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2021-2022学年江苏省无锡市经开区八年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年江苏省无锡市经开区八年级（上）期末数学试卷 解析版，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省无锡市经开区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．（3分）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列实数中，无理数是（ ）
A．0 B． C．﹣ D．3.1415926
3．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．1，， C．，， D．5，6，7
4．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣4）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（3分）下列各式中，正确的是（ ）
A．±＝±4 B．＝±3 C．＝3 D．＝﹣4
6．（3分）关于函数y＝2x﹣4的图象，下列结论正确的是（ ）
A．必经过点（1，2）
B．与x轴的交点坐标为（0，﹣4）
C．过第一、三、四象限
D．可由函数y＝﹣2x的图象平移得到
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠CDE的大小为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，D，E为BC上的两个点，且AB＝BE，AC＝CD，则∠DAE的度数为（ ）
A．60° B．50° C．45° D．40°
9．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式2kx﹣b＞0的解集为（ ）
A．x＜﹣ B．x＞﹣ C．x＜3 D．x＞﹣3
10．（3分）平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（3m，﹣4m+4），一次函数y＝x+12的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，若点P在△AOB的内部，则m的取值范围为（ ）
A．m＞一1或m＜0 B．﹣3＜m＜1 C．﹣1＜m＜0 D．﹣1≤m≤1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共27分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（3分）9的算术平方根是 ．
12．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是 ．
13．（3分）已知：a、b为两个连续的整数，且a＜＜b，则a+b＝ ．
14．（3分）点M（﹣1，2）关于x轴对称点的坐标为 ．
15．（3分）点（m，n）在直线y＝3x﹣2上，则代数式2n﹣6m+1的值是 ．
16．（3分）如图，OC平分∠AOB，D、E、F分别是OC、OA、OB上的点，要使△ODE≌△ODF，可以添加的条件是 ．（只要写出一个符合要求的条件）
17．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，E、F分别在边AB、CD上，且CF＝5．现将四边形BCFE沿EF折叠，点B，C的对应点分别为点B′，C′．当点B′恰好落在边CD上时，则EF的长为 ．
18．（6分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CP平分∠ACB，过P作PQ⊥CP交CB于Q．若AP＝3，BP＝4，则CQ＝ ，S△APC+S△PQB＝ ．
三、解答题（本大题共9小题，共73分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）﹣（﹣1）0+2﹣2；
（2）|1﹣|﹣（﹣1）2022+．
20．（8分）解方程：
（1）x2＝3；
（2）8（x+1）3﹣27＝0．
21．（7分）已知与（x﹣y+3）2互为相反数，求（x2+y）的平方根．
22．（6分）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝CD，连接AC，求证：AD∥BC．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC．
（1）请用无刻度直尺和圆规，在边AC上求作一点D，使得点D到A、B的距离相等；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BC＝4，求CD的长．
24．（6分）如图是7×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺）
（1）边AC的长度为 ；
（2）作△ABC的角平分线AD；
（3）已知点P在线段AB上，点Q在（2）作出的线段AD上，当PQ+BQ的长度最小时，在网格中作出△PBQ．
25．（8分）经开区某中学计划举行一次知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于乙种奖品的一半，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
26．（10分）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，分别以速度v1、v2（单位：km/h，且v1＞2v2）匀速驶向乙地．快车到达乙地后停留了2h，沿原路仍以速度v1匀速返回甲地，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示从慢车出发至慢车到达乙地的过程中，y与x之间的函数关系．
（1）甲乙两地相距 km；点A实际意义： ；
（2）求a，b的值；
（3）慢车出发多长时间后，两车相距480km？
27．（12分）如图1，点A的坐标为（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，将点A绕着点B顺时针旋转90°到C的位置．
（1）若点C的横坐标为：﹣2，求直线AB的函数表达式；
（2）如图2，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴相交于点E，过点C作CD⊥AE于点D，试探究AE与CD的数量关系；
（3）如图3，将点O绕着点B逆时针旋转90°到点D，连接DC，在点B的运动过程中，CD与y轴相交于点F，则线段BF的长度是否改变？若不变，求出BF的长度，若改变，请说明理由．
2021-2022学年江苏省无锡市经开区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．（3分）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
2．（3分）下列实数中，无理数是（ ）
A．0 B． C．﹣ D．3.1415926
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A．0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．是无理数，故本选项符合题意；
