湖南省长郡中学2021-2022学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

长郡中学2021-2022学年度高一第一学期期末考试

数学

一､选择题（共12道小题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 设集合，则（    ）

A. {1} B. {1，2}

C. {0，1，2，3} D. {－1，0，1，2，3}

【答案】C

【解析】

【分析】首先用列举法表示集合，再根据并集的定义计算可得；

【详解】解：因，，所以

故选：C

2. 若函数为奇函数，则f（g（2））＝（　　）

A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】先利用奇偶性求得g（x），再求出，然后求的值即可.

【详解】设x＞0，则﹣x＜0，

故f（﹣x）=2x﹣2=﹣f（x），

故x＞0时，f（x）=2﹣2x，

由g（2）=f（2）=2﹣4=﹣2，

故f（g（2））=f（﹣2）=﹣f（2）=2，

故选：D.

【点睛】本题主要考查奇偶性求对称区间上的解析式以及函数值的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

3. 下列函数是偶函数且在区间上为增函数的是

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：和均是奇函数，是偶函数，但在上是减函数；二次函数是偶函数，且在上是增函数，∴正确选项D．

考点：（1）函数奇偶性的判断；（2）函数单调性判断．

4. 函数的定义域是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据解析式有意义可得关于的不等式组，其解集为函数的定义域.

【详解】由解析式有意义可得，故，

故函数的定义域为

故选：D.

5. 函数在上为增函数，则的值可以是（    ）

A. 0 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】将选项代入分别验证单调性即可求解

【详解】对A, ,由余弦函数的性质可知在上为减函数，舍去；

对B，，在上先减后增，舍去

对C,，由余弦函数的性质可知在上为增函数.成立；

对D, ,在上先增后减，舍去

故选：C．

【点睛】本题通过三角函数的图象与性质，熟记单调性是关键，考查了学生的直观想象．

6. 如果关于的不等式的解集是，那么等于（    ）

A.  B. 4 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据三个二次的关系确定参数，结合指数运算可得结果.

【详解】∵不等式的解集是，

∴是方程的两个实根，

∴，∴，

∴.

故选：B.

7. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．

【详解】解：因为，所以将式子进行齐次化处理得：

．

故选：C．

8. 已知（），（），则p，q的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用基本不等式，求得，结合二次函数的性质，求得，即可求解.

【详解】因为，可得，

当且仅当时，即时，等号成立，即，

又由，所以，

所以.

故选：A.

9. 已知函数，“函数在上有两个不相等的零点”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数在上有两个不相等的零点可得出关于实数的不等式组，解出的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】由于函数在上有两个不等的实根，则.

若，对任意，可知，不合乎题意；

若，则，解得，

因为，

因此，“函数在上有两个不相等的零点”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：

（1）二次项系数的符号；

（2）判别式；

（3）对称轴的位置；

（4）区间端点函数值的符号.

结合图象得出关于参数的不等式组求解.

10. 已知函数的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法错误的是（    ）

A. 函数在区间上单调递减

B. 函数的图象关于直线对称

C. 函数的图象关于点对称

D. 函数的图象关于直线对称

【答案】D

【解析】

【分析】根据图象变换的性质及周期求得函数解析式，然后根据正弦函数性质判断各选项．

【详解】由已知，向左平移后得，它是偶函数，

则，又，所以，

所以．

时，，因此A正确；

，因此函数图象关于点对称，B正确；

，函数图象关于直线对称，C正确；

，不是最值，D错误．

故选：D．

11. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.已知在上为“局部奇函数”，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由得出（用表示），方程有解，转化为求新函数的取值范围即得参数范围．

【详解】因为，所以，所以，则.因为（当且仅当时，等号成立），所以，即.

故选：B．

12. 已知函数.若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定函数画出其图象，结合图象可得，再借助对勾函数的单调性即可计算判断作答.

【详解】作出函数的图象，如图，的递减区间是和，递增区间是和

因，，，是方程的四个互不相等的解，则，不妨令，

则有，是方程的两个根，必有，

，是方程的两个不等根，则，，

整理得，即，由得：或，因此有，，

则有，，而函数在上单调递减，从而得，

于是得，

所以的取值范围是.

故选：D

二､多选题（共3小题，每小题3分，共9分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

13. 计算下列几个式子，结果为的是（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用两角和的正切公式化简AD，利用诱导公式和两角和的正弦公式化简B，利用二倍角公式化简C，即得答案．

【详解】对于A ：

；

对于B：原式＝ ；

对于C：原式＝；

对于D：原式＝．

故选：ABD

【点睛】本题考查了两角和的正弦公式，正切公式，以及二倍角公式的应用，属于中档题．

14. 已知函数，则下列说法中正确的是（    ）

A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增

C. 曲线关于对称 D. 曲线关于对称

【答案】ABC

【解析】

【分析】化简得到，计算函数周期得到A正确，将BCD选项带入函数判断函数单调性和对称性得到答案.

