湖南省湘潭市重点高中2021-2022学年高一数学上学期期末联考试题（Word版附解析）

2021年下学期高一年级期末考试

数学

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出集合A，再与集合B求并集即可.

【详解】因为，

所以，所以.

故选：A.

2. 命题“，”的否定为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】由含存在量词的命题的否定方法写出命题的否定即可.

【详解】命题的否定在否定结论的同时，量词作相应改变，

所以命题“，”的否定为，，

故选：B.

3. 函数的部分图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出的定义域可排除C、D，当时，可排除B，进而可得正确选项.

【详解】由可得且，所以的定义域为且，

由定义域可排除C、D，

当时，，，可排除B，由排除法可知选项A正确；

故选：A.

4. 已知，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】

故选

5. 设，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、三个数的大小关系.

【详解】，即，且，故.

故选：D.

6. 函数（）的最大值为（    ）

A.  B. 1 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】对函数进行化简，即可求出最值.

【详解】，

∴当时，取得最大值为3.

故选：C.

7. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若.则（    ）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】由已知、同角三角函数关系、辅助角公式及诱导公式可得解.

【详解】由得，

∴.

故选：A.

8. 若函数（）在有最大值无最小值，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出，根据题意结合正弦函数图象可得答案.

【详解】∵，∴，

根据题意结合正弦函数图象可得

，解得.

故选：B.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 是奇函数

B. 的定义域是

C. 在上单调递增

D. 的图象的对称中心是，

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用奇函数的定义及诱导公式判断A；利用正切函数的性质判断BCD.

【详解】对于B，令，得，

可知的定义域为，故B错误；

对于A，定义域关于原点对称，且，故是奇函数，故A正确；

对于C，令，解得，

当时，在上单调递增，故C正确；

对于D，，得，即的图象的对称中心是，故D正确；

故选：ACD

10. 下列函数中，最小正周期为，且在区间上为减函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据诱导公式化简选项A、C可得，利用周期公式及余弦型函数单调性的求解即可判断符合题意；对选项B：分析单调区间可知不符合题意；对选项D：切化弦化简函数解析式后分析单调区间可知不符合题意.

【详解】解：对A：，，因为，而在上单调递减，所以在上为减函数，故选项A符合题意；

对B：在上单调递增，故选项B不符合题意；

对C：，以下分析同选项A，故选项C符合题意；

对D：在上单调递增，故选项D不符合题意.

故选：AC.

11 已知，，且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】利用对数的运算及基本不等式判断A；利用基本不等式及完全平方和的公式可判断BC； 利用基本不等式“1”的代换可判断D.

【详解】对于A，∵，∴，∴，当且仅当时等号成立，故A错误；

对于B，，当且仅当时等号成立，故B正确；

对于C，∵，∴，当且仅当时等号成立，故C错误.

对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确；

故选：BD

12. 设函数则下列命题正确的是（    ）

A. 当时，方程有1个实数解

B. 当时，方程有7个实数解

C. 当时，方程有8个实数解

D. 当时，方程有6个实数解

【答案】ABD

【解析】

【分析】结合的图象可化为可判断A；

当时，，，，有1个解，有3个解，有3个解可判断 B；当、结合图象可判断C；

当时，，结合图象可判断D.

【详解】的图象如图所示，可化为，

当时可得，在有1个解，A正确；

当可得，，，在有1个解，在有3个解，在有3个解，则有7个实数解，B正确；

当时可得，，，在有1个解，有4个解，有2个解，则有7个实数解；

当时可得， ，，，

在时，有1个解；在时，有1个解；

在时，有4个解；在时，有2个解；

综上， 有8个实数解，C错误；

当时可得，，

在时有4个解，在时，有2个解，

则有6个实数解，D正确.

故选：ABD.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知幂函数是奇函数，则___________.

【答案】1

【解析】

【分析】根据幂函数定义可构造方程求得，将值代入解析式验证函数奇偶性可确定结果.

【详解】由题意得，∴或1，

当时，是偶函数；

当时，是奇函数.

故答案为：1.

14. 已知函数对于任意实数x满足.若，则___________.

【答案】3

【解析】

【分析】，即可求出答案.