C．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．3.1415926是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：B．
3．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．1，， C．，， D．5，6，7
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：A．∵12+22≠32，
∴以1，2，3为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵12+（）2≠（）2，
∴以1，，为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵（）2+（）2＝（）2，
∴以，，为边能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵52+62≠72，
∴以5，6，7为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣4）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．
【解答】解：∵点的横坐标3＞0，纵坐标﹣4＜0，
∴点P（3，﹣4）在第四象限．
故选：D．
5．（3分）下列各式中，正确的是（ ）
A．±＝±4 B．＝±3 C．＝3 D．＝﹣4
【分析】根据平方根，立方根，二次根式的性质与化简，进行计算即可解答．
【解答】解：A．±＝±4，故A符合题意；
B．＝3，故B不符合题意；
C．＝﹣3，故C不符合题意；
D．＝4，故D不符合题意；
故选：A．
6．（3分）关于函数y＝2x﹣4的图象，下列结论正确的是（ ）
A．必经过点（1，2）
B．与x轴的交点坐标为（0，﹣4）
C．过第一、三、四象限
D．可由函数y＝﹣2x的图象平移得到
【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵当x＝1时，y＝2﹣4＝﹣2≠2，∴图象不经过点（1，2），故本选项错误；
B、点（0，﹣4）是y轴上的点，故本选项错误；
C、∵k＝2＞0，b＝﹣4＜0，∴图象经过第一、三、四象限，故本选项正确；
D、函数y＝﹣2x的图象平移得到的函数系数不变，故本选项错误．
故选：C．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠CDE的大小为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAE＝∠AEC＝45°，求得∠CAB＝60°，得到∠B＝30°，根据直角三角形的性质得到CD＝BD＝AD＝AB，得到△ACD是等边三角形，∠DCB＝∠B＝30°，于是得到结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE＝AC，
∴∠CAE＝∠AEC＝45°，
∵∠BAE＝15°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠B＝30°，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD＝AD＝AB，
∴△ACD是等边三角形，∠DCB＝∠B＝30°，
∴AC＝DC＝CE，
∴∠CDE＝∠CEO＝×（180°﹣30°）＝75°．
故选：B．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，D，E为BC上的两个点，且AB＝BE，AC＝CD，则∠DAE的度数为（ ）
A．60° B．50° C．45° D．40°
【分析】根据等腰三角形性质得出∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，根据三角形内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵BE＝BA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴∠B＝180°﹣2∠BAE，①
∵CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴∠C＝180°﹣2∠CAD，②
①+②得：∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD）
∴180°﹣∠BAC＝360°﹣2[（∠BAD+∠DAE）+（∠DAE+∠CAE）]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2[（∠BAD+∠DAE+∠CAD）+∠DAE]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2（∠BAC+∠DAE），
∴2∠DAE＝180°﹣∠BAC．
∵∠BAC＝80°，
∴2∠DAE＝180°﹣80°＝100°，
∴∠DAE＝50°．
故选：B．
9．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式2kx﹣b＞0的解集为（ ）
A．x＜﹣ B．x＞﹣ C．x＜3 D．x＞﹣3
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征得到b＝﹣3k，k＜0，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，一次函数y＝kx+b的图象经过（3，0），k＜0，
∴3k+b＝0，
∴b＝﹣3k，
∴不等式可化为：2kx+3k＞0，
解得x＜﹣，
故选：A．
10．（3分）平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（3m，﹣4m+4），一次函数y＝x+12的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，若点P在△AOB的内部，则m的取值范围为（ ）
A．m＞一1或m＜0 B．﹣3＜m＜1 C．﹣1＜m＜0 D．﹣1≤m≤1
【分析】先求得点A与点B的坐标，然后令x＝3m，求得对应的y的值，再结合点P在△AOB的内部列出关于m的不等式，最后求得m的取值范围．
【解答】解：当x＝0时，y＝12，当y＝0时，x＝﹣9，
∴A（﹣9，0），B（0，12），
当x＝3m时，y＝×3m+12＝4m+12，
∵点P在△AOB的内部，
∴，
解得：﹣1＜m＜0，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共27分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（3分）9的算术平方根是 3 ．
【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的算术平方根是3．
故答案为：3．
12．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是 x≥﹣5 ．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，即可得实数x的取值范围．