【详解】

.

的最小正周期为，A正确；

，，函数单调递增，B正确；

，关于对称，C正确；

，D错误.

故选：ABC.

15. 下列结论正确的是（    ）

A. 函数（，）的图象过定点（，1）

B. 是方程有两个实数根的充分不必要条件

C. 的反函数是，则

D. 已知在区间（2，）上为减函数，则实数a的取值范围是

【答案】AD

【解析】

【分析】根据或通过图像平移判断选项A正确；利用m范围的包含关系可判断B错误；由同底的对数函数与指数函数互为反函数，然后求值可知C错误；根据复合函数同增异减结合定义域可知D正确.

【详解】对于函数，令，可得，

故函数的图象过定，点，故A正确；

根据方程有两个实数根，可得，即，

故是方程有两个实数根的必要不充分条件，故B错误；

∵的反函数是，∴，故C错误；

若在区间上为减函数，

则在区间上大于零，且，

即且，求得，故D正确，

故选：AD.

三､填空题（共5道小题，每小题3分，共15分）

16. 命题“，”的否定是___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.

【详解】因为命题“，”是全称量词命题，

所以其否定是存在量词命题，即为，

故答案为：

17 若，，则___________．（用a、b表示）

【答案】

【解析】

【分析】先转化指数式为对数式，再利用换底公式即可求解.

【详解】因为，所以

因此.

故答案为：

18. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定∶100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过_____小时才能驾驶．（注∶不足1小时，按1小时计算，如计算结果为7.3，就答8小时）

参考数据∶取lg0.2=-0.699，lg0.3=-0.523，lg0.6=-0.229，lg0.7=-0.155

【答案】5

【解析】

【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型 求解.

【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg/mL,

x小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg/mL的，

由题意知100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，

所以，两边取对数得， ，

，

所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.

故答案为：5

19. 设，若恒成立，则k的最大值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】由基本不等式求得不等式左边的最小值即可得参数范围．

【详解】因为，

所以

当且仅当，即时等号成立．

所以．

故答案：．

20. 最大值是3，的图像与y轴的交点坐标为，其相邻两个对称中心的距离为2，则______．

【答案】4030

【解析】

【详解】试题分析：，最大值，解得，

周期，因此，得，，由于过点，

，即，，，

在一个周期内，

.

考点：1、三角函数的化简；2、函数的周期性的应用.

四､解答题（共5小题，第21题6分，第22､23､24每小题8分，第25题10分）

21. 已知.

（1）若是第三象限角，，求的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由三角函数的诱导公式化简得到，结合三角函数的基本关系式，求得的值，即可求解.

（2）将代入的解析式，结合诱导公式，即可求解.

【小问1详解】

解：由三角函数的诱导公式，可得，

因为是第三象限角，且，所以，

所以.

【小问2详解】

解：将代入得.

22. 已知全集U=R，集合，集合.

（1）当时，求；

（2）若集合，当时，求实数a的取值范围.

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出集合B和集合A的补集，再求，

（2）由已知可得集合或，则由题意可得从而可求出实数a的取值范围

【小问1详解】

当时，集合，

而或，

所以或.

【小问2详解】

由已知可得集合或，

由题意可得，

所以要满足，只需解得，

综上实数a的取值范围为.

23. 观察以下各等式：

，

，

分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．

【答案】

【解析】

【详解】本试题主要是考查了合情推理的运用，根据已知的关系式观察发现了角的关系，然后将特殊问题一般化 思想，是一种归纳推理的运用．并运用二倍角公式加以证明猜想的正确性．

证明：

24. 设矩形ABCD（AB>AD）的周长为24，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设AB=x，求△ADP的最大面积及相应x的值.

【答案】时，取最大面积为

【解析】

【分析】由可得，设，则，则在直角中由勾股定理可得，则，所以，化简利用基本不等式可求得答案

【详解】由题意可知，矩形的周长为24，

，即，

设，则，而为直角三角形，

∴，

∴，

∴，

∴

.

当且仅当，即时，此时，满足，

即时，取最大面积为.

25. 已知函数在区间上有最大值4和最小值

（1）求､的值；

（2）设

①若时，，求实数的取值范围；

②若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）①；② .

【解析】

【分析】（1）由二次函数的单调性求得最大值和最小值，从而可求得；

（2）① 不等式分离参数得，可换元设，然后由二次函数性质求得最小值，进而得的范围；

② 化简方程，换元设和，转化关于的二次方程，由根的分布知识求解．

【详解】（1），对称轴是，又，

所以在上单调递增，则，解得．

（2）由（1），，

①即，，

令，记，，，

即的取值范围是.

② 由得，

即，且，令，则方程化为，

又方程有三个不同的实数解，由的图象可知，

有两个根且或，

记，

则或，解得．

故的取值范围是．