【详解】.

故答案为：3.

15. 已知函数（）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将的图象上所有点向右平移个单位后，所得函数图象关于y轴对称，则的最小正值为___________.

【答案】##

【解析】

【分析】由相邻两条对称轴之间的距离为得到及，由的图象上所有点向右平移个单位得到的图象关于y轴对称，可得.

【详解】由题意的最小正周期，∴，，

的图象上所有点向右平移个单位后，得到

的图象关于y轴对称，

∴，，，

，∴的最小正值为.

故答案为：.

16. 当时，函数取得最大值，则___________.

【答案】##

【解析】

【分析】由辅助角公式，正弦函数的性质求出，，再根据两角和的正切和公式，诱导公式求.

【详解】（其中，），

当时，函数取得最大值

∴ ，，即，，

所以，.

故答案为：.

四､解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，.

（1）求；

（2）设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由指数、对数不等式可得、，再由补集、交集的定义即可得解；

（2）转化条件为A是C的真子集，由集合间的关系即可得解.

【小问1详解】

由题意，，，

∴，∴；

【小问2详解】

由 “”是“”的必要不充分条件，所以A是C的真子集，

当时，，不符合题意；

当时，，由A是C的真子集，知；

综上，的取值范围是.

18. 计算下列各题：

（1）；

（2）.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用指对幂运算性质化简求值；

（2）利用对数运算性质化简求值.

【小问1详解】

原式.

【小问2详解】

原式

.

19. 已知函数，.

（1）求函数的最小值；

（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求不等式的解集.

【答案】（1）   

（2），

【解析】

【分析】（1）用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数的关系式转换为正弦型函数，进一步求出函数的最值．

（2）利用函数伸缩变换后的表达式解三角不等式．

【小问1详解】

，

所以当时，取得最小值.

【小问2详解】

由已知可得，∴，

∴，

∴的解集为，.

20. 已知函数为偶函数.

（1）求a的值，并证明在（0，）上单调递增；

（2）求满足的x的取值范围.

【答案】（1），证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用奇偶性可得，再利用单调性定义判断可得答案；

（2）由偶函数的对称性可得在上单调递减，得，再解不等式可得答案.

【小问1详解】

由题意得，，

∴对任意恒成立，∴，

经检验，时为偶函数，

任取，则，

∴，∴在（0，）上单调递增.

【小问2详解】

由偶函数的对称性可得在上单调递减，

∴，∴，

∴满足x的取值范围.

21. 已知，，.

（1）求，的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出，再由同角三角函数基本关系求解即可；

（2）根据角的变换，再由两角差的余弦公式求解.

【小问1详解】

∵，∴

∵，∴，

∴，且，解得，

∴，.

【小问2详解】

∵，，∴，

∴，

∴

.

22. 已知函数（，）的部分图象如图所示.

（1）求的解析式；

（2）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；

（3）求实数a和正整数n，使得（）在上恰有2021个零点.

【答案】（1）   

（2）   

（3）当时，；当时，

【解析】

【分析】（1）根据图象的特点，通过的周期和便可得到的解析式；

（2）通过换元转化为一元二次不等式的恒成立问题，根据二次函数的特点得到，然后解出不等式即可；

（3）将函数的零点个数问题，转化为的图象与直线的交点个数问题，然后分析在一个周期内与的交点情况，根据的取值情况分类讨论即可

【小问1详解】

根据图象可知，且，的周期为：

解得：，此时，

，且

可得：

解得：

故

【小问2详解】

当时，

令，又恒成立

等价于上恒成立

令，

则有：开口向上，且，只需即可满足题意

故实数m的取值范围是

【小问3详解】

由题意可得：的图象与直线在上恰有2021个零点

在上时，，分类讨论如下：

①当时，的图象与直线在上无交点；

②当时，的图象与直线在仅有一个交点，此时的图象与直线在上恰有2021个交点，则；

③当或时，的图象与直线在上恰有2个交点，的图象与直线在上有偶数个交点，不会有2021个交点；

④当时，的图象与直线在上恰有3个交点，此时才能使的图象与直线在上有2021个交点.

综上，当时，；当时，.