【解答】解：因为式子有意义，
则x的取值范围是x≥﹣5．
故答案为：x≥﹣5．
13．（3分）已知：a、b为两个连续的整数，且a＜＜b，则a+b＝ 5 ．
【分析】由于2＜＜3，由此即可找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后即可求解．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴a＝2，b＝3，
∴a+b＝5．
故答案是：5．
14．（3分）点M（﹣1，2）关于x轴对称点的坐标为 （﹣1，﹣2） ．
【分析】两点关于x轴对称，那么让横坐标不变，纵坐标互为相反数即可．
【解答】解：∵2的相反数是﹣2，
∴点M（﹣1，2）关于x轴对称点的坐标为 （﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2）．
15．（3分）点（m，n）在直线y＝3x﹣2上，则代数式2n﹣6m+1的值是 ﹣3 ．
【分析】直接把点（m，n）代入函数y＝3x﹣2，得到n＝3m﹣2，再代入解析式即可得出结论．
【解答】解：∵点（m，n）在函数y＝3x﹣2的图象上，
∴n＝3m﹣2，
∴2n﹣6m+1＝2（3m﹣2）﹣6m+1＝﹣3，
故答案为：﹣3．
16．（3分）如图，OC平分∠AOB，D、E、F分别是OC、OA、OB上的点，要使△ODE≌△ODF，可以添加的条件是 OE＝OF或DE＝DF或∠ODE＝∠ODF或∠OED＝∠OFD ．（只要写出一个符合要求的条件）
【分析】由于∠EOD＝∠FOD，OD为公共边，则根据全等三角形的判定方法可添加条件使△ODE≌△ODF．
【解答】解：∵OC平分∠AOB，
∴∠EOD＝∠FOD，
而OD为公共边，
∴当添加OE＝OF时，根据“SAS”可判断△ODE≌△ODF；
当添加DE＝DF时，根据“SSS”可判断△ODE≌△ODF；
当添加∠ODE＝∠ODF时，根据“ASA”可判断△ODE≌△ODF；
当添加∠OED＝∠OFD时，根据“AAS”可判断△ODE≌△ODF；
故答案为：OE＝OF或DE＝DF或∠ODE＝∠ODF或∠OED＝∠OFD．
17．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，E、F分别在边AB、CD上，且CF＝5．现将四边形BCFE沿EF折叠，点B，C的对应点分别为点B′，C′．当点B′恰好落在边CD上时，则EF的长为 16 ．
【分析】由翻折的性质可知：∠BEF＝∠B'EF，BE＝EB′，CF＝C'F＝5，BC＝B'C'＝12，求出BE＝13，过点F作FM⊥AB于点M，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠B'FE＝∠BEF，
由翻折的性质可知：∠BEF＝∠B'EF，BE＝EB′，CF＝C'F＝5，BC＝B'C'＝12，
∴∠B'EF＝∠B'FE，
∴EB′＝FB′＝＝＝，
∴BE＝13，
过点F作FM⊥AB于点M，
则BM＝CF＝5，FM＝BC＝12，
∴EM＝BE﹣BM＝13﹣5＝8，
∴EF＝＝＝16，
故答案为：16．
18．（6分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CP平分∠ACB，过P作PQ⊥CP交CB于Q．若AP＝3，BP＝4，则CQ＝ ，S△APC+S△PQB＝ 6 ．
【分析】过点P作PD⊥AC于点D，利用角平分线的性质定理得到，设AC＝3k，则BC＝4k，利用勾股定理即可求得AC，BC的长，设PD＝DC＝x，则AD＝﹣x，利用平行线分线段成比例定理求得x的值，再利用等腰直角三角形的性质即可求得结论；利用S△APC+S△PQB＝S△ABC﹣S△PCQ，根据三角形的面积公式即可求得结论．
【解答】解：过点P作PD⊥AC于点D，如图，
∵∠ACB＝90°，CP平分∠ACB，
∴∠ACP＝∠BCP＝∠ACB＝45°．
∵PD⊥AC，
∴PD＝DC．
∵CP平分∠ACB，
∴．
设AC＝3k，则BC＝4k，
∴AB＝＝5k．
∴AB＝AP+BP＝5k＝7．
∴k＝．
∴AC＝，CB＝．
设PD＝DC＝x，则AD＝﹣x，
∵PD⊥AC，BC⊥AC，
∴PD∥BC．
∴．
∴．
解得：x＝．
∴PC＝PD＝．
∵PQ⊥CP，∠BCP＝45°，
∴PC＝PQ＝．
∴CQ＝PC＝．
故答案为：．
∵S△APC+S△PQB＝S△ABC﹣S△PCQ，
∴S△APC+S△PQB＝AC•BC﹣•PQ
＝××﹣×
＝6．
故答案为：6．
三、解答题（本大题共9小题，共73分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）﹣（﹣1）0+2﹣2；
（2）|1﹣|﹣（﹣1）2022+．
【分析】（1）利用平方根的意义，零指数幂的意义和负整数指数幂的意义解答即可；
（2）利用绝对值的意义，有理数的乘方法则和立方根的意义解答即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣1+
＝1；
（2）原式＝﹣1﹣1+2
＝．
20．（8分）解方程：
（1）x2＝3；
（2）8（x+1）3﹣27＝0．
【分析】（1）先把未知数系数化为1，再根据平方根的计算公式求出x的值即可；
（2）先把常数项移到等号的右边，再开立方即可得出答案．
【解答】解：（1）∵x2＝3，
∴x2＝6，
∴x＝；
（2）∵8（x+1）3﹣27＝0，
∴（x﹣1）3＝，
∴x﹣1＝，
∴x＝．
21．（7分）已知与（x﹣y+3）2互为相反数，求（x2+y）的平方根．
【分析】根据互为相反数两数之和为0列出关系式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值．
【解答】解：∵与（x﹣y+3）2互为相反数，
∴+（x﹣y+3）2＝0，
又∵≥0，（x﹣y+3）2≥0，
∴，
解得，
∴x2+y＝＝，
∴（x2+y）的平方根为．
22．（6分）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝CD，连接AC，求证：AD∥BC．
【分析】证△ABC≌△CDA（SAS），得∠ACB＝∠CAD，再由平行线的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
∴∠ACB＝∠CAD，
∴AD∥BC．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC．
（1）请用无刻度直尺和圆规，在边AC上求作一点D，使得点D到A、B的距离相等；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BC＝4，求CD的长．
【分析】（1）作AB的垂直平分线交AC于点D即可；
（2）根据垂直平分线的性质可得AD＝BD，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求；
（2）∵∠ACB＝90°，BC＝4，
∴AC＝2BC＝8，
∵AB的垂直平分线交AC于点D，
∴AD＝BD，
∴BD＝AD＝AC﹣CD＝8﹣CD，
在Rt△BCD中，根据勾股定理，得
CD2+BC2＝BD2，
∴CD2+42＝（8﹣CD）2，
解得CD＝3．
∴CD的长为3．
24．（6分）如图是7×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺）
（1）边AC的长度为 5 ；
（2）作△ABC的角平分线AD；
