∠PDB＝∠ABD+∠ADB，
∵∠ABD＝∠ADB＝60°，
∴∠BPC＝120°．
【点评】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．
24．△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，试说明BM＝MN＝NC．

【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得AM＝BM，AN＝CN，继而求得∠B＝∠BAM＝30°，∠C＝∠CAN＝30°，则可求得∠MAN的大小；根据三角形外角的性质得：∠AMN＝∠ANM＝60°，易证得△AMN是等边三角形，则可证得BM＝MN＝NC．
解：连接AM、AN，
∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵ME是AB的垂直平分线，NF是AC的垂直平分线，
∴AM＝BM，AN＝CN，
∴∠B＝∠BAM＝30°，∠C＝∠CAN＝30°，
∴∠MAN＝∠BAC﹣∠BAM﹣∠CAN＝60°；
∵∠B＝∠BAM＝30°，∠C＝∠CAN＝30°，
∴∠AMN＝∠ANM＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN＝MN，
∵AM＝BM，AN＝CN，
∴BM＝MN＝NC．

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
25．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，DC＝AE，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D
（1）求证：AC＝CB；
（2）若AC＝12cm，求BD的长．

【分析】（1）由“AAS”可证△DBC≌△ECA，可得AC＝BC；
（2）由全等三角形的性质和中线的性质可求解．
【解答】证明：（1）∵DB⊥BC，AE⊥CD，
∴∠DBC＝∠ACE＝∠AFC＝90°，
∵∠DCB+∠ACF＝90°，∠ACF+∠EAC＝90°，
∴∠DCB＝∠EAC，且DC＝AE，∠DBC＝∠ACE＝90°
∴△DBC≌△ECA（AAS）
∴AC＝BC
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BE＝BC＝AC＝6cm，
∵△DBC≌△ECA
∴DB＝CE＝6cm
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．