（3）已知点P在线段AB上，点Q在（2）作出的线段AD上，当PQ+BQ的长度最小时，在网格中作出△PBQ．
【分析】（1）利用网格根据勾股定理即可求出边AC的长度；
（2）根据网格即可作△ABC的角平分线AD；
（3）已知点P在线段AB上，点Q在（2）作出的线段AD上，当PQ+BQ的长度最小时，在网格中作出△PBQ．
【解答】解：（1）根据勾股定理，得AC＝＝5．
故答案为：5；
（2）如图，AD即为所求；
（2）如图，△PBQ即为所求．
25．（8分）经开区某中学计划举行一次知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于乙种奖品的一半，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，根据“1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两种奖品的单价；
（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（60﹣m）件，根据购买甲种奖品不少于乙种奖品的一半，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该中学购买60件奖品的总费用为w元，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元．
（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（60﹣m）件，
依题意得：m≥（60﹣m），
解得：m≥20．
设该中学购买60件奖品的总费用为w元，则w＝20m+10（60﹣m）＝10m+600，
∵10＞0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝20时，w取得最小值，最小值＝10×20+600＝800，此时60﹣m＝40．
答：当购买甲种奖品20件、乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元．
26．（10分）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，分别以速度v1、v2（单位：km/h，且v1＞2v2）匀速驶向乙地．快车到达乙地后停留了2h，沿原路仍以速度v1匀速返回甲地，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示从慢车出发至慢车到达乙地的过程中，y与x之间的函数关系．
（1）甲乙两地相距 900 km；点A实际意义： 快车行驶6h时到达乙地，此时慢车距离乙地540km ；
（2）求a，b的值；
（3）慢车出发多长时间后，两车相距480km？
【分析】（1）由图象即可得到结论；
（2）根据图象，得到慢车的速度为＝60（km/h），快车的速度为＝150（km/h），于是得到结论；
（3）根据每段的函数解析式即可得到结论．
【解答】解：（1）由图象知，甲、乙两地之间的距离为900km，
如图，过点B向y轴作垂线，过点A作x轴的垂线，
由图可知，AB段表示快车在乙地停留的2h，
此时，慢车走的路程为60×2＝120（km），
∴c＝540﹣120＝420（km），a＝＝8（h），
∴a﹣2＝6（h），
∴A（6，540），
∴点A的实际意义是：快车行驶6h时到达乙地，此时慢车距离乙地540km，
故答案为：900；快车行驶6h时到达乙地，此时慢车距离乙地540km；
（2）由OA段可知，快车的速度﹣慢车的速度＝＝90（km/h），
∴快车的速度为150（km/h），快车的速度为＝150（km/h），
所以线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y1＝900﹣60x，
所以线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为：y2＝（60+150）（x﹣10）＝210x﹣2100；
根据快车的运动可知，点D表示的含义是当快车行驶xh时，快车到达甲地，乙车距离甲车的距离为b，
又点D的横坐标为：900×2÷150+2＝12+2＝14，
此时b＝60×14＝840（km），
即a的值为8，b的值为840；
（3）如图，作y＝480，
①线段OA所表示的y与x之间的函数表达式为y3＝90x（0≤x＜6），
令y3＝480，得x＝，
②线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y1＝﹣60x+900（6≤x＜8），
令y1＝480，得x＝7，
③线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为y2＝210x﹣2100（10≤x＜14），
令y2＝480，得x＝．
答：慢车出发h，7h，h后，两车相距480km．
27．（12分）如图1，点A的坐标为（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，将点A绕着点B顺时针旋转90°到C的位置．
（1）若点C的横坐标为：﹣2，求直线AB的函数表达式；
（2）如图2，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴相交于点E，过点C作CD⊥AE于点D，试探究AE与CD的数量关系；
（3）如图3，将点O绕着点B逆时针旋转90°到点D，连接DC，在点B的运动过程中，CD与y轴相交于点F，则线段BF的长度是否改变？若不变，求出BF的长度，若改变，请说明理由．
【分析】（1）过点C作CG⊥y轴于点G，利用AAS证明△ABO≌△BCG，可求得B（0，2），再运用待定系数法求得直线AB的解析式为y＝x+2；
（2）如图2，延长CD与AB交于点H，利用ASA证明△CHB≌△AEB，由x轴平分∠BAC，CD⊥x轴，可得CD＝DH，即可得出答案；
（3）如图3，过点C作CG⊥y轴于点G，由（1）知：△ABO≌△BCG，得出：OB＝CG，BG＝OA＝4，再利用旋转的性质可证得△DBF≌△CGF（AAS），即可得出答案．
【解答】解：（1）过点C作CG⊥y轴于点G，
则∠BGC＝∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，
∵∠CBG+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBG，
∵A（4，0），点C的横坐标为﹣2，
∴OA＝4，CG＝2，
由旋转可知：BA＝BC，
在△ABO和△BCG中，
，
∴△ABO≌△BCG（AAS），
∴BG＝OA＝4，OB＝CG＝2，
∴B（0，2），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（4，0），B（0，2）代入，得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+2；
（2）如图2，延长CD与AB交于点H，
∴∠CBH＝90°，
∵CD⊥x轴，
∴∠BCH+∠H＝90°，
∵∠HAD+∠H＝90°，
∴∠BCH＝∠HAD，
由旋转可知：BA＝BC，
在△CHB和△AEB中，
，
∴△CHB≌△AEB（ASA），
∴AE＝CH，
∵x轴平分∠BAC，CD⊥x轴，
∴CD＝DH，
∴CH＝2CD，
∴AE＝2CD；
（3）线段BF的长度不改变．
如图3，过点C作CG⊥y轴于点G，
由（1）知：△ABO≌△BCG，
∴OB＝CG，BG＝OA＝4，
∵将点O绕着点B逆时针旋转90°到点D，
∴∠DBF＝∠CGF＝90°，DB＝OB，
∴DB＝CG，
在△DBF和△CGF中，
，
∴△DBF≌△CGF（AAS），
∴BF＝FG＝BG＝2．
2021-2022学年江苏省无锡市经开区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．（3分）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列实数中，无理数是（ ）
A．0 B． C．﹣ D．3.1415926
3．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．1，， C．，， D．5，6，7
4．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣4）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（3分）下列各式中，正确的是（ ）
A．±＝±4 B．＝±3 C．＝3 D．＝﹣4
6．（3分）关于函数y＝2x﹣4的图象，下列结论正确的是（ ）
A．必经过点（1，2）
B．与x轴的交点坐标为（0，﹣4）
C．过第一、三、四象限
D．可由函数y＝﹣2x的图象平移得到
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠CDE的大小为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，D，E为BC上的两个点，且AB＝BE，AC＝CD，则∠DAE的度数为（ ）
A．60° B．50° C．45° D．40°
9．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式2kx﹣b＞0的解集为（ ）
A．x＜﹣ B．x＞﹣ C．x＜3 D．x＞﹣3
10．（3分）平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（3m，﹣4m+4），一次函数y＝x+12的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，若点P在△AOB的内部，则m的取值范围为（ ）
A．m＞一1或m＜0 B．﹣3＜m＜1 C．﹣1＜m＜0 D．﹣1≤m≤1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共27分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（3分）9的算术平方根是 ．
12．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是 ．
13．（3分）已知：a、b为两个连续的整数，且a＜＜b，则a+b＝ ．
14．（3分）点M（﹣1，2）关于x轴对称点的坐标为 ．
15．（3分）点（m，n）在直线y＝3x﹣2上，则代数式2n﹣6m+1的值是 ．
16．（3分）如图，OC平分∠AOB，D、E、F分别是OC、OA、OB上的点，要使△ODE≌△ODF，可以添加的条件是 ．（只要写出一个符合要求的条件）
17．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，E、F分别在边AB、CD上，且CF＝5．现将四边形BCFE沿EF折叠，点B，C的对应点分别为点B′，C′．当点B′恰好落在边CD上时，则EF的长为 ．
18．（6分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CP平分∠ACB，过P作PQ⊥CP交CB于Q．若AP＝3，BP＝4，则CQ＝ ，S△APC+S△PQB＝ ．
三、解答题（本大题共9小题，共73分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）﹣（﹣1）0+2﹣2；
（2）|1﹣|﹣（﹣1）2022+．
20．（8分）解方程：
（1）x2＝3；
（2）8（x+1）3﹣27＝0．
21．（7分）已知与（x﹣y+3）2互为相反数，求（x2+y）的平方根．
22．（6分）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝CD，连接AC，求证：AD∥BC．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC．
（1）请用无刻度直尺和圆规，在边AC上求作一点D，使得点D到A、B的距离相等；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BC＝4，求CD的长．
24．（6分）如图是7×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺）
（1）边AC的长度为 ；
（2）作△ABC的角平分线AD；
（3）已知点P在线段AB上，点Q在（2）作出的线段AD上，当PQ+BQ的长度最小时，在网格中作出△PBQ．
25．（8分）经开区某中学计划举行一次知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于乙种奖品的一半，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
26．（10分）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，分别以速度v1、v2（单位：km/h，且v1＞2v2）匀速驶向乙地．快车到达乙地后停留了2h，沿原路仍以速度v1匀速返回甲地，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示从慢车出发至慢车到达乙地的过程中，y与x之间的函数关系．
（1）甲乙两地相距 km；点A实际意义： ；
（2）求a，b的值；
（3）慢车出发多长时间后，两车相距480km？
27．（12分）如图1，点A的坐标为（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，将点A绕着点B顺时针旋转90°到C的位置．
（1）若点C的横坐标为：﹣2，求直线AB的函数表达式；
（2）如图2，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴相交于点E，过点C作CD⊥AE于点D，试探究AE与CD的数量关系；
（3）如图3，将点O绕着点B逆时针旋转90°到点D，连接DC，在点B的运动过程中，CD与y轴相交于点F，则线段BF的长度是否改变？若不变，求出BF的长度，若改变，请说明理由．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．（3分）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
2．（3分）下列实数中，无理数是（ ）
A．0 B． C．﹣ D．3.1415926
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A．0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．是无理数，故本选项符合题意；
C．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．3.1415926是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：B．
3．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．1，， C．，， D．5，6，7
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：A．∵12+22≠32，
∴以1，2，3为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵12+（）2≠（）2，
∴以1，，为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵（）2+（）2＝（）2，
∴以，，为边能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵52+62≠72，
∴以5，6，7为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣4）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．
【解答】解：∵点的横坐标3＞0，纵坐标﹣4＜0，
∴点P（3，﹣4）在第四象限．
故选：D．
5．（3分）下列各式中，正确的是（ ）
A．±＝±4 B．＝±3 C．＝3 D．＝﹣4
【分析】根据平方根，立方根，二次根式的性质与化简，进行计算即可解答．
【解答】解：A．±＝±4，故A符合题意；
B．＝3，故B不符合题意；
C．＝﹣3，故C不符合题意；
D．＝4，故D不符合题意；
故选：A．
6．（3分）关于函数y＝2x﹣4的图象，下列结论正确的是（ ）
A．必经过点（1，2）
B．与x轴的交点坐标为（0，﹣4）
C．过第一、三、四象限
D．可由函数y＝﹣2x的图象平移得到
【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵当x＝1时，y＝2﹣4＝﹣2≠2，∴图象不经过点（1，2），故本选项错误；
B、点（0，﹣4）是y轴上的点，故本选项错误；
C、∵k＝2＞0，b＝﹣4＜0，∴图象经过第一、三、四象限，故本选项正确；
D、函数y＝﹣2x的图象平移得到的函数系数不变，故本选项错误．
故选：C．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠CDE的大小为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAE＝∠AEC＝45°，求得∠CAB＝60°，得到∠B＝30°，根据直角三角形的性质得到CD＝BD＝AD＝AB，得到△ACD是等边三角形，∠DCB＝∠B＝30°，于是得到结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE＝AC，
∴∠CAE＝∠AEC＝45°，
∵∠BAE＝15°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠B＝30°，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD＝AD＝AB，
∴△ACD是等边三角形，∠DCB＝∠B＝30°，
∴AC＝DC＝CE，
∴∠CDE＝∠CEO＝×（180°﹣30°）＝75°．
故选：B．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，D，E为BC上的两个点，且AB＝BE，AC＝CD，则∠DAE的度数为（ ）
A．60° B．50° C．45° D．40°
【分析】根据等腰三角形性质得出∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，根据三角形内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵BE＝BA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴∠B＝180°﹣2∠BAE，①
∵CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴∠C＝180°﹣2∠CAD，②
①+②得：∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD）
∴180°﹣∠BAC＝360°﹣2[（∠BAD+∠DAE）+（∠DAE+∠CAE）]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2[（∠BAD+∠DAE+∠CAD）+∠DAE]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2（∠BAC+∠DAE），
∴2∠DAE＝180°﹣∠BAC．
∵∠BAC＝80°，
∴2∠DAE＝180°﹣80°＝100°，
∴∠DAE＝50°．
故选：B．
9．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式2kx﹣b＞0的解集为（ ）
A．x＜﹣ B．x＞﹣ C．x＜3 D．x＞﹣3
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征得到b＝﹣3k，k＜0，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，一次函数y＝kx+b的图象经过（3，0），k＜0，
∴3k+b＝0，
∴b＝﹣3k，
∴不等式可化为：2kx+3k＞0，
解得x＜﹣，
故选：A．
10．（3分）平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（3m，﹣4m+4），一次函数y＝x+12的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，若点P在△AOB的内部，则m的取值范围为（ ）
A．m＞一1或m＜0 B．﹣3＜m＜1 C．﹣1＜m＜0 D．﹣1≤m≤1
【分析】先求得点A与点B的坐标，然后令x＝3m，求得对应的y的值，再结合点P在△AOB的内部列出关于m的不等式，最后求得m的取值范围．
【解答】解：当x＝0时，y＝12，当y＝0时，x＝﹣9，
∴A（﹣9，0），B（0，12），
当x＝3m时，y＝×3m+12＝4m+12，
∵点P在△AOB的内部，
∴，
解得：﹣1＜m＜0，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共27分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（3分）9的算术平方根是 3 ．
【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的算术平方根是3．
故答案为：3．
12．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是 x≥﹣5 ．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，即可得实数x的取值范围．
【解答】解：因为式子有意义，
则x的取值范围是x≥﹣5．
故答案为：x≥﹣5．
13．（3分）已知：a、b为两个连续的整数，且a＜＜b，则a+b＝ 5 ．
【分析】由于2＜＜3，由此即可找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后即可求解．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴a＝2，b＝3，
∴a+b＝5．
故答案是：5．
14．（3分）点M（﹣1，2）关于x轴对称点的坐标为 （﹣1，﹣2） ．
【分析】两点关于x轴对称，那么让横坐标不变，纵坐标互为相反数即可．
【解答】解：∵2的相反数是﹣2，
∴点M（﹣1，2）关于x轴对称点的坐标为 （﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2）．
15．（3分）点（m，n）在直线y＝3x﹣2上，则代数式2n﹣6m+1的值是 ﹣3 ．
【分析】直接把点（m，n）代入函数y＝3x﹣2，得到n＝3m﹣2，再代入解析式即可得出结论．
【解答】解：∵点（m，n）在函数y＝3x﹣2的图象上，
∴n＝3m﹣2，
∴2n﹣6m+1＝2（3m﹣2）﹣6m+1＝﹣3，
故答案为：﹣3．
16．（3分）如图，OC平分∠AOB，D、E、F分别是OC、OA、OB上的点，要使△ODE≌△ODF，可以添加的条件是 OE＝OF或DE＝DF或∠ODE＝∠ODF或∠OED＝∠OFD ．（只要写出一个符合要求的条件）
【分析】由于∠EOD＝∠FOD，OD为公共边，则根据全等三角形的判定方法可添加条件使△ODE≌△ODF．
【解答】解：∵OC平分∠AOB，
∴∠EOD＝∠FOD，
而OD为公共边，
∴当添加OE＝OF时，根据“SAS”可判断△ODE≌△ODF；
当添加DE＝DF时，根据“SSS”可判断△ODE≌△ODF；
当添加∠ODE＝∠ODF时，根据“ASA”可判断△ODE≌△ODF；
当添加∠OED＝∠OFD时，根据“AAS”可判断△ODE≌△ODF；
故答案为：OE＝OF或DE＝DF或∠ODE＝∠ODF或∠OED＝∠OFD．
17．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，E、F分别在边AB、CD上，且CF＝5．现将四边形BCFE沿EF折叠，点B，C的对应点分别为点B′，C′．当点B′恰好落在边CD上时，则EF的长为 16 ．
【分析】由翻折的性质可知：∠BEF＝∠B'EF，BE＝EB′，CF＝C'F＝5，BC＝B'C'＝12，求出BE＝13，过点F作FM⊥AB于点M，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠B'FE＝∠BEF，
由翻折的性质可知：∠BEF＝∠B'EF，BE＝EB′，CF＝C'F＝5，BC＝B'C'＝12，
∴∠B'EF＝∠B'FE，
∴EB′＝FB′＝＝＝，
∴BE＝13，
过点F作FM⊥AB于点M，
则BM＝CF＝5，FM＝BC＝12，
∴EM＝BE﹣BM＝13﹣5＝8，
∴EF＝＝＝16，
故答案为：16．
18．（6分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CP平分∠ACB，过P作PQ⊥CP交CB于Q．若AP＝3，BP＝4，则CQ＝ ，S△APC+S△PQB＝ 6 ．
【分析】过点P作PD⊥AC于点D，利用角平分线的性质定理得到，设AC＝3k，则BC＝4k，利用勾股定理即可求得AC，BC的长，设PD＝DC＝x，则AD＝﹣x，利用平行线分线段成比例定理求得x的值，再利用等腰直角三角形的性质即可求得结论；利用S△APC+S△PQB＝S△ABC﹣S△PCQ，根据三角形的面积公式即可求得结论．
【解答】解：过点P作PD⊥AC于点D，如图，
∵∠ACB＝90°，CP平分∠ACB，
∴∠ACP＝∠BCP＝∠ACB＝45°．
∵PD⊥AC，
∴PD＝DC．
∵CP平分∠ACB，
∴．
设AC＝3k，则BC＝4k，
∴AB＝＝5k．
∴AB＝AP+BP＝5k＝7．
∴k＝．
∴AC＝，CB＝．
设PD＝DC＝x，则AD＝﹣x，
∵PD⊥AC，BC⊥AC，
∴PD∥BC．
∴．
∴．
解得：x＝．
∴PC＝PD＝．
∵PQ⊥CP，∠BCP＝45°，
∴PC＝PQ＝．
∴CQ＝PC＝．
故答案为：．
∵S△APC+S△PQB＝S△ABC﹣S△PCQ，
∴S△APC+S△PQB＝AC•BC﹣•PQ
＝××﹣×
＝6．
故答案为：6．
三、解答题（本大题共9小题，共73分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）﹣（﹣1）0+2﹣2；
（2）|1﹣|﹣（﹣1）2022+．
【分析】（1）利用平方根的意义，零指数幂的意义和负整数指数幂的意义解答即可；
（2）利用绝对值的意义，有理数的乘方法则和立方根的意义解答即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣1+
＝1；
（2）原式＝﹣1﹣1+2
＝．
20．（8分）解方程：
（1）x2＝3；
（2）8（x+1）3﹣27＝0．
【分析】（1）先把未知数系数化为1，再根据平方根的计算公式求出x的值即可；
（2）先把常数项移到等号的右边，再开立方即可得出答案．
【解答】解：（1）∵x2＝3，
∴x2＝6，
∴x＝；
（2）∵8（x+1）3﹣27＝0，
∴（x﹣1）3＝，
∴x﹣1＝，
∴x＝．
21．（7分）已知与（x﹣y+3）2互为相反数，求（x2+y）的平方根．
【分析】根据互为相反数两数之和为0列出关系式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值．
【解答】解：∵与（x﹣y+3）2互为相反数，
∴+（x﹣y+3）2＝0，
又∵≥0，（x﹣y+3）2≥0，
∴，
解得，
∴x2+y＝＝，
∴（x2+y）的平方根为．
22．（6分）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝CD，连接AC，求证：AD∥BC．
【分析】证△ABC≌△CDA（SAS），得∠ACB＝∠CAD，再由平行线的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
∴∠ACB＝∠CAD，
∴AD∥BC．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC．
（1）请用无刻度直尺和圆规，在边AC上求作一点D，使得点D到A、B的距离相等；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BC＝4，求CD的长．
【分析】（1）作AB的垂直平分线交AC于点D即可；
（2）根据垂直平分线的性质可得AD＝BD，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求；
（2）∵∠ACB＝90°，BC＝4，
∴AC＝2BC＝8，
∵AB的垂直平分线交AC于点D，
∴AD＝BD，
∴BD＝AD＝AC﹣CD＝8﹣CD，
在Rt△BCD中，根据勾股定理，得
CD2+BC2＝BD2，
∴CD2+42＝（8﹣CD）2，
解得CD＝3．
∴CD的长为3．
24．（6分）如图是7×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺）
（1）边AC的长度为 5 ；
（2）作△ABC的角平分线AD；
（3）已知点P在线段AB上，点Q在（2）作出的线段AD上，当PQ+BQ的长度最小时，在网格中作出△PBQ．
【分析】（1）利用网格根据勾股定理即可求出边AC的长度；
（2）根据网格即可作△ABC的角平分线AD；
（3）已知点P在线段AB上，点Q在（2）作出的线段AD上，当PQ+BQ的长度最小时，在网格中作出△PBQ．
【解答】解：（1）根据勾股定理，得AC＝＝5．
故答案为：5；
（2）如图，AD即为所求；
（2）如图，△PBQ即为所求．
25．（8分）经开区某中学计划举行一次知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于乙种奖品的一半，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，根据“1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两种奖品的单价；
（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（60﹣m）件，根据购买甲种奖品不少于乙种奖品的一半，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该中学购买60件奖品的总费用为w元，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元．
（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（60﹣m）件，
依题意得：m≥（60﹣m），
解得：m≥20．
设该中学购买60件奖品的总费用为w元，则w＝20m+10（60﹣m）＝10m+600，
∵10＞0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝20时，w取得最小值，最小值＝10×20+600＝800，此时60﹣m＝40．
答：当购买甲种奖品20件、乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元．
26．（10分）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，分别以速度v1、v2（单位：km/h，且v1＞2v2）匀速驶向乙地．快车到达乙地后停留了2h，沿原路仍以速度v1匀速返回甲地，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示从慢车出发至慢车到达乙地的过程中，y与x之间的函数关系．
（1）甲乙两地相距 900 km；点A实际意义： 快车行驶6h时到达乙地，此时慢车距离乙地540km ；
（2）求a，b的值；
（3）慢车出发多长时间后，两车相距480km？
【分析】（1）由图象即可得到结论；
（2）根据图象，得到慢车的速度为＝60（km/h），快车的速度为＝150（km/h），于是得到结论；
（3）根据每段的函数解析式即可得到结论．
【解答】解：（1）由图象知，甲、乙两地之间的距离为900km，
如图，过点B向y轴作垂线，过点A作x轴的垂线，
由图可知，AB段表示快车在乙地停留的2h，
此时，慢车走的路程为60×2＝120（km），
∴c＝540﹣120＝420（km），a＝＝8（h），
∴a﹣2＝6（h），
∴A（6，540），
∴点A的实际意义是：快车行驶6h时到达乙地，此时慢车距离乙地540km，
故答案为：900；快车行驶6h时到达乙地，此时慢车距离乙地540km；
（2）由OA段可知，快车的速度﹣慢车的速度＝＝90（km/h），
∴快车的速度为150（km/h），快车的速度为＝150（km/h），
所以线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y1＝900﹣60x，
所以线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为：y2＝（60+150）（x﹣10）＝210x﹣2100；
根据快车的运动可知，点D表示的含义是当快车行驶xh时，快车到达甲地，乙车距离甲车的距离为b，
又点D的横坐标为：900×2÷150+2＝12+2＝14，
此时b＝60×14＝840（km），
即a的值为8，b的值为840；
（3）如图，作y＝480，
①线段OA所表示的y与x之间的函数表达式为y3＝90x（0≤x＜6），
令y3＝480，得x＝，
②线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y1＝﹣60x+900（6≤x＜8），
令y1＝480，得x＝7，
③线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为y2＝210x﹣2100（10≤x＜14），
令y2＝480，得x＝．
答：慢车出发h，7h，h后，两车相距480km．
27．（12分）如图1，点A的坐标为（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，将点A绕着点B顺时针旋转90°到C的位置．
（1）若点C的横坐标为：﹣2，求直线AB的函数表达式；
（2）如图2，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴相交于点E，过点C作CD⊥AE于点D，试探究AE与CD的数量关系；
（3）如图3，将点O绕着点B逆时针旋转90°到点D，连接DC，在点B的运动过程中，CD与y轴相交于点F，则线段BF的长度是否改变？若不变，求出BF的长度，若改变，请说明理由．
【分析】（1）过点C作CG⊥y轴于点G，利用AAS证明△ABO≌△BCG，可求得B（0，2），再运用待定系数法求得直线AB的解析式为y＝x+2；
（2）如图2，延长CD与AB交于点H，利用ASA证明△CHB≌△AEB，由x轴平分∠BAC，CD⊥x轴，可得CD＝DH，即可得出答案；
（3）如图3，过点C作CG⊥y轴于点G，由（1）知：△ABO≌△BCG，得出：OB＝CG，BG＝OA＝4，再利用旋转的性质可证得△DBF≌△CGF（AAS），即可得出答案．
【解答】解：（1）过点C作CG⊥y轴于点G，
则∠BGC＝∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，
∵∠CBG+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBG，
∵A（4，0），点C的横坐标为﹣2，
∴OA＝4，CG＝2，
由旋转可知：BA＝BC，
在△ABO和△BCG中，
，
∴△ABO≌△BCG（AAS），
∴BG＝OA＝4，OB＝CG＝2，
∴B（0，2），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（4，0），B（0，2）代入，得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+2；
（2）如图2，延长CD与AB交于点H，
∴∠CBH＝90°，
∵CD⊥x轴，
∴∠BCH+∠H＝90°，
∵∠HAD+∠H＝90°，
∴∠BCH＝∠HAD，
由旋转可知：BA＝BC，
在△CHB和△AEB中，
，
∴△CHB≌△AEB（ASA），
∴AE＝CH，
∵x轴平分∠BAC，CD⊥x轴，
∴CD＝DH，
∴CH＝2CD，
∴AE＝2CD；
（3）线段BF的长度不改变．
如图3，过点C作CG⊥y轴于点G，
由（1）知：△ABO≌△BCG，
∴OB＝CG，BG＝OA＝4，
∵将点O绕着点B逆时针旋转90°到点D，
∴∠DBF＝∠CGF＝90°，DB＝OB，
∴DB＝CG，
在△DBF和△CGF中，
，
∴△DBF≌△CGF（AAS），
∴BF＝FG＝BG＝2．
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